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对数


学科类别:中学数学
论文题目 作者姓名 王志强 课 题 组 成员姓名 学校地址 遵义 市(州、地) 仁怀 县(市、区、特区) 移动电话:13765986284 乡(镇)

对数换底公式的变形及其应用举例
学校名称 酒都高级中学

联系电话 固定电话:0852论文内容摘要(200 字左右)

由对数换底公式可以推导出一些重要的结论, 在实际解题中有很大的帮助。 本 文就对数换底公式的恒等变形式及不等变形式进行简单的归纳、 总结, 并给予相应 的证明及应用举例。 关键词:对数换底公式;恒等变形式;不等变形式。

个人诚信承诺(在括号内打“√” ) : 1、所写论文为本人原创,并非从网上直接下载或抄袭他人(√) 2、所写案例真实,源于本人亲历的课堂( )

1

对数换底公式的变形及其应用举例
在《全日制普通高级中学教科书》中,对数换底公式以较大的习题的形式出现,包 括它的证明及其应用。对对数换底公式的理解直接影响到对数及指数的学习,掌握了换 底公式及其变形公式,无论在计算、化简、论证中都有广泛的应用,且灵活多变。这些 结论都可以由换底公式直接推出,灵活运用这些结论来解决有关问题,将使解题方法简 捷,这里不妨把对数换底公式的恒等变形式称作对数换底公式的推论。 1 恒等变形式 1.1 对数换底公式及推论 首先规定:下列各对数式中的字母都使对数式有意义。 对数换底公式: loga N ?

logm N (这里 a, m, N 都是正数,且 a ? 1, m ? 1) logm a

推论 1

loga N ?

logm N logn N ? ??. logm a logn a logm N ,m 是任意的使对数式有意义的数,所以对任意一个数 logm a logn N 成立。以次类推 logn a

证明:因为 loga N ?

n 来说,只要使对数式有意义,则 loga N ?
故有 loga N ?

logm N logn N ? ?? logm a logn a

推论 1 表明 两同底对数之比,与底数无关。 推论 2

logm N logm a . ? logn N logn a logm N logn N logm N logm a 可得 ? ? logm a logn a logn N logn a

证明:由推论 1

推论 2 表明,两同真数对数之比,与真数无关。 推论 3 logm N ? logn a ? logm a ? logn N 证明:由推论 1

logm N logn N 可得 ? logm a logn a
2

logm N ? logn a ? logm a ? logn N
推论 3 表明 两对相乘,真数可以互相调换。 如果把推论的右边两项交换,即 logm N ? logn a ? logn N ? logm a ,此时可以说成,两 对数相乘,底数可以互相调换。 推论 4 a logm N ? N logm a . 证明:由推论 3 可得 logn a logm N ? logn N logm a 所以有 a logm N ? N logm a 推论 4 表明 以对数为指数的幂,幂底数与对数的真数可以互相调换。 推论 5 log a m N n ? 证明: loga m N n ? 所以有 log a m N n ?
n log a N . m

loga N n 1 n ? loga N n ? loga N m m m loga a

n log a N m n 倍,特别 m

推论 5 表明,底数的 m 次方,真数的 n 次方所得的对数值等于原对数值的

地当 m ? n ? 2 时, loga2 N 2 ? loga N 。它表明底数与真数可以同时平方,所得到的对数 值不变,一般用于解底数有二次根号的问题。 推论 6 loga N ?
1 logN a

?loga N ? logN a ? 1? .

证明: loga N ? 所以有 loga N ?

logN N 1 ? logN a logN a
1 亦即 loga N ? logN a ? 1 logN a

推论 6 表明 真数与底数互换后,所得到的对数等于原对数值的倒数。 推论 7 a n ? e n ln a . 证明:令 a n ? b ,两边取以 e 为底的对数有
ln a n ? ln b 即 n ln a ? ln b 所以有 e n ln a ? e ln b

3

故 e n ln a ? b 所以 a n ? e n ln a 1.2 对数换底公式及推论的应用 例1 计算:
log7 3 2 ? log13 9 1 log13 ? log7 8 27

分析:通过观察,要计算的式子中, log7 3 2 与 log7 8 有相同的底数 7, log13 9 与
log 13 1 有相同的底数 13,根据推论 1,两同底对数之比与底数无关,则只需对原式进 27

行适当的换底就可以了。 解:原式=
log7 3 2 log13 9 log2 3 2 log3 9 ? ? ? 1 1 log7 8 log2 8 log13 log3 27 27
1 3 3

1 log2 2 log3 3 2 ? ? ? 3? 3 ?3 3 ?3 log2 2 log3 3

=?

2 27

解析:此计算题中,底数与真数看似毫不相干,但掌握了对数换底公式中的一些推 论,却 有着化繁为简,化难为易之功效。 例 2 解不等式 5 log
3

x ? logx 3 ? 7

分析:不等式左边对数式的底数为 3 ,根据推论 5,可化为 log3 x 2 ,即 2 log3 x , 又 logx 3 ?
1 (根据推论 6) ,则化简不等式后问题便迎刃而解。 log3 x 1 ?7 ? 0 log3 x

解:原不等式可化为 10 log3 x ? (1)当 0 ? x ? 1 时, log3 x ? 0

不等式可化为 10?log3 x? ? 7?log3 x? ? 1 ? 0
2

? log 3 x ?

1 1 或 log 3 x ? 2 5
4

又 log3 x ? 0 此时不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 1? (2)当 x ? 1 时, log3 x ? 0 不等式可化为 10?log3 x? ? 7?log3 x? ? 1 ? 0
2

1 1 ? ? log3 x ? 5 2 ?3 ? x ? 3
1 5 1 2

此时不等式的解集为 x | 5 3 ? x ? 3

?

?
? ?
?
? n ? log b a

所以原不等式的解集为 ?x |0 ? x ? 1? ? x | 5 3 ? x ? 3 例 3(杨水源原文例 3)求证: a
logb logb a n logb a

?

分析:恒等式左边看起来比较复杂,可先将幂指数化简后再证之。 证明:根据推论 1

logb logb a n loga logb a n ? ? loga logb a n logb a loga a

?

?

?

?

?

?

n ? 左边 ? a loga ?logb a ?
n log a a ? log b a n 又根据推论 4 a loga ?logb a ? ? ?log b a n ?

所以
n 左边 ? a loga ?logb a ? ? logb a n ? n ? logb a =右边

1 例 4 已知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 且 a ? b ? ,求证 5 log

b

1 a ? log
b

ba a

? 25

分析:不等式左边比较繁,可先将底数的二次根号去掉,在进行化简而证之。 证明:根据推论 5 又根据推论 3

log b a b ? log a b a ? logb a 2b ? loga b 2a

logb a 2b ? loga b 2a ? logb b 2a ? loga a 2b ? 2a ? 2b ? 4ab
1 5

0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1且a ? b ?

5

?1? 2 ? ? a ? b 1 ? ? ?5? ? ab ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 100 ? ? ? ?

2

1 ? 100 ab 1 1 ? ? ?100 ? 25 4ab 4 ?

?

log

b

1 a ? log
b

a

ba

? 25

2 不等变形式 我们知道,比较两个底数,真数都不相同的对数的大小,是一个讲究技巧,难度较 大的问题。为讨论此类问题,这里先给出一个一般性的结论,进而再讨论。 根据推论 5,我们已经知道,底数的 m 次方,真数的 n 次方得到的对数值等于原对数 值的
n 倍.那么对数的底数与真数同时 m 倍,得到的对数值与原对数值有什么关系?即 m

loga b 与 logma mb的关系是怎样的呢?现在就此问题进行探讨。
2.1 定理及证明 定理 若 a ? 1, a ? b ? 0 (1)当 m ? 1 时,则 loga b ? logma mb (2)当
1 ? m ? 1 时,则 loga b ? logma mb a

证明: logma m b ? loga b ?

lg m b lg a lg a lg m b ? lg b lg m a ? ? lg m a lg b lg a lg m a lg a?lg m ? lg b ? ? lg b?lg m ? lg a ? lg a lg m a lg m?lg a ? lg b ? lg a lg m a

?

?

若 a ? 1, a ? b ? 0 ,则 lg a ? 0 , lg a ? lg b ? 0

6

(1) 当 m ? 1 时 , ma ? 1 , 则 lg m ? 0, lg m a ? 0, 所 以

lg m?lg a ? lg b ? ?0 , 故 lg a lg m a

logma mb ? loga b ,即 loga b ? logma mb
(2) 当
1 lg m?lg a ? lg b ? ? m ? 1 时 , ma ? 1 , 则 lg m ? 0, lg m a ? 0, 所 以 ?0 ,故 a lg a lg m a

logma mb ? loga b ,即 loga b ? logma mb
由上面的定理可以得出一个推论。 推论 若 0 ? a ? 1, a ? b ? 0 (1)当 0 ? m ? 1 ?
1 1 时, loga b ? logma mb (2)当 1 ? m ? 时, loga b ? logma mb a a

2.2 定理的应用举例 例1 比较下列各组数的大小:
13 2 ; (2) log 9 3 与 log 9 ; 2 3 2

(1) log5 2 与 log50 20 与 log 5
3

(3) log15 7 与 log4 3

(4) log6 3 与 log35 8

(1)分析: log5 2 与 log50 20 相比, log5 2 的底数与真数同时扩大 10 倍得到 log50 20 ,
1 2 同理, log5 2 的底数与真数同时缩小 倍得到 log 5 , 3 3 3

根据定理, log5 2 ? log50 20 , log5 2 ? log 5
3

2 3 2 3

解:根据定理(1)可得 log50 20 ? log5 2 ,根据定理(2)可得 log5 2 ? log 5
3

所以 log50 20 ? log5 2 ? log 5
3

2 3

(2)分析:本题中的底数与真数不是同时扩大或缩小相同的倍数,所以应该先用换 底公式缩小两底数之间的距离。 解: log 9 3 ? log9 3 ? 2 = log9 6 ? log 9
2 2 ?2

13 2

7

lg 3 (3)解: log4 3 ? ? lg 4

15 45 28 lg lg 4 ? 4 ? 4 ? lg 7 ? log 7 15 15 lg15 lg15 lg15 lg 4 ? lg 4 lg 3 ? lg

? log4 3 > log15 7
35 35 lg lg 3 6 ? 2 ? lg 8 ? log 8 (4)解: log6 3 ? ? 35 35 lg 35 lg 35 lg 6 lg 6 ? lg 6 lg 3 ? lg

? log6 3 > log35 8
例2 比较大小。 (2) log0.21 0.12 与 log0.42 0.23

(1) log2.2 3.2 与 log2.3 3.3

2.3 3.2 ? 2.3 3.2 ? 2.2 lg lg lg 3.2 2.2 ? 2.2 ? 2.2 ? log 3.3 (1)解: log2.2 3.2 ? ? 2.3 2.3 lg 2.2 lg 2.3 lg 2.3 lg 2.2 ? lg 2.2 lg 3.2 ? lg

? log2.2 3.2 > log2.3 3.3
(2)解: log0.21 0.12 ?
lg 0.12 lg 0.12 ? lg 2 lg 0.24 lg 0.23 ? ? ? ? log0.42 0.23 lg 0.21 lg 0.21 ? lg 2 lg 0.42 lg 0.42

? log0.21 0.12 < log0.42 0.23
例3 已知 x ?
1 ,比较 log2 ?3x ? 1? 与 log16 36x 2 ? 24x ? 4 的大小. 3

?

?

分 析 : log16 36x 2 ? 24x ? 4 较 复 杂 一 点 , 先 将 其 化 简 得 log4 ?2?3x ? 1?? , 观 察

?

?

log2 ?3x ? 1? 与 log4 ?2?3x ? 1?? 不难发现,将 lo g2 ?3x ? 1? 的底数与真数同时扩大 2 倍得 lo g2 ?3x ? 1? ,运用定理可解决此问题。
1 解:? x ? ,? 3 x ? 1 ? 2 3

log16 36x 2 ? 24x ? 4 = log 4 2 ?2?3 x ? 1?? = log4 ?2?3x ? 1??
2

?

?

根据定理(1)可得 当x ?
1 时, log16 36x 2 ? 24x ? 4 ? log2 ?3x ? 1? 3

?

?

从上面的例子可知,熟练掌握了对数换地公式及其推论,学会观察、分析,就会将

8

问题化繁为简,关于对数的问题就可以迎刃而解了。 参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] 全日制普通高级中学教科书必修.人民教育出版社,2006.05 王锦初.灵活运用对数换底公式.数学教学研究,1995 年第 4 期 周华生.换底公式的推广与应用.数学通讯,1997 年第12期 樊又年.对数换底不等式的再思考.数学通讯,1998 年第8期 马林.利用指数的换底公式解题.数学教学通报,1998 年第 6 期 杨水源.灵活运用对数换底公式.数学教学研究,2004 年第 7 期 吕健英.对数换底公式及其应用.内蒙古统计,2005 年第 4 期 刘宜兵.指数换底公式及其应用.(高一,高三)数理天地(高中版) ,2006 年第 1 期

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