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广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之广州二模综合训练四


2013 届高三二轮复习 二模 综合训练四 2013-4-16 专题:简单排列组合 1、现有 6 名同学听同时进行的 5 个课外知识讲座,名每同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是 ( )

5? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 D. 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 2 2、从集合 A= ? 1,2,3?,B= ?4,5,6?,C= ?7,8,9?中各取一个数,组成无重复数字的三位数的个
A. 5
6

B. 6

5

C.

数是( A.54 个

) B.27 个 C.162 个 D.108 个

3、从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人承 担一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 A. 60 种 B. 72 种 C. 84 种 D. 96 种 ( )

4、12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排, 若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )

A. C82 A32

6 B. C82 A6

2 C. C82 A6

D. C82 A52

5、某中学一天的课表有 6 节课 , 其中上午 4 节, 下午 2 节, 要排语文、数学、英语、信息 技术、体育、地理 6 节课,要求上午第一节课不排体育,数学必须排在上午,则不同排 法共有 ( ) A. 600 种 B. 480 种 C. 408 种 D. 384 种 6、现有 4 种不同颜色要对如图 1 所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用 同一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种 7、安排 5 名歌手的演出顺序时,要求甲不第一个出场,乙不最后一个出场, 不同排法的总数是 .(用数字作答) 78

8、 (1)从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的 图1 选法共有_____种 36 (2) (2006 福建)从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有_____________ 186 9、 (1)4 名医生分配到 3 个医疗队,每队至少去 1 名,则不同的分配方案有________.36 (2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、 乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为____________ 30 10、 (1)把 4 个不同的小球全部放入 3 个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法总数为 __36___ (2) 7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中,则每个盒子都不空的放法共有__20___ 种 11、将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴世博会的三个不同场馆服 务,不同的分配方案有 解答题专项训练 90 种(用数字作答) .

1、如图 5,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧

AC 的中点,点 B 和点 C

为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB = FD = 5a ,FE= 6a . (1)证明: EB ? FD ; (2) 已知点 Q, R 为线段 FE, FB 上的点, FQ ?

2 2 FE , FR ? FB , 3 3

求平面 BED 与平面 RQD 所成的两面角的正弦值.

Ks5u

2、某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛 时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.

假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为

2 ,且各局比赛胜负互不影响. 3

(Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

Ks5u

3、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? 像如图所示. (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、
-2 -1

y
1 O -1

π π ?? ? ) ,其部分图 2 2

1

2

3

4

5

6

x

N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上,求 sin ?MNP 的值.

附加题训练——这道题大多数人应该都能做出来,建议大家都认真思考. 4、数列{an}满足 an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27. (1)求 a1,a2 的值;

1 (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= n(an+t)(n∈N*),且数列{bn}为等差数列? 2 若存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2013 届高三二轮复习

二模 综合训练四

2013-4-16

1、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ) ,其部分图 2 y 2 像如图所示.
1

π

π

(1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 已知横坐标分别为 ? 1 、 1 、 5 的三点 M 、

-2

-1

O -1

1

2

3

4

5

6

x

N 、 P 都在函数 f ( x) 的图像上,求 sin ?MNP 的值.
解: (1)由图可知, A ? 1 , ??????1 分

最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8, 所以 T ? 又 f (1) ? sin(



?

? 8,? ?

π . 4

?3 分

π π π ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? 4 2 2 π π 3π π π π 所以 ? ? ? ? ? , ? ? ? ,? ? . ???5 分 4 4 4 4 2 4 π 所以 f ( x) ? sin ( x ? 1) . ?????6 分 4 π π (2) 解法一: 因为 f (?1) ? sin ( ?1 ?1) ? 0, f (1) ? sin (1 ?1) ?1, 4 4 π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) ,?8 分 从而 cos ?MNP ?

MN ? 5, MP ? 37, PN ? 20 ,

5 ? 20 ? 37 3 ? ? , ?10 分 5 2 5 ? 20
2

由 ?MNP ??0, π? ,得 sin ?MNP ? 1 ? cos ?MNP ? 解法二: 因为 f (?1) ? sin

4 . ???12 分 5

π π ( ?1 ?1) ? 0, f (1) ? sin (1 ?1) ?1, 4 4
所以 M (?1,0), N (1,1), P(5, ?1) , ?8 分

π f (5) ? sin (5 ? 1) ? ?1 , 4

NM ? (?2, ?1), NP ? (4, ? 2) , NM ? NP ? ?6 , NM ? 5, NP ? 20 ? 2 5 ,
则 cos ?MNP ?

NM ? NP NM ? NP

?

?6 3 ?? . 5 5?2 5

?????10 分

2、某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛 时,每局胜者得分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设 选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为

2 ,且各局比赛胜负互不影响. 3

(Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1 ?

2 1 ? .????1 分 3 3

比 赛 进 行 4 局 结 束 , 且 乙 比 甲 多 得 2 分 即 头 两 局 乙 胜 一 局 , 3,4 局 连 胜 , 则

4 1 1 2 1 1 P2 ? C2 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81
(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 . 则 P (? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ?

????4 分 ???5 分 ????6 分 ????7 分 ????9 分

2 1 5 3 3 9 20 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 P(? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 33 3 33 3 81 16 1 1 2 2 P(? ? 6) ? (C2 ) ? 33 81

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

4

6
16 81
???10 分

5 9

20 81

5 20 16 266 ????12 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81 3、如图 5,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧
则 E? ? 2 ?

AC 的中点,点 B 和点 C

为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB = FD = 5a ,FE= 6a . (1)证明: EB ? FD ; (2) 已知点 Q, R 为线段 FE, FB 上的点, FQ ?

2 2 FE , FR ? FB , 3 3

求平面 BED 与平面 RQD 所成的两面角的正弦值.

证明 : (1)连结CF . B, C为线段AD的三等分点,? AB ? BC ,即B为半圆AEC的圆心, 又E为半圆AEC的中点,? EB ? BC.
在?BDF中, BF ? DF ? 5a, 所以?BDF 是等腰三角形, 且点C是底边BD的中点, 所以CF ? BD. 故CF= BF 2 ? BC 2 = ( 5a) 2 ? a 2 =2a, 在?CEF中, EF 2 ? 6a 2 ? ( 2a ) 2 ? (2a ) 2 ? CE 2 ? CF 2 , 所以CF ? EC. 由CF ? BD,CF ? EC,且EC BD=C,? FC ? 平面BED, 而EB ? 平面BED,? FC ? EB, ? BE ? 平面BDF , 又FD ? 平面BDF,? EB ? FD.
(2)设平面 BED 与平面 RQD 的交线为 DG . 由 BQ=

2 2 FE,FR= FB 知, QR || EB . 3 3

而 EB ? 平面 BDF ,∴ QR || 平面 BDF , 而平面 BDE 平面 RQD = DG ,

∴ QR || DG || EB . 由(1)知, BE ? 平面 BDF ,∴ DG ? 平面 BDF , 而 DR ? 平面 RQD , BD ? 平面 BDF , ∴ DG ? DR, DG ? DB ,∴ ? RDB 是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角. 在 Rt ?BCF 中, CF ?

BF 2 ? BC 2 ? ( 5a) 2 ? a 2 ? 2a ,

sin ?RBD ?
由FR ?

FC 2a 2 1 2 ? ? , cos ?RBD ? 1 ? sin ?RBD ? . BF 5a 5 5

2 1 5a FB知, BR ? FB ? , 3 3 3 5a 2 5a 1 ) ? 2 ? 2a ? ? ? 3 3 5 29a . 3

利用余弦定理:RD ? BD 2 ? BR 2 ? 2 BD ? BR ? cos ?RBD ? (2a ) 2 ? ( 5a BR RD 3 利用正弦定理: ? ,即 ? sin ?RDB sin ?RBD sin ?RDB 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为 2 29 . 29

29a 3 ,? sin ?RDB ? 2 29 . 2 29 5

解法二:向量法

4、{an}满足 an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27. (1)求 a1,a2 的值; 1 (2)是否存在一个实数 t,使得 bn= n(an+t)(n∈N*),且数列{bn}为等差数列?若存在, 2

求出实数 t;若不存在,请说明理由; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由 a3=27,得 27=2a2+23+1,∴a2=9,∵9=2a1+22+1,∴a1=2. (2)假设存在实数 t,使得{bn}为等差数列,则 2bn=bn-1+bn+1,(n≥2 且 n∈N*) 1 1 1 ∴2× n(an+t)= n-1(an-1+t)+ n+1(an+1+t), 2 2 2 ∴4an=4an-1+an+1+t, an-2n-1 + ∴4an=4× +2an+2n 1+1+t,∴t=1. 2 即存在实数 t=1,使得{bn}为等差数列. 3 5 1 (3)由(1),(2)得 b1= ,b2= ,∴bn=n+ , 2 2 2 1 ? 2n-1=(2n+1)2n-1-1, ∴an=? ?n+2?· - Sn=(3×20-1)+(5×21-1)+(7×22-1)+?+[(2n+1)×2n 1-1] 2 n-1 =3+5×2+7×2 +?+(2n+1)×2 -n,① ∴2Sn=3×2+5×22+7×23+?+(2n+1)×2n-2n,② - 由①-②得-Sn=3+2×2+2×22+2×23+?+2×2n 1-(2n+1)×2n+n n 1-2 =1+2× -(2n+1)×2n+n=(1-2n)×2n+n-1, 1-2 ∴Sn=(2n-1)×2n-n+1.


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