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高中数学第2篇 第6节 二次函数与幂函数


第二篇

第6节

一、选择题 1 ? ? 1.(2014 河南南阳模拟)设 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函
? ?

数的所有 α 值为( A.1,3 C.-1,3

) B.-1,1 D.-1,1,3

解析:α=-1,1,3 时幂函数为奇函数, 当 α=-1 时定义域不是 R, 所以 α=1,3. 故选 A. 答案:A 2.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )

解析:∵a>b>c 且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0. ∴图象可能是 D. 故选 D. 答案:D 3.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A.a>b>c C.c>a>b 解析:∵函数 y=0.4x 在 R 上是减函数, 且 0.2<0.6, ∴0.40.2>0.40.6, 即 b>c. 又函数 y=x0.2 在(0,+∞)上是增函数,且 2>0.4, ∴20.2>0.40.2, 即 a>b, ∴a>b>c. )

B.a>c>b D.b>c>a

故选 A. 答案:A 4.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A.f(2)<f(1)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) 解析:∵f(2+t)=f(2-t), ∴f(x)关于 x=2 对称, 又开口向上. ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且 f(1)=f(3). ∴f(2)<f(3)<f(4), 即 f(2)<f(1)<f(4), 故选 A. 答案:A 5.如图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( ) B.f(1)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1) )

1 1 - 2 2 3 A.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 1 1 - 2 B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 1
3 2

1

C.①y=x2,②y=x3,③y=x2 ,④y=x
1

-1

1 - D.①y=x3 ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1 2 解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知 B 项正确.故选 B. 答案:B 6.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( A.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) 解析:函数的对称轴为 x=-1, x1+x2 设 x0= , 2 1-a 1 由 0<a<3 得到-1< < , 2 2 又 x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断, B.f(x1)<f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 )

故选 B. 答案:B 二、填空题 7. 已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立?Δ=a2-8a<0?0<a<8. 答案:(0,8) 8.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数 的解析式 f(x)=________. 解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2, ∵f(x)是偶函数, ∴2a+ab=0. 又 f(x)的值域为(-∞,4]. ∴b<0. 8a2b =4. 4b 联立①②③解得 a2=2,b=-2, ∴f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4 9.(2014 安徽省六校联考)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题; (1)当 c=0 时,y=f(x)是奇函数; (2)当 b=0 时,y=f(x)是偶函数; (3)当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根; (4)函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; (5)方程 f(x)=0 至多有两个实根. 其中正确的命题为________(填序号). 解析:对于(1),当 c=0 时,f(x)=x|x|+bx,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-(x|x|+bx)=- f(x), 故函数 f(x)为奇函数, (1)正确; 对于(2), 当 b=0 时, f(x)=x|x|+c, f(-x)=-x|x|+c≠f(x), (2)不正确;对于(3),当 b=0 时,f(x)=x|x|+c,因为 c>0,所以只有当 x<0 时,方程 x|x|+c =0 才有实数根,方程变为 x2=c,得 x=- c,(3)正确;对于(4),因为 f(x)+f(-x)=2c, 所以函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称,(4)正确;对于(5),方程 f(x)=0 可以有 3 个实数
?x2-3x+2,x>0, ? 根,比如 f(x)=x|x|-3x+2=? 2 方程 f(x)=0 有 2 个正根、1 个负根,故 ?-x -3x+2,x≤0, ?



② ③

(5)错误. 答案:(1)(3)(4)

1 10. (2013 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 设定点 A(a, a), P 是函数 y= (x>0) x 图象上一动点. 若点 P, A 之间的最短距离为 2 2, 则满足条件的实数 a 的所有值为________. 1? 解析:设 P? ?x,x?(x>0), 1 ?2 则|PA|2=(x-a)2+? ?x-a? 1? 1 2 =x2+ 2-2a? ?x+x?+2a x 1 令 x+ =t(t≥2), x 则|PA|2=t2-2at+2a2-2 =(t-a)2+a2-2
2 若 a≥2,当 t=a 时,|PA|最小 =a2-2=8,

解得 a= 10.
2 若 a<2,当 t=2 时,|PA|2 最小=2a -4a+2=8,

解得 a=-1. 答案:-1 或 10 三、解答题 11.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
? ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0, 且 c=1, F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ?-f?x?,x<0 ?

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解:(1)由已知 c=1,a-b+c=0, b 且- =-1,解得 a=1,b=2. 2a ∴f(x)=(x+1)2.
??x+1?2,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x x 1 1 又 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2, x x ∴-2≤b≤0. 即 b 的取值范围是[-2,0].

2 7 12.已知函数 f(x)=xm- 且 f(4)= . x 2 (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 解:(1)∵f(4)= , 2 2 7 ∴4m- = ,∴m=1. 4 2 2 (2)由(1)知 f(x)=x- , x ∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 2? 2 又 f(-x)=-x+ =-? ?x-x?=-f(x). x 所以函数 f(x)是奇函数. (3)函数 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设 x1>x2>0, 2 2 x- ? 则 f(x1)-f(x2)=x1- -? x1 ? 2 x2? 2 ? =(x1-x2)? ?1+x1x2?, 因为 x1>x2>0, 2 所以 x1-x2>0,1+ >0. x1x2 所以 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.


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