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2016浙江省宁波市“十校”高三联考数学(理)试卷 word版含答案



2016 年宁波市高三“十校”联考数学(理科)
说明: 本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请 考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 1 台体的体积公式:V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) ,其中 S1 、S2 分别表示台体的上、下底面积,h 3
锥体的体积公式: V ? 表示台体的高. 球的表面积公式: S ? 4? R2 ,球的体积公式: V ? 第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3

1 ? 1” (▲) a

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合 M ? {x | x2 ? x ?12 ? 0} ,N ? { y | y ? 3x , x ? 1} , 则集合 {x | x ? M 且 x ? N } 为 (▲) A.

(0,3] B. [?4,3] C. [?4, 0) D. [?4, 0]

3.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角 梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(▲) A. 2 2 B.
1
1

1

10

2
正视图

2
侧视图

C. 2 3 D. 13

俯视图 2 4.已知抛物线 x ? 4 y ,过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点(点 A 在第一象限) ,若直
宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—1

线 l 的倾斜角为 30? ,则

| AF | 等于(▲) | BF |

5 3 C. 2 D. 2 2 5.已知命题 p :函数 f ( x) ?| 2cos2 x ?1| 的最小正周期为 ? ;命题 q :若函数 f ( x ? 2) 为
A . 3 B. 奇函数,则 f ( x ) 关于 (?2, 0) 对称.则下列命题是真命题的是(▲) A. p ? q B. p ? q C. ( ? p) ? ( ?q) D. p ? ( ?q) 6. 设 Sn 是公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列 {an } 的前 n 项和,则下列命题错误 的是(▲) .. A.若 d ? 0 ,则数列 {Sn } 有最大项 B.若数列 {Sn } 有最大项,则 d ? 0 C.若数列 {Sn } 是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D.若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列 {Sn } 是递增数列
*

7.已知 O 为三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? ?OB ? (? ?1)OC ? 0 ,若 △OAB 的面积 与 △OAC 的面积比值为

??? ?

??? ?

??? ?

?

1 ,则 ? 的值为(▲) 3
C.

A.

3 2

B. 2

1 3

D.

1 2

2 8.已知函数 f ( x) ? x ? x ?

4x ( x ? 0) , g ( x) ? x2 ? bx ? 2( x ? 0), b ? R .若 f ( x) 图象上 x ?1

存在 A, B 两个不同的点与 g ( x) 图象上 A?, B? 两点关于 y 轴对称,则 b 的取值范围为(▲) A. (?4 2 ? 5, ? ?) B. (4 2 ? 5, ? ?) C. (?4 2 ? 51) ,D. (4 2 ? 51) , 第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.已知圆 M : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 3 y ? 5 ? 0 ,则圆心坐标为▲;此圆中过原点的弦最短时,该 弦所在的直线方程为▲. 10.已知单调递减的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项,

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—2

则公比 q ? ▲,通项公式为 an ? ▲.
2 11. 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 , x ? R ,则函数 f ( x) 的最小值为▲,函数 2

f ( x) 的递增区间为▲.

? mx ? ny ? 2, ? 12.已知实数 m, n ,且点 (1,1) 在不等式组 ?ny ? 2mx ? 2, 表示的平面区域内, ? ny ? 1. ?
则 m ? 2 n 的取值范围为▲, m2 ? n 2 的取值范围为▲. 13.已知 x, y ? (0,

? ) ,且有 2sin x ? 6 sin y , tan x ? 3 tan y ,则 cos x ? ▲. 2

x2 y 2 14.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲线 a b
的右支于 P, Q 两点,若 | PF 1 |?| F 1F 2 | ,且 3| PF 2 |? 2 | QF 2 | ,则该双曲线的离心率为▲. 15.如图,正四面体 ABCD 的棱 CD 在平面 ? 上, E 为棱 BC 的中点.当正四面体 ABCD 绕 CD 旋转时,直线 AE 与平面 ? 所成最大角的正弦值为▲.

A B

E

D

C

?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分)

? n ? (cos C,cos B) 共线. (Ⅰ)求 cos B ; ???? ???? (Ⅱ)若 b ? 10, c ? 5,a ? c ,且 AD ? 2DC ,求 BD 的长度.

在 △ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 且 向 量

?? m ? (5a? 4c , 4b ) 与向量

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—3

17. (本题满分 15 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, M 分别为 CC1 和 A 1D ? CC1 , 1B 的中点, A
o AA1 ? A1D ? 2 , BC ? 1 . 侧面 ABB1 A 1 为菱形且 ?BAA 1 ? 60 ,

C

D

C1

(Ⅰ)证明:直线 MD∥ 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? A1 的余弦值.

A

A1
M

B

B1

18. (本题满分 15 分) 对于函数 f ( x ) ,若存在区间 A ? [m, n](m ? n) ,使得 { y | y ? f ( x), x ? A} ? A ,则 称函数 f ( x ) 为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f ( x ) 的一个“可等域区间” . 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b(a, b ? R) . (Ⅰ)若 b ? 0,a ? 1 , g ( x) ?| f ( x) | 是“可等域函数” ,求函数 g ( x) 的“可等域区间” ; (Ⅱ)若区间 [1, a ? 1] 为 f ( x ) 的“可等域区间” ,求 a 、 b 的值.

19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 右 顶 点 A1, A2 , 椭 圆 上 不 同 于 A1, A2 的 点 a 2 b2

P , A1P , A2 P 两直线的斜率之积为 ?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

4 , △PA1 A2 面积最大值为 6 . 9

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—4

(Ⅱ)若椭圆 E 的所有弦都不能被直线 l : y ? k ( x ? 1) 垂直平分,求 k 的取值范围. y

A1

O

A2

x

20. (本题满分 15 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)若 a1 =2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 bn ? 求证: Tn ?

Sn 1 ? n?r. an 3

1 a2 n?1

(n ? N* ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,

2n . 3n ? 1

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—5

2016 年宁波高三“十校”联考数学
(理科)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. 1.B 2. D3.C 4. A 5.B6. C7.A8.D

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. (?1, ? 3) , x ? 3 y ? 0 11. ?2 , [? 10.

?
6 7 5

? k? ,

?

1 1 , an ? 26? n ? 32 ? ( ) n ?1 2 2

3 ? k? ](k ? Z) 12. [ , 4] , [1, 4] 3 2
15.

13.

1 2

14.

33 6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分) 在 △ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 且 向 量

? n ? (cos C,cos B) 共线. (Ⅰ)求 cos B ; ???? ???? (Ⅱ)若 b ? 10, c ? 5,a ? c ,且 AD ? 2DC ,求 BD 的长度. ?? ? 解: (Ⅰ)? m ? (4a ? 5c,5b) 与 n ? (cos C,cos B) 共线,
? 5a ? 4c cos C 5sin A ? 4sin C ? ? 4b cos B 4sin B ? 4sin B cos C ? 4 cos B sin C ? 5sin A cos B

?? m ? (5a? 4c , 4b ) 与向量

? 4sin( B ? C ) ? 4sin A ? 5sin A cos B

? 在三角形 △ABC 中, sin A ? 0 4 ? cos B ? ????????????????????7 分 5 4 (Ⅱ) b ? 10, c ? 5,a ? c 且 cos B ? 5 4 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? b2 即? a 2 ? 25 ? 2a ? 5 ? ? 10 5 解得 a ? 3或a ? 5 (舍)?????????????????9 分

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—6

? 1 ??? ? 2 ??? ? ???? ???? ??? ? AD ? 2DC ? BD ? BA ? BC 3 3 ??? ? 2 1 ??? ? 2 4 ??? ?2 ? ??? ? 1 1 2 ??? 4 1 2 ? BD ? BA ? BC ? 2 ? ? BA ? BC ? c 2 ? a 2 ? 2 ? ? ? a ? c cos B 9 9 3 3 9 9 3 3
将 a ? 3 和 c ? 5 代入得: BD ?

??? ?2

109 9

? BD=

109 ?????????????????14 分 3

17. (本题满分 15 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, M 分别为 CC1 和 A 1D ? CC1 , 1B 的中点, A
o AA1 ? A1D ? 2 , BC ? 1 . 侧面 ABB1 A 1 为菱形且 ?BAA 1 ? 60 ,

C

D

C1

(Ⅰ)证明:直线 MD∥ 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? A1 的余弦值.
A

A1

B1
M

解:∵ A 1 ? A 1D ? 2 , 1D ? CC1 ,且 D 为中点, AA ∴ AC ? AC 1 1 1 ? 5 ? AC , 又 BC ? 1, AB ? BA 1 ? 2, ∴ CB ? BA, CB ? BA 1,

B

z

C A
y

D

C1

F

A1 M B1 x

CB ? 平面 ABB1 A1 , 又 BA ? BA 1 ? B ,∴

B

取 AA1 中点 F ,则 BF ? AA 1 ,即 BC , BF , BB 1 两两互相垂直, 以 B 为原点, BB1 , BF , BC 分别为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系如图,

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—7

∴ B1 (2,0,0), C (0,0,1), A(?1, 3,0), A1 (1, 3,0), C1 (2,0,1), D(1,0,1), M ( , (Ⅰ)设平面 ABC 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,则 m ? BA ? ? x ? 3 y ? 0 ,

1 3 ,0) 5 分 2 2

??? ?

??? ? m ? BC ? z ? 0 ,
取 m ? ( 3,1,0) ,∵ MD ? ( , ?

???? ?

1 2

???? ? 3 3 3 ? ?0 ? 0, ,1) , m ? MD ? 2 2 2

∴ m ? MD ,又 MD ? 平面 ABC ,∴直线 MD ∥平面 ABC .?? 9 分 (Ⅱ)设平面 ACA1 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , AC ? (1, ? 3,1), AA 1 ? (2,0,0) ,

???? ?

??? ?

????

???? ??? ? m ? AC ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 , m ? AA1 ? x1 ? 0 ,取 n ? (0,1, 3) ,
又由(Ⅰ)知平面 ABC 的法向量为 m ? ( 3,1,0) ,设二面角 B ? AC ? A1 为 ? , ∵二面角 B ? AC ? A1 为锐角,∴ cos ? ?| ∴二面角 B ? AC ? A1 的余弦值为 18. (本题满分 15 分) 对于函数 f ( x ) ,若存在区间 A ? [m, n](m ? n) ,使得 { y | y ? f ( x), x ? A} ? A ,则 称函数 f ( x ) 为“可等域函数” ,区间 A 为函数 f ( x ) 的一个“可等域区间” . 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b(a, b ? R) .
2

m?n 1 1 |? ? , | m | ?| n | 2?2 4

1 .???? 15 分 4

(Ⅰ) 若 b ? 0,a ? 1 ,g ( x) ?| f ( x) | 是 “可等域函数” , 求函数 g ( x) 的 “可等域区间” ; (Ⅱ)若区间 [1, a ? 1] 为 f ( x ) 的“可等域区间” ,求 a 、 b 的值. 解: (Ⅰ) b ? 0,a ? 1 , g ( x) ?| x ? 2 x | 是“可等域函数”
2

y

? g ( x) ?| x2 ? 2x | = | ( x ?1)2 ?1|? 0 ,? n ? m ? 0
结合图象,由 g ( x) ? x 得 x ? 0,1,3 函数 g ( x) 的“可等域区间”为 [0,1],[0,3] 当 1 ? m ? n ? 2 时, g ( x) ? 1 ,不符合要求 (此区间没说明,扣 1 分)????????7 分

O
宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—8

x

(Ⅱ) f ( x) ? x2 ? 2ax ? b ? ( x ? a)2 ? b ? a 2 因为区间 [1, a ? 1] 为 f ( x ) 的“可等域区间,所以 a ? 1 ? 1 即 a ? 0 当 0 ? a ? 1 时,则 ?

f (1) ? 1 ?a ?1 得? ;??????????10 分 ? f (a ? 1) ? a ? 1 ?b ? 2 ? f (a) ? 1 无解;????????????12 分 f ( a ? 1) ? a ? 1 ? ?

当 1 ? a ? 2 时,则 ?

? 3+ 5 ?a? ? f (a) ? 1 ? 2 .??????????15 分 当 a ? 2 时,则 ? 得? f (1) ? a ? 1 ? ?b ? 9+3 5 ? ? 2
19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点 A1, A2 ,椭圆上不同于 A1, A2 的点 P , a 2 b2
4 9

A1P , A2 P 两直线的斜率之积为 ? , △PA1 A2 面积最大值为 6 .
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若椭圆 E 的所有弦都不能被直线 l : y ? k ( x ? 1) 垂直平分,求 k 的取值范围. y 解: (Ⅰ)由已知得 A1 (?a,0), A2 (a,0) , P( x, y ) ,

? A1P , A2 P 两直线的斜率之积为 ?
? k A1P ?k A2 P
2

4 9

A1

y y b 4 ? ? ?? 2 ?? x?a x?a a 9

O

A2

x

1 △PA1 A2 的面积最大值为 ? 2a ? b ? 6 2
所以 ?

?a ? 3 x2 y 2 ? ? 1 ??????????6 分 所以椭圆 E 的方程为: 9 4 ?b ? 2

(Ⅱ) 假设存在曲线 E 的弦 CD 能被直线 l : y ? k ( x ? 1) 垂直平分 当 k ? 0 显然符合题????8 分

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—9

当 k ? 0 时,设 C( xC , yC ), D( xD , yD ) , CD 中点为 T ( x0 , y0 ) 可设 CD : y ? ?

1 x?m k

与曲线 E: ?

x2 9

9 m y2 ? 1 联立得: (4 ? 2 ) x 2 ? 18 x ? 9m 2 ? 36 ? 0 , k k 4
2 2 2

所以 ? ? 0 得 4k ? m k ? 9 ? 0 ??(1)式??????????10 分 由韦达定理得: xC ? xD ?

18km ? 2 x0 , 4k 2 ? 9

所以 x0 ?

9km 1 4k 2 m y ? ? x ? m y ? ,代入 得 0 4k 2 ? 9 k 4k 2 ? 9

T ( x0 , y0 ) 在直线 l : y ? k ( x ? 1) 上,得 5km ? 4k 2 ? 9 ??(2)式???????12 分
将(2)式代入(1)式得: 4k ? 9 ? 25 ,得 k ? 4 ,即 ?2 ? k ? 2 且 k ? 0 ??14 分
2
2

综上所述, k 的取值范围为 k ? (??, ?2] ? [2, ??) .

20. (本题满分 15 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)若 a1 =2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 bn ? 求证: Tn ?

Sn 1 ? n?r. an 3

1 a2 n?1

(n ? N* ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,

2n . 3n ? 1

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—10

解:(Ⅰ)令 n ? 1 ,得

1 2 ? r ? 1 ,所以 r ? ,?????1 分 3 3 1 2 1 1 则 S n ? ( n ? ) an ,所以 Sn ?1 ? ( n ? )an ?1 (n ? 2) , 3 3 3 3
两式相减,得

an n ?1 ? (n ? 2) ,?????3 分 an?1 n ? 1

所以

a a a2 a3 a4 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) ,化简得 n ? ? ? ? n ? ? ? ? (n ? 2) , a1 a2 a3 an?1 1 2 3 n ? 1 a1 1? 2

所以 an ? n2 ? n(n ? 2) ,?????6 分 又 a1 ? 2 适合 an ? n2 ? n(n ? 2) ,所以 an ? n2 ? n . (构造常数列等方法酌情给分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ,所以 bn ? ?????7 分

1 a2 n?1

?

1 1 1 , ? ? (2n ? 1)2n 2n ? 1 2n

? T1 ?

1 2 ? 不等式成立 2 3+1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) 1 2 3 4 5 6 2n ? 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ? ? ? ? ? ?( 2 ? ??? ) = ? ? ??? ? ( ? ??? ) 1 2 3 2n 2 4 2n 1 2 3 2n 1 2 n 1 1 1 ? Tn ? ? ??? ??????????????10 分 n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2Tn ? ( ? )?( ? ) ?? ? ( ? ) ??? ( ? ) n ? 1 2n n ? 2 2n ? 1 n ? k 2n ? k ? 1 2n n ? 1

?

1 1 3n ? 1 4 n ?1 ? ? ? (仅在 k ? 时取等号) 2 n ? k 2n ? k ? 1 (n ? k )(2n ? k ? 1) 3n ? 1
4n 2n 即结论 Tn ? 成立????????????15 分 3n ? 1 3n ? 1

? 2Tn ?

(数学归纳法按步骤酌情给分)

宁波市高三“十校”联考数学(理科)试卷 4—11


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