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高三数学一轮复习直线与圆锥曲线的关系(44)


第四节 系

直线与圆锥曲线的位置关

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最新考纲

了解圆锥曲线的初步应用. 以解答题的形式考查直线与圆锥曲线 相交的交点、弦长等问题,解决直线 与圆锥曲线位置关系中的定值、定点 以及参数的范围问题.

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1.直线与圆锥曲线的位置关系.

要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可把直线方程
与圆锥曲线方程联立,消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的 一元二次方程.如联立后得到以下方程:

Ax2+Bx+C=0(A≠0),Δ=B2-4AC
若Δ<0,则直线与圆锥曲线 没有公共点 ; 若Δ=0,则直线与圆锥曲线 有且只有一个公共点; 若Δ>0,则直线与圆锥曲线 有两个不同的公共点 .

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2.弦长公式. 直线与圆锥曲线相交时,常常借助根与系数的关系解决

弦长问题.直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y后得到关
于x的一元二次方程.当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交,设 交点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则直线被圆 锥曲线截得的弦长 |AB|= = |x1-x2|=

.
再利用根与系数的关系得出x1 +x2 ,x1x2 的值,代入上 式计算即可.

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3.用点差法求直线方程. 在给定的圆锥曲线f(x,y)=0中,求中点为(m,n)的弦

AB所在直线方程时,一般可设A(x1 ,y1)、B(x2 ,y2),利用A、
B在曲线上,得f(x1 ,y1)=0,f(x2,y2)=0.两式相减,结合x1 +x2=2m,y1+y2=2n,可求出kAB= 从而由点斜式写 出直线AB的方程.这种方法我们称为点差法.

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4.解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法. (1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题,

注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式.(2)已知直线与圆锥
曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时,通常利用待定系数 法.(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题,解此类题 的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直, 则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上,再利用根的判

别式或中点与曲线的位置关系求解.

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1.如果在设直线方程时涉及斜率,要注意斜率不存在的 情形.为了避免讨论,过焦点 F(c,0)的直线,可设为 x=my+ c. ?Ax+By+C=0, ? 2.解方程组? 时,若消去 y,得到关于 x ?f(x,y)=0 ? 的方程 ax2+bx+c=0,这时,要考虑 a=0 和 a≠0 两种情况, 对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况要考虑全面,除 a≠0,Δ=0 外,当直线与双曲线的渐近线平行时,只有一个交 点;当直线与抛物线的对称轴平行时,只有一个交点(Δ=0 不 是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件).

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3.涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时,常用 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理),这样可直接得到

两交点的坐标之和,也可用作差方法(平方差法)找到两交点
坐标之和,直接与中点建立联系. 4.有关曲线关于直线对称的问题,只需注意两点关于 一条直线对称的条件: (1)两点连线与该直线垂直(斜率互为负倒数);

(2)中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程).

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题型一

直线与圆锥曲线的位置关系

①直线方程与圆锥曲线方程联立消 元,得到一个一元二次方程 思维提示 ②利用判别式进行判断,但要注意 特殊情况 例1 直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交 于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围; (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲 线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理

由.

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[分析]

(1)将直线方程与双曲线方程联立消去y得关于x

的一元二次方程,则判别式大于零,且两根应均大于0,得 到关于k的不等式,求出k的范围. (2)假设存在k,设出A、B两点的坐标,则AF⊥FB.利用 根与系数的关系,得到关于k的方程,看方程是否有解.

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?k2-2≠0 ? Δ=(2k)2-8(k2-2)>0 ? ? 2k ?- 2 ,解得-2<k<- 2. >0 ? k -2 ? 2 ?k2-2>0 ? (2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由 ? ?x1+x2= 2k 2 2-k ? ①式得? ② 2 ?x · = 1 x2 ? k2-2 ?

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假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲 线 C 的右焦点 F(c,0),则 由 FA⊥FB 得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0, 即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0, 整理得:(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0③ 6 把②式及 c= 2 代入③式化简得 5k2+2 6k-6=0,解得 6+ 6 6- 6 k=- 5 或 k= 5 ?(-2,- 2)(舍去). 6+ 6 可得 k=- 5 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲 线 C 的右焦点.

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[规律总结]

用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系

时,其实质就是解方程组,判断方程解的个数问题,在运算

过程中,要注意消元后得到的方程的二次项系数是否为零,
以及题目给出的其他限制条件.例如本例要求直线与双曲线 右支有两个相异交点,则其充要条件是判别式Δ>0且两根之 和与两根之积均为正值.

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x2 2 备考例题 1 设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+ a y=1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → = 5 PB,求 a 的值. (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA 12 →

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1 +1. a2 6 因为 0<a< 2且 a≠1,所以 e> 2 且 e≠ 2, 6 即离心率 e 的取值范围为( , 2)∪( 2,+∞). 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). → = 5 PB,所以(x1,y1-1)= 5 (x2,y2-1),由此得 因为PA 12 → 12 5 x1= x2. 12

1+a2 双曲线的离心率 e= = a

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由于 x1,x2 都是方程①的根,且 1-a2≠0, 17 2a2 5 2 2a2 所以12x2=- , x =- . 1-a2 12 2 1-a2 2a2 289 消去 x2,得- = . 1-a2 60 17 由 a>0,所以 a=13.

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题型二

直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题

①充分重视根与系数的关系和判别式 思维提示 的应用 ②“设而不求”法的灵活应用
例2 已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2 并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|= 10,椭圆上不同的两点A(x1 ,y1),C(x2 ,y2)满足条件:|F2A|、 |F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该椭圆的方程;

(2)求弦AC中点的横坐标;
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取 值范围.

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[分析]

x2 (1)由题意知 c=4,2a=10,所以椭圆方程为 + 25

y2 9 =1; (2)根据椭圆的第二定义,将|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数 列的关系转化成 x1、x2 的关系,从而得 AC 的中点的横坐标; (3)利用点差法求出 AC 的斜率, 即而得到 k 与 AC 的中点 的纵坐标的关系,再利用 AC 的中点在椭圆的内部,得到关于 AC 中点的纵坐标 y0 的不等式,从而得到 m 的范围.

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9 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB |= 5.如图, 设 A(x1,y1),C(x2,y2), 25 4 因为椭圆的右准线方程为 x= 4 ,离心率 e=5.根据椭 4 25 4 25 圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× , 5 4 5 4 5 由此得出 x1+x2=8. x1+x2 8 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= = =4. 2 2

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(3)由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆 9x2+25y2=9×25 上,得 ② 2 2 由①-②,得 9(x2-x2)+25(y1-y2)=0, 1 2 x1+x2 y1+y2 y1-y2 即 9( )+25( )( )=0(x1≠x2). 2 2 x1-x2 x1+x2 y1+y2 y1-y2 1 将 2 =x0=4, 2 =y0, =- (k≠0)代入上式, k x1-x2 1 得 9×4+25y0(- )=0(k≠0). k 25 由上式得 k=36y0(当 k=0 时也成立).
?9x2+25y2=9×25 ? 1 1 ? 2 ?9x2+25y 2=9×25 2 ?



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由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+ m, 25 16 所以 m=y0-4k=y0- 9 y0=- 9 y0. 由 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称,如 9 9 16 16 图)的内部,得- <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

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[规律总结] 已知弦 AB 的中点,求 AB 的斜率(假设 斜率存在)和方程. x2 y2 (1)AB 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一条弦,中点 M 的 a b b2x0 坐标为(x0,y0),则 AB 的斜率为- 2 .推导如下:设 A(x1, a y0 y1),B(x2,y2)是椭圆上两点, 2 2 ?x1 y1 ?a2+b2=1 x2-x2 y2-y2 1 2 1 2 ∴? 2 2 ,两式相减得 2 + 2 =0, a b x2 y2 ? 2+ 2=1 ?a b

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(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) ∴ + =0,即 a2 b2 y1-y2 b2(x1+x2) b2x0 =- 2 =- 2 , a y0 x1-x2 a (y1+y2) b2x0 ∴kAB=- 2 . a y0

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x2 y2 (2)已知 AB 是双曲线 2- 2=1 的弦,中点为 M(x0,y0), a b b2x0 则 kAB= 2 . a y0 (3)已知抛物线 y2=2px(p>0)的弦 AB 的中点为 M(x0,0), y p 则 kAB= . y0

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备考例题2

设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=

2x2上,l是AB的垂直平分线.

(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?
并证明你的结论; (2)当x1=1,x2=-3时,求直线l的方程.

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?y1+y2 x1+x2 ? =k· 2 +b ? 2 ? ?y1-y2=-1 ?x1-x2 k ?
2 ?2x1+2x2 x1+x2 2 ? =k· +b 2 2 ? ?? 2 2x1-2x2 1 2 ? =- ? x1-x2 k ?

? 2 2 x1+x2 ?x1+x2=k· 2 +b ?? ?x1+x2=- 1 2k ? 1 1 2 2 ?x1+x2=-4+b≥0?b≥ 4,

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1 即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F(0, ). 8 所以当且仅当 x1+x2=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F. (2)当 x1=1,x2=-3 时,直线 l 的斜率显然存在,设为 l:y=kx+b,则由(1)得 ? 2 2 x1+x2 ?x1+x2=k· 2 +b ? ?x1+x2=- 1 2k ? ? 1 ?k=4 ?? ?b=41 4 ? ?-k+b=10 ? ?? 1 ?-2k=-2 ?

1 41 .所以直线 l 的方程为 y= x+ . 4 4

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题型三

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

思维提示

①联立方程求交点 ②根与系数的关系求弦长、根的分布求范围

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例 3 已知两定点 F1(- 2,0),F2( 2,0),满足条 → → 件|PF2|-|PF1|=2 的点 P 的轨迹是曲线 E, 直线 y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)如果|AB|=6 3, 且曲线 E 上存在点 C, → +OB 使OA → → =mOC,求 m 的值和△ABC 的面积 S.

[分析] (1)先由题意求出曲线方程,联立直线方程与曲线 方程组成的方程组,消元后利用根的存在性求出k的范围. (2)在第(1)问计算的基础上,利用弦长公式求解.

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[解] (1)由双曲线的定义可知, 曲线 E 是以 F1(- 2, F2( 2, 0), 0)为焦点的双曲线的左支,且 c= 2,a=1.易知 b=1. 故曲线 E 的方程为 x2-y2=1(x≤-1). 设
?y=kx-1 ? A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组? 2 2 ?x -y =1 ?

,消去

y,得(1-k2)x2+2kx-2=0. 又已知直线与双曲线左支交于 A、B 两点,有 ?1-k2≠0 ? Δ=(2k)2+8(1-k2)>0 ? ? -2k ?x1+x2= 2<0 1-k ? ? -2 ?x1x2= 2>0 1-k ?

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解得- 2<k<-1. (2)因为|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 -2k 2 -2 2 = 1+k · ( 2) -4× 1-k 1-k2 (1+k2)(2-k2) =2 (1-k2)2 (1+k2)(2-k2) 依题意得 2 =6 3. 2 2 (1-k ) 5 2 5 整理后得 28k -55k +25=0,∴k =7或 k =4. 5 又- 2<k<-1,∴k=- . 2
4 2 2

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5 故直线 AB 的方程为 2 x+y+1=0. → → → 设 C(xC,yC),由已知OA+OB=mOC,得(x1,y1)+(x2,y2) =(mxC,myC), x1+x2 y1+y2 ∴(xC,yC)=( , )(m≠0). m m 2k 又 x1+x2= 2 =-4 5, k -1 2k2 2 y1+y2=k(x1+x2)-2= 2 -2= 2 =8. k -1 k -1 -4 5 8 ∴点 C( , ). m m

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80 64 将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 2- 2=1. m m 得 m=± 4. 但当 m=-4 时, 所得的点在双曲线的右支上, 不合题意. ∴m=4,C 点坐标为(- 5,2). 5 | 2 ×(- 5)+2+1| 1 C 到 AB 的距离为 =3. 52 2 ( 2 ) +1 1 1 ∴△ABC 的面积 S=2×6 3×3= 3.

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[规律总结] 求直线被二次曲线截得的弦长,通常是 将直线与二次曲线方程联立, 得到关于 x(或 y)的一元二次 方程,然后利用根与系数的关系及弦长公式求解. 设 AB 为圆锥曲线 C 的一条焦点弦,直线 AB 的斜率 为 k,倾斜角为 θ. x2 y2 ①若曲线 C 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0), a b 2ab2(k2+1) 2ab2 则|AB|= 2 2 2 = 2 2 2 (c 为半焦距). a k +b b +c sin θ

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x2 y2 ②若曲线 C 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0), a b 2ab2(k2+1) 2ab2 则|AB|= 2 2 2 = 2 2 2 (c 为半焦距). |a k -b | |b -c sin θ| ③若曲线 C 为抛物 线 y2 =2px(p>0) , 则 |AB|= 2p(k2+1) 2p = 2 . k2 sin θ

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备考例题3

设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相 ,OC的斜率

交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=2



,求椭圆的方程.

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2yC a yC a 2 即 = , = = 2 ,所以 b= 2a① 2xC b xC b 再由方程组消去 y 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 由|AB| = (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2-4x1x2]=2 2. 得(x1+x2)2-4x1x2=4, b-1 2b 2 即( ) -4· =4② a+b a+b 1 2 由①、②解得 a=3,b= 3 , x2 2y2 故所求的椭圆方程为 3 + 3 =1.

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题型四

直线与圆锥曲线综合问题

①利用圆锥曲线的参数方程或其他 参数 思维提示 ②把目标函数化成关于参数的一元 函数,从而解决问题

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例4

x2 y2 已知椭圆 + =1 上的两个动点 P, 及定点 M(1, Q 4 2

6 ),F 是椭圆的左焦点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列. 2 (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相 应的 P 点坐标.

[分析] (1)由|PF|,|MF|,|QF|成等差数列可得PQ的中点 横坐标,引入参数得PQ中点的纵坐标,先求kPQ,利用直线

PQ的方程求解.(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数,利用
函数的性质求最值.

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(1)证明:设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 2 a=2,b= 2,c= 2,e= 2 . 2 由椭圆的焦半径公式得|PF|=2+ 2 x1, 2 2 |QF|=2+ x2,|MF|=2+ . 2 2 2 2 ∵2|MF|=|PF|+|QF|, ∴2(2+ 2 )=4+ 2 (x1+x2), 1 ∴x +x2=2. ①当 x1=x2 时,x1=x2=1,显然结论成立; [解]

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②当

?x2+2y2=4 ? 1 1 ? 2 x1≠x2 时,由 2 ?x2+2y 2=4 ?

y1-y2 1 x1+x2 ,得 =-2· . x1-x2 y1+y2

设线段 PQ 的中点 N(1,n), y1-y2 1 ∴kPQ= =- , 2n x1-x2 ∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0, 1 ∴直线恒过一个定点 A(2,0). 1 因此线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A(2,0).

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(2)由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称, 1 故点 B(- ,0). 2 ∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2,x1∈[0,2], 12 2 1 7 9 2 2 |PB| =(x1+2) +y1=2(x1+1) +4≥4, 3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,|PB|min= . 2

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[规律总结]

求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个

重要问题,通常是先建立一个目标函数,然后利用函数的单

调性、函数的图象、函数的有界性或重要不等式等求最值,
本题是建立二次函数,利用二次函数的图象求最值.

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备考例题4

如图,直线y= x与抛物线y= x2-4交于

A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.

(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时, 求△OPQ面积的最大值.

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? 1 ?y=2x, 解:(1)解方程组? ?y=1x2-4. ? 8
?x=-4 ? ? ?y=-2 ? ?x=8, ? 或? ?y=4. ?



即 A(-4,-2),B(8,4),从而 AB 的中点为 M(2,1). 1 由 kAB= , 直线 AB 的垂直平分线方程为 y-1=-2(x 2 -2). 令 y=-5,得 x=5,∴Q(5,-5).

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1 2 (2)直线 OQ 的方程为 x+y=0,设 P(x, x -4). 8 ∵点 P 到直线 OQ 的距离 1 2 |x+ x -4| 8 1 2 d= = |x +8x-32|, 2 8 2 1 5 2 |OQ|=5 2,∴S△OPQ= |OQ|d= |x +8x-32|. 2 16 ∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点,且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3-4 或 4 3-4<x≤8. ∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8]上单调递增, ∴当 x∈[-4,8]时,y∈[-48,96] ∴|x2+8x-32|∈[0,96]. ∴当 x=8 时,△OPQ 的面积取到最大值 30.

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性质应用错误

x2 y2 例 在平面直角坐标系内,对于双曲线 2- 2=1(a>0,b> a b 0),有以下四个结论:①存在这样的点 M,使得过 M 的任意直线 都不可能与双曲线有且只有一个公共点;②存在这样的点 M,使 得过点 M 可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点;③不存 在这样的点 M,使得过点 M 可以作三条直线与双曲线有且只有一 个公共点;④存在这样的点 M,使得过点 M 可以作四条直线与双 曲线有且只有一个公共点. 这四个结论中,正确的是________.

[答案] ①②④

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①正确,点 M 在双曲线的中心时,过 M 的直线都 b 不可能与双曲线有且只有一个公共点.因为,当直线斜率|k|≥ a b 时,直线与双曲线无交点,而当|k|< 时直线与双曲线有两个交 a 点;②正确,当点 M 在双曲线的渐近线上(非中心)或在双曲线 含焦点区域内部时, M 与双曲线只有一个公共点的直线可以 过 作两条,当 M 在双曲线的渐近线上时,过点 M 只能作双曲线 的一条切线,且能作另一条渐近线的平行线,与双曲线只有一 个公共点;过双曲线含焦点区域内部一点,不能作双曲线的切 线,但可以作两条与渐近线平行的直线,分别与双曲线只有一 个公共点; [解题思路]

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高考总复习 · 数学(理)

③错误,过双曲线上一点,可以作双曲线的一条切线和 两条与渐近线平行的直线,这三条直线分别与双曲线有一个

公共点;④正确,当M在双曲线含焦点区域外部(非渐近线上)
时,可以作双曲线的两条切线,可以作两条直线分别与两条 渐近线平行,因此可以作四条直线与双曲线有且只有一个公 共点.因此,正确的是①②④.

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[错因分析]

误区一:过点M作与双曲线只有一个公共

点的直线有两类,一类是双曲线的切线,另一类是与渐近线

平行的直线,学生解答这类问题时,极易漏掉第二类的情
形. 误区二:①学生易判为错,以为过中心可作双曲线的切 线,所以不存在点M,使得过M的任意直线都不可能与双曲 线有且只有一个公共点.这是因为学生忽视了双曲线关于中

心成中心对称图形,对称中心的特殊性使过中心的直线与双
曲线要么有两个交点,要么无交点.

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