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山东省德州市某中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(理科重点班)


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高中二年级期中考试

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数 学 试 题 A 卷(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知复数 z=1﹣i,则 A. 2 =( B. ﹣2
?

2013 年 5 月



) C. 2i D. ﹣2i )

2.已知 =(-2,-3,1) =(2,0,4) c =(-4,-6,2) 则下列结论正确的是( , , , A. a / / c , b / / c
? ? ? ?

B. a / / b , a ? c

?

? ?

?

C. a / / c , a ? b

?

? ?

?

D.以上都不对

3.盒中装有 6 个大小不同的小球,其中 2 个红色的,4 个黄色的,从中任取 3 个,则至少有一个是红色的 概率是( A.16
2

) B.1 C. 3
5

D. 4
5

4.已知二次函数 y=ax +bx+c,且 a,b,c∈{0,2,4,6,8},则不同的二次函数有( A.125 个 B.100 个 C.60 个 ) C.有最大值 D.48 个



5.f(x)=3x﹣cos2x 在(﹣∞,+∞) 上( A.是增函数
2 2 2 3

B.是减函数
2

D.有最小值 ) D.c<a<b
3

6.若 a=∫0 x dx,b=∫0 x dx,c=∫0 sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( A.a<c<b 7.设 的系数为( A. ﹣150 ) B. 150 C. ﹣500 B.a<b<c C.c<b<a

的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M﹣N=240,则展开式中 x

D. 500 )

8.已知函数 f(x)=x2(x﹣a)在区间 A.

内是减函数,则实数 a 的取值范围是( D.

? 0, ? ? ?

B.

?0, ?? ?

C.

?1, ? ? ?

? 1, ? ? ?

9.对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7 2 =3+5 3 =7+9+11 4 =13+15+17+19 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+…+11,n 的分解中最小的正整数是 21,则 m+n=(
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2 3 3 3 3 2 2 2



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A.10 B.11

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C.12 D.13

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10.2012 年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、 导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲、乙只能从事前三项工作,其余三人均能从事这四项工作,则 不同的选派方案共有( A.18 种 ) B.36 种 C.48 种 D.72 种

11.给出下面四个类比结论 ①实数 a,b,若 ab=0,则 a=0 或 b=0;类比向量 , ,若 ? =0,则 = 或 = ; ②实数 a,b,有(a+b) =a +2ab+b ;类比向量 , ,有( + ) = +2 ? + ; ③向量 ,有| | = ;类比复数 z,有|z| =z ; ④实数 a,b 有 a +b =0,则 a=b=0;类比复数 z1,z2 有 z1 +z2 =0,z1=z2=0. 其中类比结论正确的命题个数为( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=0,当 x>0 时,有 f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式 xf(x)>0 的解集为( A. ( ?? , 0 ) ? ( 0 ,1) )

B. ( ?? , ? 1) ? ( 0 ,1)

C. ( ? 1, 0 ) ? (1, ?? ) D. ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) 第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题: (本题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. 若(2k ﹣3k﹣2)+(k ﹣2k)i 是纯虚数,则实数 k 的值等于 ___ . 14. ? a ? x ??1 ? 15.函数
x
2 2

? 的展开式中 x
5
3

2

项的系数是 15,则 a = _______.

f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 ,若对于区间 ? ? 3, 2 ? 上的任意 x1 , x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? t ,则实数 t 的

最小值是________. 16.已知 (1 + 2 x ) (1 - x ) = a 0 + a 1 x + ? + a 7 x , 则
2 5 7

a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ?

______.

三、解答题: (本题共 6 个小题,17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分) 17.已知 z=1+i,a,b 为实数. (1)若 ω =z +3 ﹣4,求|ω |;
2

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(2)若 ,求 a,b 的值.

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18.如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= (1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A﹣A1C﹣B 的余弦值.

,∠ABC=60°.

19.现有 4 个同学去看电影,他们坐在了同一排,且一排有 6 个座位.问: (1)所有可能的坐法有多少种? (2)此 4 人中甲,乙两人相邻的坐法有多少种? (3)所有空位不相邻的坐法有多少种?

20.已知四边形 A B C D 是菱形,AB=2, ? B A D ? 6 0

0

四边形 B D E F 是矩形 ,平面 B D E F ? 平面 A B C D , G 、 H 、O、N 分别是 C E 、 C F 、BD、EF 的中点. (1)求证 :ON⊥平面 A B C D ; (2)若平面 B D G H 与平面 A B C D 所成的角为 6 0 ,求直线 C F 与平面 B D G H 所成的角的正弦值.
0

N
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O

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21.已知递增等差数列{an}满足:a1=1,且 a1,a2,a4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若不等式(1﹣ )?(1﹣ )…(1﹣ )≤ 对任意 n∈N ,试猜想出实数 m 的最小
+

值,并证明.

22.已知函数 f(x)=x﹣1﹣alnx(a∈R). ) (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的方程为 3x﹣y﹣3=0,求实数 a 的值; (2)求证:f(x)≥0 恒成立的充要条件是 a=1; (3)若 a<0,且对任意 x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4| ﹣ |,求实数 a 的取值范围.

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2013 年 5 月

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数 学 答 案 A 卷(理科) 一、选择题:ACDBA DBCBD BD 二、填空题:﹣ 三、解 答题 |ω |= = ;…6 分 1 20 -31

17.解: (1)因为 ω =z2+3 ﹣4═(1+i)2+3(1﹣i)﹣4=﹣1﹣i,

(2)由条件

,得



即 ∴(a+b)+(a+2)i=1+i,





,解得

.…12 分 ,

18.解: (1)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,∴AB⊥AA1,在△ABC 中,AB=1,AC= ∠ABC=60°,由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°,即 AB⊥AC,∴AB⊥平面 ACC1A1,又 A1C?平面 ACC1A1, ∴AB⊥A1C.…4 分 (2)如图,作 AD⊥A1C 交 A1C 于 D 点,连接 BD, 由三垂线定理知 BD⊥A1C, ∴∠ADB 为二面角 A﹣A1C﹣B 的平面角. 在 Rt△AA1C 中,AD= = = ,

在 Rt△BAD 中,tan∠ADB=

=

,∴cos∠ADB= .…12 分



即二面角 A﹣A1C﹣B 的余弦值为

19.解:(1)4 个同学去看电影,他们坐在了同一排,且一排有 6 个座位, 所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数, ∴所有可能的坐法有
A6
4

=360 种.…4 分

(2)4 人中甲,乙两人相邻,
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2

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A 2 ? A5
3

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用捆绑法得到 4 人中甲,乙两人相邻的坐法有

=120 种.…8 分
A4
4

(3)所有空位不相邻用插空法,先把 4 人排成一排,有 再往 4 个人构成的个空中插入两个空座位,有
2

种排法,

C5
4

2

种插入方法, =240 种.…12 分

由乘法原理,得所有空位不相邻的坐法有 20. 解: ( 1 ) ? 四 边 形 B D E F是 矩 形 , ?

C 5 ? A4

B F ? B D , ? 平 面 B D E F? 平 面 A B C D, ? B F ? 平 面

ABCD ----------------------------4 分

又? O、N 分别是 BD、EF 的中点,? O N / / B F ? O N ? 平面 A B C D . (2)建系 { O B , O C , O N } 设 BF ? t ,
0 0 0 则 B ? 1,, ? , C ? 0, 3 , 0 ? , F ? 1,, t ?
?1 3 t ? H ? , , ?2 2 2? ? ? ?

??? ???? ???? ?

-----------------------------------------------------6 分
??? ? ???? ? 1 3 t ? O B ? ? 1, 0 , 0 ? , O H ? ? , , 设 平 面 B D G H的 法 向 量 为 ?2 2 2? ? ? ? ?? n1 ? ? x , y , z ?

?? ??? ? ? n1 ? O B ? x ? 0 ?? ? ,所以 n1 ? 0 , ? t , 3 ? ?? ???? 1 3 t y? z ? 0 ? n1 ? O H ? x ? ? 2 2 2 ?? ? 平面 A B C D 的法向量 n 2 ? ? 0, 0,1 ? ---------------------------9 分

?

?

?? ?? ? | c o s ? n1 , n 2 ? | ?

3 3?t
2

?

1 2

,所以 t ? 9, t ? 3
2

-------------------------------10 分

所以 C F ? ? 1, ? 3 , 3 ? ,设直线 C F 与平面 B D G H 所成的角为 ?
sin ? ? | cos ? CF , n 1 ? | ? 6 3 13 ? 2 3 ? 3 13 13

??? ?

-------------------------------12 分

21.解: (1)设数列{an}公差为 d(d>0) , 由题意可知 a1?a4= ,即 1(1+3d)=(1+d) ,
2

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解得 d=1 或 d=0(舍去) . 所以,an=1+(n﹣1)?1=n.------------------4 分 (2)不等式等价于 ? ? … 当 n=1 时,m≥ 而 > ;当 n=2 时,m≥ ≤ ; ,

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,所以猜想,m 的最小值为

.------------------6 分

下面证不等式 ? ? … 下面用数学归纳法证明.



对任意 n∈N 恒成立.

*

证明:1°当 n=1 时, ≤

= ,成立.

2°假设当 n=k 时,不等式, ? ? …



成立,

当 n=k+1 时, ? ? …

?



?



只要证 只要证
2

? ≤

≤ ,
2

, 只要证 ≤2k+2,

只要证 4k +8k+3≤4k +8k+4, 只要证 3≤4,显然成立.

所以,对任意 n∈N*,不等式 ? ? …



恒成立.------------------12 分

22.解: (1)∵f'(x)=1﹣ ,∴f'(1)=1﹣a∴曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的斜率为 1﹣a ∵曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线的方程为 3x﹣y﹣3=0, ∴1﹣a=3,解得 a=﹣2------------------2 分 (2)①充分性

当 a=1 时,f(x)=x﹣1﹣lnx,f'(x)=1﹣ = ∴当 x>1 时,f'(x)>0,所以函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数, 当 0<x<1 时,f'(x)<0,所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数, ∴f(x)≥f(1)=0------------------5 分

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②必要性

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f'(x)=1﹣ =

,其中 x>0

(i)当 a≤0 时,f'(x)>0 恒成立,所以函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数 而 f(1)=0,所以当 x∈(0,1)时,f(x)<0,与 f(x)≥0 恒成立相矛盾 ∴a≤0 不满足题意. (ii)当 a>0 时,∵x>a 时,f'(x)>0,所以函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数; 0<x<a 时,f'(x)<0,所以函数 f(x)在(0,a)上是减函数; ∴f(x)≥f(a)=a﹣a﹣alna ∵f(1)=0,所以当 a≠1 时,f(a)<f(1)=0,此时与 f(x)≥0 恒成立相矛盾 ∴a=1 综上所述,f(x)≥0 恒成立的充要条件是 a=1;------------------8 分 (3)由(2)可知, 当 a<0 时,函数 f(x)在(0,1]上是增函数,又函数 y= 在(0,1]上是减函数 不妨设 0<x1≤x2≤1 则|f(x1)﹣f(x2)|=f(x2)﹣f(x1) ,

∴|f(x1)﹣f(x2)|≤4|



|即 f(x2)+4×

≤f(x1)+4×

设 h(x)=f(x)+ =x﹣1﹣alnx+ ,

则|f(x1)﹣f(x2)|≤4|



|等价于函数 h(x)在区间(0,1]上是减函数

因为 h'(x)=1﹣ ﹣

=

,所以 x2﹣ax﹣4≤0 在(0,1]上恒成立,

即 a≥x﹣ 在(0,1]上恒成立,即 a 不小于 y=x﹣ 在(0,1]内的最大值.而函数 y=x﹣ 在 (0,1]是增函数,所以 y=x﹣ 的最大值为﹣3 所以 a≥﹣3,又 a<0,所以 a∈[﹣3,0) .------------------14 分

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