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2.7函数的奇偶性与周期性


第7讲 函数的奇偶性和周期性

【学习目标】

理解函数奇偶性的概念,了解函数周期性的定义 ,掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征;会利 用函数奇偶性、周期性分析、探究函数值、性质 及图象等问题.

【基础检测】 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调 递增的函数是( B ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x|

【解析】y=|x|+1 是偶函数,且当 x>0 时,y 是 x 的增函数.

2.定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1) =-f(x),且 f(x)在[-1,0]上是增函数,下面五个关于 f(x)的命题中: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2] 上为减函数;⑤f(2)=f(0).正确命题的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由于 f(x+1)=-f(x),所以 f(x+2)=-f(x +1)=f(x),函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,故命题 ①正确;由于 f(2-x)=f(-x)=f(x),故 f(x)的图象关于 直线 x=1 对称, 命题②正确; 偶函数在定义域上关于坐 标原点对称的区间上的单调性相反,故命题③不正确; 根据周期性,函数在[1,2]上的单调性与[-1,0]上的单 调性相同, 故命题④不正确; 根据周期性, 命题⑤正确. 故 选 C.

3. f(x)是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时, 设 当 f(x) ? 5? =2x(1-x),则 f?-2?=( A ) ? ? 1 1 A.-2 B.-4 1 1 C.4 D.2 ?5? ? 1? 【解析】因为函数的周期为 2,所以 f?2?=f?2+2?= ? ? ? ? ?1? 1 ? 5? ?5? 1 ? ?= ,又函数是奇函数,所以 f?- ?=-f? ?=- ,故 f2 2 2 ? ? ? 2? ?2? 选 A.

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1)+f(x2)的值( A ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负
【解析】易知 f(x)在 R 上为减函数,又∵x1>-x2, ∴f(x1)<f(-x2),故 f(x1)+f(x2)<f(-x2)+f(x2)=0,选 A.

5.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)在整个定义域上 是减函数,若 f(1-a)+f(1-3a)<0,则实数 a 的取值范 ? 1? ?0, ? 2? 围是____________. ?

【解析】∵f(x)是奇函数,∴f(1-3a)<-f(1-a), ∴f(1-3a)<f(a-1), ?-1<1-a<1 ? 1 ∴?-1<1-3a<1?0<a<2. ?1-3a>a-1 ?

【知识要点】 对于函数 1.函数奇偶性的定义:一般地,如果____________ f(x)的定义域内任意一个x ____________________________: (1)都有 f(-x)=-f(x), 那么函数 f(x)就叫做__________; 奇函数 f(-x)=f(x) (2)都有_____________,那么函数 f(x)就叫做偶函数. 原点 中心 2. 奇函数的图象是关于________成________对称图 f(0)=0 形,若奇函数的定义域含数 0,则必有__________;偶 y轴 函数的图象是关于________成_______对称图形, 对定义 轴 f(-x)=f(x)=f(|x|) 域内的任意 x 的值,必有___________________.

3. 定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函 必要不充分 数或偶函数的______________条件;在定义域的公共部 奇 分内,当 f(x),g(x)均为奇函数时,f(x)±g(x)是_______ 函数,f(x)·g(x)是_______函数;当 f(x),g(x)均为偶函 偶 偶 偶 数时,有 f(x)±g(x)是______函数,f(x)g(x)是_______函 数; f(x), 当 g(x)一个是奇函数, 一个是偶函数时, g(x) f(x)· 是奇函数.

4.函数的周期性的定义:设函数 y=f(x),x∈D. f(x+T) 若存在非零常数 T,使得对任意的 x∈D 都有_________ =f(x) ___________,则函数 f(x)为周期函数,称 T 为 y=f(x) 的一个周期.若函数 f(x)对定义域中任意 x 满足 f(x+a) 1 =-f(x)或 f(x+a)=- (a≠0)等,则函数 f(x)必是 f(x) 2|a| 周期函数 ____________, 它的一个周期为_______. 如果在周期函 数 f(x)的所有周期中______________________,那么这 存在一个最小的正数 最小正周期 个最小正数就叫做 f(x)的________________.

5.一般地,如果一个函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b- a+b x= 2 x),则函数 f(x)的图象关于直线_________对称;若函数 f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x) f(x)满足___________________________________,则函 x=a 数 f(x)的图象关于直线___________对称.

一、判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x2-1+ 1-x2;
? 1 1? ? (2)f(x)=x?2x-1+2?; ? ? ?

(3)f(x)=log2(x+ x2+1); 1 (4)f(x)= . |x-1|

【分析】定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的 必要条件,故判断奇偶性首先考虑定义域,再判断 f(- x)=± f(x)是否成立.
【解析】(1)函数的定义域为{-1,1},关于原点对 称. 因为 f(x)=0,故 f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 2x+1 x 且 f(x)=2· x , 2 -1 -x 2-x+1 x 2x+1 ∵f(-x)= 2 · -x =2· x =f(x), 2 -1 2 -1 ∴f(x)为偶函数.

(3)函数的定义域为 R, ∵f(-x)=log2(-x+ (-x)2+1) =log2( x2+1-x)
? =log2? ? ? ? 1 ? 2 x +1+x? ?

=log2(x+ x2+1)-1 =-log2(x+ x2+1)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原 点对称, ∴是非奇非偶函数.

【点评】函数的奇偶性的判断,一般有三种方法: (1)定义法:定义域若不关于原点对称,立即可以判 定这个函数既不是奇函数也不是偶函数.若定义域关于 原点对称,再判断 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x),或应用 定 义 的 等 价 形 式 f( - x) = ± ? f(x)± - x) = 0 ? f(x) f( f(-x) =± 1(f(x)≠0). f(x) (2)图象法:利用奇(偶)函数的充要条件是它的图象 关于原点(或 y 轴)对称进行判断. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零) 仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数.奇(偶)数个 奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数,一个奇函数 与一个偶函数的积为奇函数.若 f(x)的定义域关于原点 对称, F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数, 2(x)=f(x)-f(- 则 F x)是奇函数.

二、周期函数的判断及简单应用 例2设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013). 【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=… =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0, 又 f(2 012)=f(0)=0,f(2 013)=f(1)=1. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=1.

【点评】对于函数的周期性问题:第一应从定义入 手,第二应结合图象理解.

三、函数的奇偶性与周期性的综合应用 例3设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=- f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图 形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区 间.

【分析】 第(1)问, 先求函数 f(x)的周期, 再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对 称,再结合周期画出图象,由图象易求面积; 第(3)问,由图象观察写出.

【解析】(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4) =-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1) +2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成 中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4 时, f(x)的图象与 x 轴围成的图形面 令 ?1 ? 积为 S,则 S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4. ? ? (3) 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [4k - 1 , 4k + 1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

【点评】关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问 题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转 化为已知区间上的问题.

例4 〔备选题〕 函数 y=f(x)的定义域为[-1, 0)∪(0, 1],其图象上任一点 P(x,y)满足 x2+y2=1. ①函数 y=f(x)一定是偶函数; ②函数 y=f(x)可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③函数 y=f(x)可以是奇函数; ④如果函数 y=f(x)是偶函数,则值域是(-1,0]或 [0,1), ②③ 其中正确的命题的序号是_________(填上所有正确命题 的序号).

【解析】如果函数 y=f(x)图象上的点都在第一、三 象限,那么这个函数就不是偶函数,命题①不正确;如 ? 1 ? 果在?-2,0?∪(0,1]上的函数解析式为 y= 1-x2,在 ? ? ? 1? ?-1,- ?上取 y=- 1-x2, 则函数既不是奇函数也不 2? ? 是偶函数,命题②正确;如果函数 y=f(x)图象上的点都 在第一、二象限,那么这个函数就是偶函数,如果函数 图象上的点都在第一、三象限,那么这个函数就是奇函 数,故命题③正确;若取 ? 1 ? ? 1? ? 2 ? 1-x ,x∈?-2,0?∪?0,2? ? ? ? ? y= ? ,则其为偶 ? ? 1? ?1 ?- 1-x2,x∈?-1,- ?∪? ,1? 2? ?2 ? ? ? 函数,但其值域不是(-1,0]或[0,1),命题④不正确.

1. 函数的奇偶性、 周期性是在整个定义域内讨论的 整体性质,要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定 义,必须注意以下几点: (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称,周期函数的 定义域是无界的. (2)f( - x) = - f(x) 或 f( - x) = f(x) 和 f(x + T) = f(x)(T≠0)是定义域上的恒等式. (3)若 T 是 f(x)的一个周期,则 kT(k≠0,k∈Z)也是 f(x)的周期.

2.f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称;f(x)为 偶函数?f(x)的图象关于 y 轴对称;f(x)是周期函数,则 f(x)的图象周期性重复出现. 3.判断函数的奇偶性的方法:定义法、图象法、性 质法. 4.函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质, 它们存在着一定的联系, 特别是存在两条对称轴的函数, 一定是一个周期函数,且最小正周期是相邻两条对称轴 之间距离的 2 倍.

(x+1)2+sin x (2012 全国新课标)设函数 f(x)= 的 x2+1 2 最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=______.

【解析】将函数化简,利用函数的奇偶性求解. (x+1)2+sin x 2x+sin x f(x)= =1+ 2 , x2+1 x +1 2x+sin x 设 g(x)= 2 ,则 g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇 x +1 函数. 由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, ∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2.

【点评】本题考查了函数的奇偶性与最值的关系, 考查了转化与化归思想.

1.(2012 陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数 的为( D ) A.y=x+1 B.y=-x3 1 C.y=x D.y=x|x|

【解析】利用排除法求解. A 选项中的函数为非奇非偶函数.B、C、D 选项中 的函数均为奇函数,但 B、C 选项中的函数不为增函数, 故选 D.

2. 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是( A ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数
【解析】因为 g(x)在 R 上为奇函数,所以|g(x)|为偶 函数,则 f(x)+|g(x)|一定为偶函数.

x 3. 若函数 f(x)= 为奇函数, a 则 (2x+1)(x-a) =( A ) 1 2 3 A.2 B.3 C.4 D.1 x 【解析】 解法一: 由已知得 f(x)= 2 的 2x +x-2ax-a 定义域关于原点对称,由于该函数定义域为 ? ? ? 1 1 ?x?x≠- 且x≠a,知 a= ,故选 A. ? 2 2 ? ? ? 解法二:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), x 又 f(x)= 2 , 2x +x-2ax-a

-x -x 则 2 = 在函数的定义 2x -x+2ax-a 2x2+x-2ax-a 1 域内恒成立,可得 a=2.

4.已知f(x)是偶函数,并且其 图象(如右图)与x轴有n(n∈N)个 交点,则方程f(x)=0的所有实 根之和为( ) D A.4 C.1 B.2 D.0

【解析】由 f(x)是偶函数可知,f(x)与 x 轴的 n 个交 点的横坐标,即 f(x)=0 的 n 个根 x1,x2,x3,…,xn 中,若有一个根在 x 轴的右半轴上,则必有另外一个根 在关于 y 轴对称的 x 轴的左半轴上,∴x1+x2+…+xn =0.

5. (2012 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函 ?ax+1,-1≤x<0, ? 数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 其中 ? x+1 ,0≤x≤1, ? a,b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

a+3b 的值为_________. -10

【解析】因为 T=2,所以 f(-1)=f(1),求得 2a+b =0. 由
?1? ?3? f?2?=f?2?,T=2 ? ? ? ?



?1? ? 1? f?2?=f?-2?, ? ? ? ?

解得 3a+2b=-2.
?2a+b=0 ?a=2 ? ? ? 联立 ,解得? ?3a+2b=-2 ?b=-4 ? ?

所以 a+3b=-10.

6. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 - f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0 且 a≠1), g(2)=a, f(2) 若 则 15 4 =________.
【解析】∵f(2)+g(2)=a2-a 2+2……① f(-2)+g(-2)=a-2-a2+2 - ∴-f(2)+g(2)=a 2-a2+2……② ①+②:2g(2)=4,∴g(2)=2=a, 1 2 代入①,f(2)+2=2 -22+2 15 ∴f(2)= 4 .


7.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则
3 ?3? 2 f?2?=______. ? ?
?3? f?2?转化到 ? ?

【解析】用转化与化归思想将 上.

x∈[0,1]

当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x+1. ?3? ?3 ? ? 1? ? 1? 3 ? ?=f? -2?=f?- ?=-?- ?+1= . ∴f 2 2 ? ? ?2 ? ? 2? ? 2?

8.已知函数

? 1 1? ? f(x)=x?3x-1+2?. ? ? ?

(1)求其定义域; (2)讨论它的奇偶性; (3)设 F(x)=f(x+t)-f(x-t),判断 F(x)的奇偶性. 【解析】该函数图象不容易作出,不宜用图象法来 判断,又因解析式是两函数相乘形式,不能直接确定其 奇偶性. (1)首先确定定义域: 由 3x-1≠0 得 x≠0,得定义域:{x|x∈R,x≠0}.

(2)由于函数的定义域关于原点对称,
? 1 1? x(3x+1) 又∵f(x)=x?3x-1+2?= ? ? 2(3x-1), ? ?

-x(3-x+1) -x(1+3x) x(3x+1) f(-x)= = = , 2(3-x-1) 2(1-3x) 2(3x-1) ∴f(x)是偶函数. (3)因 F(x)=f(x+t)-f(x-t)且 f(x)的定义域为{x|x∈ R 且 x≠0},
?x+t≠0 ? ∴f(x)的定义域应有? 得:x≠± t. ?x-t≠0 ?

即 F(x)的定义域为{x|x∈R,x≠±t}关于原点对称, 由 F(-x)=f(-x+t)-f(-x-t)=f(x-t)-f(x+t) =-F(x)知 F(x)为奇函数.

9.已知函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 对定义域内的任意 x1,x2,都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 且当 x>1 时,f(x)>0. (1)求 f(1)与 f(-1)的值; (2)求证:f(x)是偶函数; (3)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; ? 5? ?7? (4)试比较 f?-2?与 f?4?的大小. ? ? ? ?

【解析】(1)令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),从而 f(1) =0. 令 x1=x2=-1,得 f(1)=2f(-1),从而 f(-1)=0.

(2)证明:令 x1=-1.x2=x, 则有 f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x), 所以 f(x)是偶函数. (3)证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, ? x2? 则 f(x2)-f(x1)=f?x1·x ?-f(x1) ? 1? ?x2? ?x2? =f(x1)+f?x ?-f(x1)=f?x ?. ? 1? ? 1? ?x2? x2 因为 0<x1<x2, x >1, 则 所以 f?x ?>0, 所以 f(x1)<f(x2), ? 1? 1 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ? 5? ?5? (4)由(2)知 f(x)是偶函数,则有 f?-2?=f?2?; ? ? ? ? 由(3)知 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ?5? ?7? ? 5? ?7? 所以 f?2?>f?4?,所以 f?-2?>f?4?. ? ? ? ? ? ? ? ?


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