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高二数学立体几何专题资料:空间的平行关系


空间的平行关系
[基础要点] 1.公理 4:用符号表示如下:设 a, b, c 为直线, a / / b 且 b / / c ,则 a c 2.等角定理:空间中若两个角的两边分别对应 ,且方向 ,则这两个角相等 3.直线与平面平行 (1)定义:如果 ,则这条直线和这个平面平行 (2)判定:①用定义 ②判定定理: 4.平面与平面平行 (1)定义:

a / /? ? ? ? ? ? ? a / /? (3)性质定理: a ? ? ? ? ? ? ? ? ? b? ? ?
,就说这两个平面平行
? ? ? ? ? ? ? / /? ? ? ? ?

(2)判定:①用定义

②判定定理:

(3)性质定理:

? / /? ? ① ?? a ???

? / /? ? ? ②? ?? ? a? ? ? ? ? ? b? ?



? / /? ? ?? l ?? ?

题型一、直线与直线平行 例 1、如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线平行 于这两个平面的交线 设平面 ? ? ? ? l ,直线 a / /? , a / / ? ,如图示,求证: a / / l

?
l

a

?

变式:如图示, ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,且 a / / b ,求证:

a / /b / / c
b

?

?
a c

?

题型二、直线与平面平行 例 2、已知 A、B、C、D 四点不共面,M、N 分别是△ABD 和△BCD 的重心,求证: MN // 平面 ACD

C

变式:如图示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相 交于 AB, M ? AC, N ? FB 且 AM=FN,求证:MN // 平面 BCE

D

M E B N A F

1

题型三、平面与平面平行 例 4、 是△ABC 所在平面外一点,A1 , B1 , C1 分别是△PBC、 P △PAC、 △PAB 的重心, (1)求证:平面 A1 , B1 , C1 // 平面 ABC (2) 求△ A1B1C1 与△ABC 的面积之比
C1
B1 A1

P

A B
变式: 如图示, 在空间六边形 (即六个顶点没有任何五点共面) ABCDEF 中,每相邻的两边互相垂直,边长均等于 a ,并且 AF / / CD ,求证: B 平面 FBD // 平面 ACE
A

C

C

F D

E

题型四、平行关系的转化 例 4、已知 AB、CD 是夹在两个平行平面 ? , ? 之间的线段,MN 分别为 AB、CD 的中点, 求证:MN // 平面 ?

A
D

变式:已知平面四边形 ABCD 在平面 ? 内的正投影是一个平行四 边形 A1B1C1D1 ,求证:四边形 ABCD 是平行四边形

B

C
D1

A1

?

B1

C1

[自测训练] 1、已知下列命题: ① 一条直线和另一直线平行,那么它就和经过另一条直线的任何平面平行 ② 一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点,因 此这条直线与这个平面内的所有直线都平行 ③ 若直线 l 与平面 ? 不平行,则 l 与 ? 内任一直线都不平行 ④ 与一平面内无数条直线平行的直线必与此平面平行 其中正确的个数是( ) A、0 个 B、1个 C、2个 D、3个 2、下列命题中,不正确的是( ) A、一条直线和两个平面 ? , ? 所成的角相等,那么 ? / / ? B、两个平面 ? , ? , ? / / ? ,则 ? 内的任意直线平行于平面 ? C、一个三角形有两条边所在直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平 行 D、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 3、若 a 是△ABC 两边中点的连线, ? 为过第三边的一个平面,那么( )
2

A、 a / /? B、 a ? ? C、 a / /? 或 a ? ? D、以上都不对 4、 a, b, c 为三条不重合的直线, ? , ? , ? 为三个不重合的平面,现给出六个命题:

a / /c? ? ? a / /b b / /c ? ? / /? ? ④ ? ? ? / /? ? / /? ?


a / /? ? ? ? a / /b b / /? ? a / /c ? ⑤ ? ? a / /? ? / /c?


? / /c ? ? ? ? / /? ? / /c? a / /? ? ⑥ ? ? a / /? ? / /? ?


其中正确的是( ) A、①②③ B、①④⑤ C、①④ D、①④⑤⑥ 5、已知平面 ? ∥平面 ? ,P 是 ? , ? 外一点,过点 P 的直线 m 与 ? , ? 分别交于 A、C, 过点 P 的直线 n 与 ? , ? 分别交于 B 、 D, 且 PA ? 6, AC ? 9, PD ? 8 ,则 BD 的长为 ( ) A、16 B、24 或

6、已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l , P ? l ,则给出下面四个结论: ①过点 P 和 l 垂直的直线在 ? 内 ②过 P 和 ? 垂直的直线在 ? 内 ③过 P 和 l 垂直的直线必与 ? 垂直 ④过 P 和 ? 垂直的平面必与 l 垂直 其中正确的是( ) A、② B、③ C、①④ D、②③ 7、平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余三个顶点在 ? 的同侧,已知其中有两个 顶点到 ? 的距离分别为 1 和 2,那么剩下的一个顶点到 ? 的距离可能是:①1,②2,③ 3,④4 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号) 8、已知 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m / /? ,则 m 平行于 ? 内的任意一条直线 ②若 ? / / ? , m ? ? , n ? ? ,则 m / / n ③若 m ? ? , n ? ? , m / / n ,则 ? ? ? ④若 ? / / ? , m ? ? ,则 m / / ? 上面命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号) 9、有以下四个论断: ①平面 ? 与平面 ? , ? 所成的锐角二面角相等 ②直线 a / /b, a ? 平面 ? , b ? 平面 ? ③ a , b 是异面直线, a ? ? , b ? ? ,且 a / / ? , b / /? ④平面 ? 内距离为 d 的两条平行直线在平面 ? 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线 其中能推出 ? / / ? 的条件有 (填写所有正确条件的代号) 10、若两个平面分别平行于第三个平面,则这两个平面互相平行 已知: ? / / ? , ? / / ? ,求证: ? / /?

24 5

C、 14

D、 20

11、 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 已知正方体的棱长为 2 , 、 分别在其对角线 AD1 M N 1 与 BD 上,若 AM ? BN ? x (1)求证: MN / / 平面 CDD1C1 (2)设 MN ? y ,求 y ? f ( x) 的表达式

(3)求 MN 的最小值,并求此时 x 的值

(4)求 AD1 与 BD 所成的角

3

4


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