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2014版高中数学复习方略课时提升作业:3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(北师大版)


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课时提升作业(二十)
一、选择题 1.要得到函数 y=sinx 的图像,只需将函数 y=cos(x- )的图像( (A)向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 (B

)向右平移 个单位 (D)向左平移 个单位 ) )

2.已知函数 f(x)=sin(ω x+ )(ω >0)的最小正周期为π ,则该函数的图像( (A)关于直线 x= 对称 (B)关于点( ,0)对称 (C)关于直线 x=- 对称 (D)关于点( ,0)对称

3.(2013·上饶模拟)已知函数 f(x)的部分图像如图所示,则 f(x)的解析式可能 为( )

(A)f(x)=2cos( - ) (B)f(x)= cos(4x+ ) (C)f(x)=2sin( - ) (D)f(x)=2sin(4x+ ) 4.(2013·新余模拟)已知函数 f(x)= 确的是( ) sin(2x+ ),其中 x∈R,则下列结论中正

(A)f(x)是最小正周期为π 的偶函数
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(B)f(x)的一条对称轴是 x= (C)f(x)的最大值为 2 (D)将函数 y= sin2x 的图像左移 个单位得到函数 f(x)的图像

5.(2013· 咸阳模拟)设函数 f(x)= sin(ω x+φ+ )(ω >0,|φ|< )的最小正周期 为π ,且 f(-x)=f(x),则( (A)y=f(x)在(0, )是减少的 (B)y=f(x)在( , )是减少的 (C)y=f(x)在(0, )是增加的 (D)y=f(x)在( , )是增加的 二、填空题 6.在函数 f(x)=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)的一个周期内,当 x= 时,有最大值 ,当 x= 时,有最小值- ,若φ∈(0, ),则函数解析式 f(x)= . )

7.(2013·宜春模拟)已知函数 y=sin(ω x+φ)(ω >0,|φ|< )的部分图像如图所 示,则ω ·φ= .

8.(能力挑战题)设函数 y=sin(ω x+φ)(ω >0,φ∈(- , ))的最小正周期为π , 且其图像关于直线 x= 对称,则在下面四个结论中: ①图像关于点( ,0)对称; ②图像关于点( ,0)对称;
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③在[0, ]上是增加的; ④在[- ,0]上是增加的. 正确结论的编号为 三、解答题 9.(2013·安庆模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ)+b(A>0,|φ|<π ,b 为常数)的一 段图像(如图所示). .

(1)求函数的解析式. (2)求这个函数的单调区间. 10.(能力挑战题)已知 f(x)=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)的最小正周期为 2,且当 x= 时,f(x)的最大值为 2. (1)求 f(x)的解析式. (2)在闭区间[ , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在, 请说明理由.

答案解析
1. 【解析】选 A.y=sinx=cos( -x)
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=cos(x- )=cos(x- - ), 故只需将 y=cos(x- )的图像向右平移 个单位即得. 2.【解析】选 B.由 T=π,∴ =π,得ω=2. 故 f(x)=sin(2x+ ). 当 x= 时,2× + =π, 此时 sinπ=0, 故 f(x)=sin(2x+ )的图像关于点( ,0)对称. 【变式备选】(2013〃赣州模拟 )为得到函数 y=cos(2x+ )的图像 ,只需将函数 y=sin2x 的图像( )

(A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位 (C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位 【思路点拨】先将两函数化为同名函数,再判断平移方向及平移的长度单位. 【解析】选 A.y=cos(2x+ )=sin[ +(2x+ )] =sin(2x+ )=sin2(x+ ) 故将函数 y=sin2x 的图像向左平移 个单位可得函数 y=cos(2x+ )的图像. 3.【思路点拨】将图中特殊点的坐标代入解析式中验证即可. 【解析】选 A.对于选项 C,D,点 B(0,1)的坐标不满足;对于选项 B,点 A( ,2)的 坐标不满足;对于选项 A,点 A,B,C 的坐标都满足,故选 A. 4.【解析】选 D.f(x)= = sin 2(x+ ),
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sin(2x+ )

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故 A 错,不是偶函数;B 错,x= 不是对称轴;C 错,最大值为 5.【思路点拨】先确定 y=f(x)的解析式,再判断.

.D 正确.

【解析】选 A.由周期为π知ω= =2;又 f(-x)=f(x),故函数为偶函数, 所以φ+ =kπ+ (k∈Z). 又|φ|< ,所以φ= . 从而 f(x)= sin(2x+ )= cos2x. 所以 f(x)在(0, )是减少的. 6.【解析】由最大值,最小值得 A= , 且 T= - = , 故 T= ,∴ω=3. 由 sin(3× +φ)= 得,sin( +φ)=1,又∵0<φ< , 故φ= ,所以 f(x)= sin(3x+ ). 答案: sin(3x+ ) 7.【解析】由图形知 = - = , ∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ). 方法一:由五点作图法知, 2× +φ= ,∴φ=- , ∴ω〃φ=2×(- )=- . 方法二:把点( ,1)的坐标代入 f(x)=sin(2x+φ)得, sin( +φ)=1, ∴ +φ= +2kπ(k∈Z),∴φ=- +2kπ(k∈Z),
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又|φ|< ,∴φ=- ,∴ω〃φ=2×(- )=- . 答案:8.【解析】∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为π, ∴ω= =2.又其图像关于直线 x= 对称, ∴2× +φ=kπ+ (k∈Z). ∴φ=kπ+ ,k∈Z. 由φ∈(- , ),得φ= , ∴y=sin(2x+ ).令 2x+ =kπ(k∈Z), 得 x= - (k∈Z). ∴y=sin(2x+ )关于点( ,0)对称,故②正确. 令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), ∴函数 y=sin(2x+ )的递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). ∵[- ,0] [kπ- ,kπ+ ](k∈Z),∴④正确. 答案:②④ 9.【解析】(1)由条件知 又 = = -(- )= ,∴ω= . ∴y= sin( x+φ)+ ,将点( ,0)坐标代入上式,得 sin( +φ)=-1, ∴ +φ= +2kπ(k∈Z), ∴φ= +2kπ(k∈Z). 又|φ|<π,∴φ= π, ∴y= sin( x+ )+ .
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解得 A=b= ,

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(2)由 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 - ≤x≤ - (k∈Z).

由 2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 - ≤x≤ + (k∈Z). - , - ](k∈Z),

∴所求递增区间为[ 递减区间为[ - ,

+ ](k∈Z).

【方法技巧】由图像求解析式和性质的方法和技巧 (1)给出图像求 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待 定系数,基本方法是①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图像变换法, 即考察已知图像可由哪个函数的图像经过变换得到,通常可由平衡点或最值点 确定周期 T,进而确定ω. (2)由图像求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本 三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和 热点. 【变式备选】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ) 的部分图像如图所示. (1)求 f(x)的最小正周期及解析式. (2)设 g(x)=f(x)-cos2x,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最 大值和最小值. 【解析】(1)由图可得 A=1, = - = ,所以 T=π,所以ω=2. 当 x= 时,f(x)=1, 可得 sin(2× +φ)=1,
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因为|φ|< ,所以φ= . 所以 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ ). (2)g(x)=f(x)-cos2x =sin(2x+ )-cos2x =sin2xcos +cos2xsin -cos2x = sin2x- cos2x =sin(2x- ). 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ . 当 2x- = ,即 x= 时,g(x)取最大值为 1; 当 2x- =- ,即 x=0 时,g(x)取最小值为- . 10.【解析】(1)由 T=2 知 =2 得ω=π. 又因为当 x= 时 f(x)的最大值为 2,所以 A=2. 且 π+φ=2kπ+ (k∈Z), 故φ=2kπ+ (k∈Z). ∴f(x)=2sin(πx+2kπ+ )=2sin(πx+ ),k∈Z, 故 f(x)=2sin(πx+ ). (2)令πx+ =kπ+ (k∈Z), 得 x=k+ (k∈Z).由 ≤k+ ≤ . 得 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5. 故在[ , ]上存在 f(x)的对称轴, 其方程为 x= .

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