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山东省蒙阴县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理



蒙阴一中高二下学期期中考试 数学(理科)试题
2016.5 考试范围:选修 2-2 全部;考试时间:120 分钟; 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题 ) 一、选择题:(本大题共有 10 个小题每题 5 分 共 50 分请将正确答案填涂在答题卡上) 1.若复数 z 满足 z(1+i)=3+i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数为( ) A.﹣2﹣i B.2﹣i C.﹣2+i D. 2+i 2.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电,”此推理类型属于( ) A.合情推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.归纳推理 3.若复数 z 满足(1﹣i)z=|3﹣4i|,则 z 的实部为( A.﹣ B. C. D.﹣ )

4.已 知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( A. C. 2π 5 4 3 B. D. 3 2 π 2

)

5.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集, R 为实数集, C 为复数集) (1) “若 a, b ? R ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a, b ? C ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” (2) “若 a, b, c, d ? R ,则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d ”类比推出“若 a, b, c, d ? Q ,则复数

a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c, b ? d ”
(3) “若 a, b ? R ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a, b ? C ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 其中类比正确的个数为( ) A. 0 B. 1
3 2

C. 2

D. 3

6.f(x)=ax +3x +2,若 f′(﹣1)=3,则函数在 x=﹣1 处的切线方程为( ) A.y=3x+5 B.y=3x﹣5 C.y=﹣3x+5 D.y=﹣3x﹣5 7.用反证法证明命题“若 a +b+c≥0,abc≤0,则 a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为 ( )

1

A.a、b、c 三个实数中最多有一个不大于零 B.a、b、c 三个实数中最多有两个小于零 C.a、b、c 三个实数中至少有两个小于零 D.a、b、c 三个实数中至少有一个不大于零 8.已知 f(x)= x +sin
2

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象是(



AG ? 2 ”. GD 若把该结论推广到空间,则有结论: “在棱长都相等的四面体 ABCD 中,若 ?BCD 的中心为 M ,四面体 AO ?( ) 内部一点 O 到四面体各面的距离都相等,则 OM A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知结论: “在正三角形 ABC 中,若 D 是边 BC 的中点, G 是三角形 ABC 的 k 中心,则 10.设 a∈R,若函数 y=e +2ax,x∈R 有大于 0 的极值点,则( ) A.a<﹣ B.a>﹣ C.a<﹣ D.a>﹣
x

2

第二卷(非选择题)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将正确答案书写在答题 纸的相应位置) 11.若纯虚数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? ai ,则实数 a 等于______. 12.已知复数 z=x+yi(x ,y∈R),且|z-2|= 3,则 的最大值为________. 13.f(x)=x(x﹣c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 14.若三角形内切圆半径为 r,三边长为 a,b,c,则 S ?
2

y x



1 (a ? b ? c)r ,利用类比思想:若四面体内切球 2

半径为 R,四个面的面积为 S1 , S2 , S3 , S4 ,则四面体的体积 V ? ________. 15.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 20 行( n ? 3 )从左到右的第 3 个数为 _____.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分)。 16.本题(12 分) 已知 i 是虚数单位,复数 z 满足(z﹣2)i=﹣3﹣i. (1)求 z; (2)若复数 在复平面内对应的点在第一象限,求实数 x 的取值范围.

17. (本题 12 分) 3 2 已知函数 f(x)=﹣x +ax +bx+c 图象上的点 P(1,﹣2)处的切线方程为 y=﹣3x+1. (1)若函数 f(x)在 x=﹣2 时有极值,求 f(x)的表达式 (2)若函数 f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,求实数 b 的取值范围. 18. (本题 12 分) 1 已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,∫0f(x)dx=-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.

3

19. (本题 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,a1=﹣ , Sn+ (n≥2) .

(1)计算 S1,S2,S3,猜想 Sn 的表达式并用数学归纳法证明; (2)设 bn= ,数列的{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>﹣ .

20. (本题 13 分) 2 已知函数 f(x)=x +alnx (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围.

21. (本题 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? b) ln x ? bx ? 3 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 . (1)求 a , b 的值及函数 f ( x ) 的极值; (2)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ? ?? ? (n ? 2, n ? N ) . 2 3 4 n n

4

蒙阴一中 2015-2016 学年度下学期期中试题 参考答案 1.D 解:由 z(1+i)=3+i,得 2.C 解:在推理过程“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”中 所有金属都能导电,是大前提 铁是金属,是小前提 所以铁能导电,是结论 故此推理为演绎推理 3.B 解:由(1﹣i)z=|3﹣4i|,得 4.C 5.C 试 题分析:(1)是正确的; (2)由 a ? b 2 ? c ? d 2 得 (a ? c) ? (b ? d ) 2 ? 0 ,因 为 2 是无理数, a, b, c, d 都是有理数,则 ? .∴z 的实部 为 . ,∴ ,

?a ? c ? 0 ,即 a ? c ,b ? d , (2)正确; (3)是 ?b ? d ? 0

错误的,如 a ? 3 ? i, b ? 2 ? i ,满足 a ? b ? 1 ? 0 ,但 a ? b 不成立,所以有两个是正确的, 6.A 解:f(x)=ax +3x +2 的导数为 f′(x)=3ax +6x, ∵f′(﹣1)=3,∴3a﹣6=3,解得 a=3,∴f(﹣1)=﹣3+3+2=2 则函数在 x=﹣1 处的切线方程为 y﹣2=3(x+1) ,即 y=3x+5. 7.C 解:用反证法证明数学命题时,应先假设命题的否定成立, 而命题“a、b、c 三个实数中最多有一个小于零”的否定为:“a、b、c 三个实数中至少有 两个小于零” , 故应假设的 内容是:a、b、c 三个实数中至少有两个小于零. 8.A 解:由 f(x)= x +sin
2 3 2 2

= x +cosx,

2

∴f′(x)= x﹣sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除 B,D . 又 f″(x)= ﹣cosx,当﹣ 故函数 y=f′(x)在区间(﹣ <x< , 时,cosx> ,∴f″(x)<0, )上单调递减,故排除 C.

9. .C:由于 ABCD 是正四面体,因此 AM ? 平面 BCD ,且 O 在 AM 上, ?BCD 的面积 为 S ,则 V ? VO ? ABC ? V O? ABD ? V O ?

1 1 ? 4 ? S ? OM ,又 V ? S ? AM ,所以 3 3 AO 1 1 ? 3 .故选 C. 4 ? S ? OM ? S ? AM , AM ? 4OM ,所以 OM 3 3
ACD

?V O ?

BCD

10.C 解:∵y=e +2ax,∴y'=e +2a. 由题意知 e +2a=0 有大于 0 的实根,由 e =﹣2a,得 a=﹣ e ,∵x>0,
x x x

x

x

∴e >1.∴a<﹣ .

x

11. 1:由题意 z ?

1 ? ai (1 ? ai)(1 ? i) 1 ? i ? ai ? ai 2 1 ? a 1 ? a ? ? ? ? i , z 为纯虚数, 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

?1 ? a ?0 ? ? 2 则? , a ? 1. 1 ? a ? ?0 ? ? 2
12. 3,解析:|z-2|= ?x-2? +y = 3, ∴(x-2) +y =3. 由图可知? ?max= x
2 2 2 2

?y? ? ?

3 = 3. 1

13.6【解析】 :先求出 f′(x) ,根据 f(x)在 x=2 处有极大值则有 f′(2)=0 得到 c 的 值为 2 或 6,先让 c=2 然后利用导数求出函数的 单调区间,从而得到 x=2 取到极小值矛盾, 所以舍去,所以得到 c 的值即可. 3 2 2 2 2 解:f(x)=x ﹣2cx +c x,f′(x)=3x ﹣4cx+c , 2 f′(2)=0? c=2 或 c=6.若 c=2,f′(x)=3x ﹣8x+4, 令 f′(x)>0? x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 故函数在(﹣∝, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2 )上单调递减, ∴x=2 是极小值点.故 c=2 不合题意,c=6.

1 R ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? .试题分析:由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为 3 1 底,其内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和,从而可得公式 S ? (a ? b ? c )r ,由类 2
14. 比思想得, 四面体的体积亦可拆分成由四个面为底, 其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体

1 R ? S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? . 3 n(1 ? n) n(n ? 1) ? 2 ,当 n 为奇数时 ?3 15.208.当 n 为偶数时 2 2 试题分析:从数阵看,第 i 行有 i 个数,从左到右,奇数行是从小到大排列,偶数行是从大 n(n ? 1) ? 3 ,当 n 为 到小排列,所以当 n 为奇数时,所求数为 [1 ? 2 ? 3 ? L ? (n ? 1)] ? 3 ? 2 n(n ? 1) ?2. 偶数时,所求数为 (1 ? 2 ? 3 ? L ? n) ? 2 ? 2
积之和,从而可得计算公式 V ? 16. 解: (1)由(z﹣2)i=﹣3﹣i,得 zi=﹣3+i, 所以 z= (2)因为 z=1+3i. 所以 = = [(x+3)+(1﹣3x)i] =1+3i.

因为

对应的点在第一象限,所以

解得﹣3<x< .

所以,实数 x 的取值范围是(﹣3, ) . 17. 解:f′(x)=﹣3x +2ax+b, 因为函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为﹣3,所以 f′(1)=﹣3+2a+b=﹣3,即 2a+b=0, 又 f(1)=﹣1+a+b+c=﹣2 得 a+b+c=﹣1. (1)函数 f(x)在 x=﹣2 时有极值,所以 f'(﹣2)=﹣12﹣4a+b=0, 3 2 解得 a=﹣2,b=4,c=﹣3,所以 f(x)=﹣x ﹣2x +4x﹣3. 2 (2)因为函数 f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,所以导函数 f′(x)=﹣3x ﹣bx+b 在区间[﹣2,0]上的值恒大于或等于零, 则
2 2

得 b≥4,所以实数 b 的取值范围为[4,+∞)

18.解:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b.由 f(-1)=2,f′(0)=0, 得?
? ?a-b+c=2, ?b=0, ?

即?

? ?c=2-a, ?b=0, ?

故 f(x)=ax +(2-a).

2

?1 3 ?? 1 1 2 又∫0f(x)dx=∫0[ax +(2-a)]dx=? ax +?2-a?x?? 3 ? ??
得 a=6,故 c=-4.从而 f(x)= 6x -4.
2

1 0

2 =2- a=-2, 3

(2)因为 f(x)=6x -4,x∈[-1,1],所以当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=±1 时,f(x)max=2.即 f(x)在[-1,1]上的最大值为 2,最小值为-4. 19 . 解 : ( 1 ) 因 为 an=Sn ﹣ Sn ﹣ 1 ( n≥2 ) ,所以 ,于是有: 猜想: 证明:①当 n=1 时, ②假设 n=k 时猜想成立,即 那么 ,猜想成立. , ,
*

2

,由此整理得 ,

所以当 n=k+1 时猜想成立,由①②可知,猜想对任何 n∈N 都成立. (6 分) ( 2 ) 由 ( 1 ) , 于 是 , :

又因为

,所以

. = (x>0)

20.解: (Ⅰ)求导函数可得

令 f′(x)>0,则﹣1<x<0 或 x>1,∵x>0,∴x>1; 令 f′(x)<0,则 x<﹣1 或 0<x<1,∵x>0,∴0<x<1; ∴函数的单调递增区间是(1,+∞) ,单调递减区间是(0,1) . (Ⅱ)由题意得 g'(x)=2x+ ﹣ , ≥0 在[1,+∞)上恒成立,即

①若函数 g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则 2x+ ﹣ a≥ ﹣2x 在[1,+∞)上恒成立,
2

设 Φ (x)= ﹣2x ,∵Φ (x)在[1,+∞)上单调递减,∴Φ (x)≤Φ (1)=0,∴a≥0 ②若函数 g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,不可 能.∴实数 a 的取值范围[0,+∞) 21. 试题解析: (1)因为 f ?1? ? ?b ? 3 ? 2 ,所以 b ? 1 ; 又 f ?? x? ?

2

b 1 ? a ln x ? a ? b ? ? a ln x ? a ? 1 , x x

而函数 f ? x ? ? ? ax ? b? ln x ? bx ? 3 在 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 , 所以 f ? ?1? ? 1 ? a ?1 ? 0 ,所以 a ? 0 ; 故 f ? x ? ? ln x ? x ? 3 , f ? ? x ? ?

?

?

1 ?1 , 当 0 ? x ? 1 时,f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ; x

所 以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上 单 调 递 增 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 减 , 所 以 f ? x ? 有 极 大 值

f ?1? ? 2 ,无极小值.
(2) 证明: 由 (1) 可知当 x ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? x ? 3 ? f (1) ? 2 , 即l n x ?x ?1 , ? x? 1

?,

ln 2 1 ln 3 2 ln 4 3 ln x x ? 1 ln n n ? 1 ? , ? , ? , ? ? , 所以 ??, , 2 2 3 3 4 4 x x n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ????? ? ? ? ????? ? 所以 2 3 4 n 2 3 4 n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ????? ? ? n ? 2, n ? N ? . 即 2 3 4 n n

0? 所以当 x ? 2 时,


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