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2015-2016学年高中数学 1.1.2四种命题和四种命题间的相互关系课件 新人教A版选修2-1


1.1.2

四种命题和四种命题间的相互关系

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1.了解四种命题的结构形式,会写出一个命 题的逆命题、否命题、逆否命题. 2.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的 关系. 3.会利用命题的等价性解决简单的问题.

研 题 型 学 习 法

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题型一 四种命题之间的转换 例1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命 题.

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线, 那么这条直线垂直于平面;
(2)当x=3时,x2-2x-3=0. 分析:首先把命题写成“若p,则q”的形式,再按 四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否 命题.

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解析:(1)逆命题:如果一条直线垂直于平面,那么这条直线垂 直于平面内的两条相交直线; 否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直 线不垂直于平面; 逆否命题:如果一条直线不垂直于平面,那么这条直线不垂直于 平面内的两条相交直线. (2)原命题:若 x=3,则 x2-2x-3=0.逆命题:若 x2-2x-3=0, 则 x=3;否命题:若 x≠3,则 x2-2x-3≠0;逆否命题:若 x2-2x -3≠0,则 x≠3. 规律方法:要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结 论,然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化.
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?变式训练

1.下列四个命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆 否命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若 ac2>bc2,则a>b”的逆命题;④若m>2,则x2-2x+ m>0,x∈R.其中真命题的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:B

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题型二 四种命题真假的判断 例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断其真假: (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. 解析:(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数 是实数.是真命题. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负 数.是真命题.
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逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数 不是实数.是真命题. (2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等 底等高.是真命题. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个 三角形不全等.是真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形 不等底或不等高.是假命题. (3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的 弧,则这条直线是弦的垂直平分线.是真命题.
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否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条 直线不经过圆心或不平分弦所对的弧.是真命题. 逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对 的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.是真命 题. 规律方法:要判断四种命题的真假,首先要熟练掌 握四种命题的相互关系,以及它们的真假性之间的 关系;其次利用相关知识判断真假时,一定要熟练 掌握有关知识.

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?变式训练 2.判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假. (1)当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc; π 1 (2)若 cos α= ,则 α= . 2 3 解析:(1)由于原命题与其逆命题“当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>b” 栏 均为真命题,因此它的否命题与逆否命题也为真命题. π 1 (2)命题“若 cos α= ,则 α= ”是假命题,因为,由 cos α 2 3 π 1 = 得 α=2kπ± (k∈Z),所以,其逆否命题也是假命题;其逆命 2 3 π 1 题:“若 α= ,则 cos α= ” ,是真命题,所以,其否命题也是真 3 2 命题.
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题型三 等价命题的应用

例3 证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a, b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 栏 分析:本题若要直接证明,比较困难,可以考虑证明 它的逆否命题. 证明:原命题的逆否命题是“已知函数f(x)是(-∞,+ ∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)< f(-a)+f(-b)”.
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若a+b<0,则a<-b,b<-a,又因为函数f(x)是 (-∞,+∞)上的增函数, 所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 即原命题的逆否命题是真命题,所以原命题是真命 题. 规律方法:原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们在直接 证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它 的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命 题.
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?变式训练 3.判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实 数根”的逆否命题的真假. 解析:方法一 因为m>0,所以方程x2+2x-3m= 0的判别式Δ=12m+4>0.所以原命题“若m>0,则 方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题.

又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0, 则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为 真命题. 方法二 原命题的逆否命题为“若方程x2+2x- 3m=0无实数根,则m≤0”.

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方程x2+2x-3m=0无实数根, 所以Δ=4+12m<0.所以m<-≤0. 所以“若方程x2+2x-3m=0无实数根,则m≤0”为 真命题.
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析疑难 提 能 力
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对命题的条件和结论分不清致误. 【典例】 (2014· 唐山高二检测)下列说法正确的是 ________(填序号).

(1)“若x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题为“若x2 +y2≠0,则x,y全不为零”;
(2)“正多边形都相似”的逆命题是真命题; (3)“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题是真 命题.

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解析:(1)中否命题:“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”,故(1) 是错误的. (2)中逆命题:“若两个多边形相似,则这两个多边形是正多边 形”,是假命题,故(2)是错误的. (3)中逆否命题:“若 x 不是无理数,则 x- 2不是有理数”, 是真命题.故(3)是正确的. 答案:(3) 【易错剖析】(1)中对“x,y 全为零”的否定认识不清致错, “x, y 全为零”的否定是“x,y 不全为零”,而不是“x,y 全不为零”; (2)中命题因为不是“若 p,则 q”的形式,容易写错逆命题.
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