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2.2.2(3)对数函数及其性质(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计

2.2.2(3)对数函数及其性质(教学设计) (内容:指数函数与对数函数的关系) 教学目的: ⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数; ⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识,了解互为反函数的两个函数图象间的关系; ⒊通过指数函数与对数函数的比较,了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系

. 教学重点:底数相同的指数函数与对数函数互为反函数. 教学难点:互为反函数的两个函数图象间的关系. 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 1、指数函数与对数函数对照表 指数函数 一般形式 对数函数

y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1)

y ? loga x (a ? 0 ,且 a ? 1)

图象

定义域 值域

(??, ??)

(0, ??)

(0, ??)
当 a ? 1 时, 当 a ? 1 时,

(??, ??)

函 数 值 变 化 情 况

?a x ? 1, x ? 0, ? x ?a ? 1, x ? 0, ?a x ? 1, x ? 0. ?
当 0 ? a ? 1 时,

?log a x ? 0, x ? 1, ? ?log a x ? 0, x ? 1, ?log x ? 0, x ? 1. ? a
当 0 ? a ? 1 时,

?a ? 1, x ? 0, ? x ?a ? 1, x ? 0, ?a x ? 1, x ? 0. ?
x

?log a x ? 0, x ? 1, ? ?log a x ? 0, x ? 1, ?log x ? 0, x ? 1. ? a
a ? 1 时, y ? log a x 是增函数; 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减函数

a ? 1 时, y ? a x 是增函数;
单调性

0 ? a ? 1 时, y ? a x 是减函数
图象

x 函数 y ? a 的图象与函数 y ? log a x 的图象关于直线 y ? x 对称.

从上面的表格中,我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系,今天我们就对它们之间的关系来做一番 研究. 二、师生互动,新课讲解: 例 1:在同一坐标系中,作出函数 y ? 2 与 y ? log 2 x 的图象,并观察两图象之间有何关系。
x

1

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变式训练 1:在同一坐标系中,作出函数 y ? ( ) 与 y ? log 1 x 的图象,并观察两图象之间有何关系。
x

1 2

2

2、反函数: 问 1:在指数函数 y ? 2x 中,x 为自变量,y 是因变量.如果把 y 当成自变量,x 当成因变量,那么 x 是 y 的函数吗? 答 1:由指数式 y ? 2 可得对数式 x ? log 2 y .这样,对于任意一个 y ? (0, ??) ,通过式子 x ? log 2 y ,x 在 R 中都有
x

唯一的值和它对应.也就是说,可以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数. 问 2:你可以用几何方法来得到上面的结论吗? 答 2:指数函数 y ? 2x 中,x 为自变量 ( x ? R) ,y 是 x 的函数 ( y ? (0, ??)) ,并且它是

(??, ??) 上的单调递增函数.我们过 y 轴正半轴上任一点,作 x 轴的平行线,与 y ? 2x 的
图象有且只有一个交点.这也说明,对于任意一个 y ? (0, ??) ,x 在 R 中都有唯一的值和 它对应.也就是说,可以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数.
x 问 3:这时我们称函数 x ? log 2 y ( y ? R) 是函数 y ? 2 ( x ? R) 的反函数.

请同学们考虑,在函数 x ? log 2 y 中,自变量、函数各是什么呢?这合乎我们的习惯吗? 答 3:在函数 x ? log 2 y 中,y 是自变量,x 是函数.而习惯上,我们通常用 x 表示自变量,y 表示函数. 问 4:为了和我们的习惯一致,我们常常对调函数在函数 x ? log 2 y 中的字母 x,y,把它写成 y ? log 2 x .于是,对数
x 函数 y ? log 2 x ( x ? (0, ??)) 是指数函数 y ? 2 ( x ? R) 的反函数.

2

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请同学们仿照上面的过程,说明对数函数 y ? log a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 之间 的关系. 答 4: (探究、讨论得出结论)对数函数 y ? log a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数. 问 5:对于具体的指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) ,我们可以怎样得到它的反函数呢? 答 5:对于具体的指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) ,我们可以先把它化为对数形式 x ? log 2 y ,然后再对调其中的字 母 x,y,就得到了它的反函数 y ? log a x (a ? 0 ,且 a ? 1) . 问 6:请同学们观察一下对数函数 y ? log a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的定义域和值域, 你能得出什么结论? 答 6: 指数函数 y ? a x (a ? 0 , 且 a ? 1) 的定义域和值域分别是对数函数 y ? log a x (a ? 0 , 且 a ? 1) 的值域和定义域. 问 7:请同学们观察对数函数 y ? log 2 x ( x ? (0, ??)) 是指数函数 y ? 2x ( x ? R) 的图象,它们有什么关系呢? 答 7: (观察得)对数函数 y ? log 2 x ( x ? (0, ??)) 是指数函数 y ? 2x ( x ? R) 的图象关于直线 y ? x 对称. 小结:对数函数 y ? log a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 和指数函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称.两函数 互为反函数。 例 2:求下列函数的反函数: (1)y=3 ; (2)y=lnx ; (3)y=
x

1 ; (4) y ? x x

小结:求函数的反函数的步骤: (1)求定义; (2)反解; (3)互换 性质:反函数的定义域就是原函数的值域。 变式训练 2:求下列函数的反函数: (1) y=x+1; (2)y= e ;(3)y= log 2 ( x ? 1)
x

例 3:作出下列函数的图象: (1)y=|lgx| ; (2)y=lg|x| 变式训练 3:作出下列函数的图象: (1)y=| log 1 x |; (2)y=ln|x|;(3)y= 2
2
| x|

例 4:解下列不等式: (1) log 1 (2 x ? 1) ? 0 ; (2) log 1 (2 x ? 1) ? 0 ; (3) log 1 (2 x ? 1) ? 0 ; (4) log2 ( x ? x) ? 1
2
2 2 2

(5) log2 ( x ? x) ? 1
2

3

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变式训练:解下列不等式: (1) log2 ( x2 ? 2x) ? 3 ; (2) log2 ( x2 ? 4x) ? 5 ; (3) log 1 ( x2 ? 2 x) ? ?1
3

三、课堂小结,巩固反思: 1、指数函数与对数函数互为反函数。 2、互为反函数的两图象关于 y=x 对称。 3、用“同底化”法解指对数不等式。 4、重视分类讨论的数学思想。 四、布置作业: A 组: 1、在同一坐标系中,作出函数 y=lgx 与 y ? 10 x 的图象,并分别写出它们的定义域,值域,单调递增区间。

2、求下列函数的反函数 x-1 (1)y=2x+3; (2)y=ln(x+1); (3)y=10

3、解下列不等式: (1) lg( x2 ? 3x) ? 1 ; (2) log 1 ( x2 ? 8x) ? ?2 ; (3) log 1 ( ? 1) ? ?1 ;
3
2

1 x

4、判断下列函数的奇偶性 (1) y ? log 3

1? x |x| ; (2)y=loga|x|; (3)y=2 1? x

B 组: 1、(tb0218719)若 a>0 且 a ? 1,且 loga (A)0<a<1 (B) 0<a< 2、函数 y ? log2 ( x ? A.奇函数而非偶函数

3 4

3 <1,则实数 a 的取值范围是(D) 。 4 3 3 3 (C) a> 或 0<a< (D) 0<a< 或 a>1 4 4 4
] C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数

x 2 ? 1)(x ? R) 的奇偶性为[
B.偶函数而非奇函数

4


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