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2.2.2对数函数及其性质3


对数函数(3)

1.求y=

1 1 ? loga ( x ? a)

(a>0且a≠1)定义域:

2.求函数 y = log 1/2 ( 2-x 2 ) 的定义域、值域和单调区间。
y ? log f2 (x )的 值 域 求 法 : a x 2? ? 0? ? 2 ? x ? 2 定义域 ( ? 2,2) (1)求 函 数 的 定 义 域 2) 2- > 0值 域 且 2-x 2 ≤2 即 0< 2-x 2 ≤2 ( 2)∵ 确定 fx (x 的 ≥-1 ( 3)由∴ 对y 数 函数单调性求函 出 数 值 域 函数的值域为 [-1,+∞)

减区间 ( ? 2, 0) , 增区间 (0, 2 )

1 ( ? ?, 1) 3. y ? log3 (1 ? x ) ? 单调递减区间是     x ?1 4.比 较 大 小 loga 2,   2 log2a 2,   1(1 ? a ? 2) loga 2 ? 2 log2a 2 ? 1

1 ? mx 5.已知 f ( x ) ? loga (a ? 0, a ? 1)是奇函数 x ?1 (1)求m的值 m=1(舍) m ? ?1 ( 2)根据(1)的结果,判断 f ( x )在(1,? ?)上的单调性 , 并加以证明
1? x 设u( x ) ? x ?1

2 ? 1? x ?1

x x 6 : 求函数f ( x) ? (log 2 )(log 2 )在区间[2 2 ,8]上的最值. 3 4
x x f ( x ) ? (log 2 )(log 2 ) ? (log 2 x ) 2 ? ( 2 ? log 2 3) log 2 x ? 2 log 2 3 3 4 3 令t ? log 2 x , ( ? t ? 3)有 2 f ( x ) ? t 2 ? ( 2 ? log 2 3)t ? 2 log 2 3

当t ? log 2 2 3时, 即log 2 x ? log 2 2 3 , x ? 2 3 , f ( x )min ? ?(1 ? log 2 3 )2 当t ? 3时, 即log 2 x ? 3, x ? 8, f ( x )max ? 3 ? log 2 3

7 已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9], 求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,y取最大值时x值.
解:y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2 =(2+log3x)2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
2 ? 1 ? x ? 9, 2 2 ∴要使函数y=[f(x)] +f(x )有定义,就须 ? ?1 ? x ? 9, ∴1≤x≤3. ∴0≤log3x≤1

∴6≤y=(log3x+3)2-3≤13 ∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13

8.方程loga(x+1)+x2=2(0<a<1)的解的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 (D)无法确定

C )

难点突破题

1 若不等式 2 ? loga x ? 0,当 x ? (0, )时恒成立 2 求实数 a的取值范围
x

y
2

1 ( ) 2

2 2

?a?1

1 2

x

9



1? x f ( x ) ? loga (a ? 0, a ? 1) 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域 (2)当

a ? 0 时,求使 f ( x) ? 0

的x取值范围

? 1, m ? p ? 0, 若关于x的方程x ? log a x ? m的解是p, 10 . a

求关于 x的方程 x ? a ? m的解.
x

分析 : 数形结合 , 分别把 两个方程化为 log a x ? m ? x

y

y ? ax

y?x

a ? ?x ? m
x

y ? loga x
o p

y ? log a x的图象与 直线 y ? ? x ? m的交点横坐标是 p

x

y ? ?x ? m

它的纵坐标 m ? p是y ? a x的图象与直线 y ? ?x ? m

的交点的横坐标 .则方程x ? a x ? m的解是m ? p

11 :求函数y ? (log2 x) ? log2 x ? 2, x ?[1,2]
2

的值域

解:令t ? log2 x,
? x ?[1,2],? 0 ? t ? 1,
1 2 7 从而y ? t ? t ? 2,即y ? (t ? ) ? , 2 4 7 ? ymax ? 2, ymin ? 4
2
2

7 ?函数 y ? (log 2 x) ? log 2 x ? 2的值域为 [ ,2] 4

y=ax

(a>1)
1 0 x

y=logax(a>1)
y 0

图象 定义域
值域 性质

y

1

x

R

(0, ??)
R
当 x >1 时 y >0 ; 当0<x<1时y<0; 当x=1时y=0; 在R上是减函数.

(0, ??)
当 x >0 时 y >1 ; 当 x <0 时 0 <y <1 ; 当x=0时y=1; 在R上是增函数.

12 溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH 的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+] 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩 尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计 算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢 离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+ =10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.

A) 13. f ( x) ? a ?| x| (a ? 0, 且a ? 1),且f (2) ? 4, 则(    A  . f (?2) ? f (?1)   B. f (?1) ? f (?2) C. f (1) ? f (2)    D. f (?2) ? f (2)

14.若函数f ( x) ? log2a ( x ? 1)在区间(?1,0) 内满足f ( x) ? 0, 则a的取值范围      .
0?a? 1 2

15. 已知函数 y = loga(a2x)· loga2(ax), 当 x∈[2 , 4] 时, y的取值范围是[-1/8,0],求实数a的值.
3 2 1 1 3 2 1 1 y ? (loga x ? ) ? ? ( t ? ) ? 2 8 2 2 8 2

【解题回顾】求解本题应注意以下三点: (1)将y转化为二次函数型;

(2)确定a的取值范围;
(3)明确logax的取值范围.

1 1 例5 : (1)已知a ? lg(1 ? ), b ? lg(1 ? )求 lg 2, lg 7的值 7 49 (用含a, b的式子表示)
解:
8 (1)a ? lg ? 3lg 2 ? lg 7 ① 7

100 50 b ? lg ? lg 50 ? lg 49 ? lg ? 2 lg 7 49 2

?b ? 2 ? lg 2 ? 2lg 7 ②
1 1 由①,②解得 lg 2 ? (2a ? b ? 2), lg 7 ? (? a ? 3b ? 6) 7 7

5

2 log 25 (lg 2 ? lg ) 5
2

? lg5

16 : 求函数f ( x) ? x 2 ? (lg a ? 2) x ? lg b, 满足f (?1) ? ?2, 且对一切实数 x都有f ( x) ? 2 x, 求实数a, b的值
b f ( ?1) ? 2 ? lg ? ?1 ? a ? 10b a

f ( x ) ? 2 x ? x ? lga ? x ? lgb ? 0对一切 x ? R恒成立

即?= (lga) ? 4 lgb ? 0 2 2 ? (1-lgb)? 0 又(1-lgb) ? 0
2

? 1-lg b= 0

? b= 10

问题探究:
在指数函数 y ? 2 x 中, x为 自 变 量 , y为 因 变 量 .如 果 把y当 成 自 变 量 , x成 因 变 量 , 那 么x是y的 函 数 吗 ?如果 是,那 么 对 应 关 系 是 什 么 ?如果不是 ,请 说 明 理 由 .

说明: ?1?x ? log2 y, y ? ?0,???是函数 ,叫做函数 y ? 2 ? x ? R?的反函数 ; ?2?习 惯 上, 把x , y对 调 位 置 .对 数 函 数 y ? log2 x ? x ? ?0 ,? ???是 指 数 函 数
x

y ? 2 x ? x ? R ?的 反 函 数 . ?3?对数函数 y ? loga x?a ? 0 , 且a ? 1?是
x

指数函数 y ? a ?a ? 0 , 且a ? 1?的反函数 .


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