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《任意角的三角函数》--《同角三角函数的基本关系》 课件2[1]


复习与回顾 1.任意角的三角函数的定义

y (1) sin ? ? ___; r

x (2) cos ? ? ___; r

y (3) tan ? ? ___; x

2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R ?
2

sin? cos

? tan ?

{? | ? ? R且? ?

? k? , k ? Z }

3.三角函数值的符号

? ? ? ? ? ? o x x x o o ? ? ? ? ? ?
sin ?
cos?

y

y

y

tan ?

问题探究(一)
当角? 确定后, ?的正弦、余弦、正切值也 随之确定,它们之间有何关系?

请计算:

sin 2 ? ? cos2 ?

由三角函数定义我们可以看到:
2 2 2 y x y ? x r ? ? ? ? 2 2 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 2 r r ?r? ?r? 2 2

6

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

称为平方关系

变式: sin ? ? 1 ? cos ? 2 2 cos ? ? 1 ? sin ?
2 2

7

问题探究(二)
请同学们继续根据三角函数的定义探索 : sin ? , cos ? , tan ? 三者之间是否有什么关系?

sin ? y x y r y ? ? ? ? ? ? tan ? cos ? r r r x x
角?是否可以是任意角时, 上式都成立呢?

sin ? 当? ? k? ? ( k ? Z )时, ? tan ?成立. 2 cos ?

?

sin ? ? tan ? cos ?

称为商数关系

同角三角函数基本关系式:

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? ? ,? ? k? ? cos ? 2
关于两种关系式
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
3? sin 2 ? tan 3? . 3? 2 cos 2

如 : sin 2 3? ? cos2 3? ? 1;

2.两种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.

3.对于同一个角?的 sin ?、 cos ?、 tan ? 可以利用上三种基本 关系式,"知一求二".

一基本训练题
3 例1.已知 sin ? ? ? , 5 求 cos ? , tan ?的值.
分析: 找与题设条件最接近关 系式 : sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 故 cos ?的值最容易求得 , 在求 cos ?时需要开方运算 ,因此 应根据角?的所在象限确定cos ?的符号.

解:因为 sin ? ? 0,sin ? ? ?1, 所以? 是第三或第四象限角. 由

sin ? ? cos ? ? 1 得
2 2
2 2 2

? 3 ? 16 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? . ? 5 ? 25 16 4 ?? . 如果 ? 是第三象限角,那么 cos ? ? ? 25 5 sin ? ? 3 ? ? 5 ? 3 ? ? ? ??? ? ? ? . 从而 tan ? ? cos ? ? 5 ? ? 4 ? 4 如果? 是第四象限角,那么 cos ? ? 4 , tan ? ? ? 3 . 5 4
11

一基本训练题
12 例2.已知tan? ? , 求 sin ? , cos ?的值. 5
分析 : 根据已知的三角函数值来确定角所在的象限, 再分象限来求值.

解: ? tan ? ? 0 ?? 是第一或第三象限角.
12 5 如果? 是第一象限角时,sin ? ? ;cos ? ? . 13 13 12 5 如果? 是第三象限角时,sin ? ? ? ;cos ? ? ? . 13 13

求得的结果有两组.

二能力训练(化简)
例3.化简 : 1 ) 1 ? sin 2 95? 10? 2) 1 ? sin 3
2

3) 1 ? 2sin 2 cos 2
分析 :"脱"根号,因此可以从1入手.

关于化简:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:
(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值的尽量求值;(3)结果的 次数最低.
13

从解决例题的过程中发现:基本关系式的等价形式

如把sin ? ? cos ? ? 1等价变形为 2 2 2 2 sin ? ? 1 ? cos ?或 cos ? ? 1 ? sin ? . sin ? 把 ? tan ?变形为sin ? ? cos ? tan ? . cos ?
2 2

因此,对于同角基本关系式有三用:

正用、逆用、变形用.

二能力训练(证明) cos x 1 ? sin x ? 例2 求证 1 ? sin x cos x
证法:
证法一 : 依据相等关系的传递性 , 从等式的一边开始 , 证明它等于另一边 , 证明时一般遵循由繁到 简的原则. 本证法还运用了分式的 基本性质.
证法二(综合法)、 证法三(分析法) : 依据价转化思想 . 证明与原式等价的另一 式子成立, 从而推出原式成立 . 证法二运用算式的基本 性质.证法三运用了基本性质 " a ? b ? 0 ? a ? b" 这一性质在以后的证明 中会经常 用到. 注 : 在证明中, 条件 "cos ? ? 0 ? 1 ? sin ? ? 0" 和

"1 ? sin ? ? 0, cos ? ? 0"是必不可少的, 不可忽视.

证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消 去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的 方法一般有以下三种:
(1)依据相等关系的传递性, 从等式的一边开始, 证明 它等于另一边, 证明时一般遵循由繁到简.
(2)依据价转化思想.证明与原式等价的另一式子成立 从而推出原式成立. (3)依据 " 等于同量的两个量相等 ", 证明左,右两边等 于同一个式子.

小 结
学习本节的目的要求:
(1)能根据三角函数的定义导出同角三角 sin ? sin ? ? cos ? ? 1, ? tan ? , 函数基本关系式. cos? (2)正确运用基本关系式进行三角函数式 的求值、化简运算及证明.
2 2

注意点:
(1)根据角α终边所在象限求出三角函数值.
(2)如何灵活的正用、逆用、变用、活用公式.


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