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2016年高考复习第51讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差教师打印版


湖南理科高考 750 分得分 723 分的《状元真功夫》 :姚老师电话:15274470417

第 51 讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 “一对一”

高中数学培优
2016 高考一轮复习(理科) 第 51 讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差

辅导老师: 高考总分 750 分,高考得分 723 分 的湖南高考状元的数学老师

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第 51 讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 “一对一”

第 51 讲

离散型随机变量的分布列、期望与方差

【学习目标】 1.了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念,会求某些简单的离散型 随机变量的概率分布. 2.会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差,并能解决一些实际 问题. 3.理解超几何分布、二项分布的试验模型,会将某些特殊离散型随机变量的分 布列、期望与方差转化化归为二项分布求解. 【知识要点】 1.离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个 确定的数字表示, 数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量, 随机变 量常用字母 X,Y,ξ,η等来表示. (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取到的值, 可以按一定顺序一一列出, 这样的变量就叫离散型 随机变量. (3)分布列 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,xn,而每一个值的概率 为 P(X=xi)=pi (i=1,2,?,n). 则称表

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4, Y 的方差为 DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+ (85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对 较小. 另外,虽然 EX<EY,但两者相差不大. 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布 列为

Y 的数学期望为 EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大 于购进 16 枝时的平均利润,故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

为随机变量 X 的概率分布列. (4)分布列的两个性质 ①0≤pi≤1,i=1,2,?,n. 2.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为

②p1+p2+?+pn=1.

(其中 0<p<1),q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布列 . 3.超几何分布列 在含有 M 件次品数的 N 件产品中,任取 n 件,其中含有 X 件次品数,则事 CMkCN-Mn-k 件{X=k}发生的概率为 P(X=k)= ,k=0,1,2,?,m,其中 CNn m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称此分布列: P1

P14

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8.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y(单位: 元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

为超几何分布列. 、4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 ξ 的分布列为:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位: 元), 求 X 的分布列、 数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由. 8.【解析】(1)当 n≥16 时,y=16×(10-5)=80, 当 n≤15 时,y=5n-5(16-n)=10n-80, ? 10n-80 (n≤15) 得:y=? (n∈N). 80 (n≥16) ? (2)(ⅰ)X 可取 60,70,80, P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为

(1)均值:称 Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn 为随机变量 ξ 的均值或数学期望 ,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 . (2)方差:称 Dξ=∑ (xi-Eξ)2pi 为随机变量 ξ 的方差,它刻画了随机变量ξ 与其 i=1 均值 Eξ 的平均偏离程度 ,其算术平方根 Dξ 为随机变量 ξ 的标准差. 5.均值与方差的性质 (1)E(aξ+b)=aEξ +b.(2)D(aξ+b)=a2Dξ . 6.基本性质 若ξ服从两点分布,则 Eξ=p ,Dξ=p(1-p) 若 X 服从二项分布,即ξ~B(n,p),则 Eξ=np,Dξ=np(1-p). 典型例题 考点 一、超几何分布及其应用 例题 1.某校校庆, 各届校友纷至沓来, 某班共来了 n 位校友(n>10 且 n∈N*), 其中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友制作了一份校友名单,现随机从中选出 2 位校友代表,若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合”. 1 (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率等于2,求 n 的值; (2)当 n=12 时,设选出的 2 位校友中女校友人数为 ξ,求 ξ 的分布列和 Eξ. 【解析】(1)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率 Cn-61C61 12(n-6) 12(n-6) 1 = C2 = ,则 = , n(n-1) n n(n-1) 2 化简得 n2-25n+144=0,解得 n=9(舍去)或 n=16,故 n=16.
n

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44. (ⅱ)答案一:花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布 列为

P13

P2

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(2)由题意得,ξ 的可能取值为 0,1,2. C62 5 C61C61 6 则 P(ξ=0)=C 2=22,P(ξ=1)= C 2 =11, 12 12 2 C6 5 P(ξ=2)=C 2=22. 12

则在其相应季度的销售津贴中扣除 500 元,但每个员工全年最多扣除 1000 元销 售津贴.设某员工完成季度销售任务的概率为 0.8,且每个季度是否完成销售任 务是相互独立的,计算(结果精确到 0.01): (1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率; (2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率; (3)一年内该员工平均扣多少销售津贴. 7.【解析】用 Ai 表示一年内该员工第 i 个季度完成销售任务,由已知有:P(Ai) =0.8,P( Ai )=0.2,i=1,2,3,4,且 A1,A2,A3,A4 相互独立. (1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率为 _ _ _ _ P1=P(
_
_

5 6 5 ∴Eξ=0×22+1×11+2×22=1. 【点评】超几何分布的特征是:(1)样本空间的 N 个元素可分为两类元素,其中 一类元素共 M 个(M<N);(2)从 N 个元素中取出 n 个元素,随机变量是这 n 个元 素中含某类元素的个数. 考点 二、二项分布及其应用 例题 2. (2013 福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方 2 2 案,方案甲的中奖率为3,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为5,中奖可以获 得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不 影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X, 求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选 择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大? 2 2 【解析】方法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为3,小红中奖的概率为5, 且两人中奖与否互不影响.记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 11 因为 P(X=5)= × = ,所以 P(A)=1-P(X=5)= , 3 5 15 15 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为15. 11 11 所以 P(A)=1-P(X=5)=15,即这两人的累计得分 X≤3 的概率为15. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数 为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙 抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2).由已知可得, 2? 2? ? ? X1~B?2,3?,X2~B?2,5?, P3 ? ? ? ? 7.某公司规定:员工的销售津贴按季度发放,如果员工没有完成季度销售任务,

A1 · A2 )+P(A1· A2 · A3 )+P(A1·A2· A3 · A4 )
_ _
_

_

_

=P(

A1 )P( A2 )+P(A1)P( A2 )P( A3 )+P(A1)P(A2)P( A3

_

)P(

A4

_

)

=0.22+0.8×0.22+0.82×0.22=0.04×(1+0.8+0.82)≈0.10. (2)设一年内该员工有 X 个季度完成销售任务,由题设知 X 服从二项分布 B(4, 0.8). 一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴, 即一年内该员工至少有两个季度没有完 成销售任务,故其概率为 P2=1-P(X=3)-P(X=4)=1-4×0.83×0.2-0.84=1-2×0.84=0.18. (3)设一年内该员工扣 Y 元销售津贴,Y=0,500,1 000. P(Y=0)=0.84=0.409 6, P(Y=500)=4×0.83×0.2=0.409 6, P(Y=1 000)=1-P(Y=0)-P(Y=500)=0.180 8. 所以 EY=500×0.409 6+1 000×0.180 8=385.60, 即一年内该员工平均扣 385.60 元销售津贴. P12 6.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车

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首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计数据如下:

2 4 2 4 所以 E(X1)=2×3=3,E(X2)=2×5=5, 8 12 从而 E(2X1)=2E(X1)=3,E(3X2)=3E(X2)= 5 . 因为 E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学 期望较大. 2 2 方法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为 3,小红中奖的概率为5,且两人 中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件, 2? ? 2? 1 2? 2 2 ? ? 因为 P(X=0)=?1-3?×?1-5?=5,P(X=2)=3×?1-5?=5, ? ? ? ? ? ? 2? 2 2 ? P(X=3)=?1-3?×5=15, ? ? 11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=15, 11 即这两人的累计得分 X≤3 的概率为15. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获 得的累计得分为 X2,则 X1,X2 的分布列如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期 内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆 乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种 品牌轿车, 若从经济效益的角度考虑, 你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由. 6.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A. 2+3 1 则 P(A)= 50 =10. (2)依题意得,X1 的分布列为

1 4 4 8 所以 E(X1)=0×9+2×9+4×9=3, X2 的分布列为 9 12 4 12 E(X2)=0×25+3×25+6×25= 5 . 因为 E(X1)>E(X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 【点评】二次分布的题设情境是试验或可化为独立重复试验.

(3)由(2)得, 1 3 9 143 E(X1)=1×25+2×50+3×10= 50 =2.86(万元), 1 9 E(X2)=1.8×10+2.9×10=2.79(万元). 因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. P11

P4 考点 三、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差 例题 3. (2013 浙江)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出

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一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均 等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球 5 5 所得分数.若 Eη=3,Dη=9,求 a∶b∶c. 【解析】(1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6. P(ξ=2)= 3×3 1 2×3×2 1 =4,P(ξ=3)= =3, 6×6 6×6 2×3×1+2×2 5 =18, 6×6 2×2×1 1 1×1 1 =9,P(ξ=6)= = . 6×6 6×6 36

4.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随 机变量ξ 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 Eξ =____(结果用最 简分数表示). C52 10 4.【解析】ξ 可取 0,1,2,因此 P(ξ=0)=C 2=21,P(ξ=1) 7 1 1 2 C5 C2 10 C2 1 10 10 1 4 = C 2 =21,P(ξ=2)=C 2=21,Eξ=0×21+1×21+2×21=7. 7 7

P(ξ=4)=

5.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布列为:

P(ξ=5)=

则 EX 的最大值为____;DX 的最大值为____. 1 ? ?0≤ -p≤1, 1 5.【解析】由? 2 得 0≤p≤ , 2 ? ?0≤p≤1, 1 ?1 ? 于是 EX=0×?2-p?+p×1+2×2=p+1 ? ? 1 3 显然 EX 的最大值为2+1=2; 1 ?1 ? DX=(0-p-1)2·?2-p?+(1-p-1)2·p+(2-p-1)2·2 ? ?

所以 ξ 的分布列为

所以 Eη=

a 2b 3c 5 + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3

5?2 5?2 a b ? ? Dη=?1-3? · +?2-3? · + ? ? ? a+b+c ? a+b+c 5?2 c 5 ? ?3-3? · =9, ? ? a+b+c

1?2 5 ? =-?p+2? +4∴当 p=0 时,DX 取得最大值,且最大值是 1. ? ?

P10 P5 考点集训

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第 51 讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 “一对一”

1.已知 X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则 n 和 p 值分别为( A.100 和 0.08 B.20 和 0.4 C.10 和 0.2 D.10 和 0.8

)

? ?2a-b-4c=0, 化简得? ?a+4b-11c=0, ? 解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1.

?np=8 1. 【解析】 ∵X~B(n, p ), ∴E(X)=np, D(X)=np(1-p), 从而有? , ?np(1-p)=1.6 解得 n=10,p=0.8.

考点 四、期望与方差的实际应用
例题 4. (2013 重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸
奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球. 根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数, 设一、二、三等奖如下:

c , k(k+1) k=1,2,3,c 为常数,则 P(0.5<ξ<2.5)=____. c c c 4 2.【解析】由 + + =1,知 c=3, 1×2 2×3 3×4 8 P(0.5<ξ<2.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=9. 2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=

3.随机变量 ξ 的分布列如下:

则:(1)x=____;(2)P(ξ>3)=____;(3)P(1≤ξ<4)=____. 3.【解析】(1)由分布列性质得 0.1+0.25+x+0.15+0.3+0.1=1,解得 x=0.1. (2)P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)+P(ξ=6)=0.15+0.3+0.1=0.55. (3)P(1≤ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.1+0.25+0.1=0.45.

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X). 【解析】设 Ai 表示摸到 i 个红球,Bj 表示摸到 j 个蓝球,则 Ai(i=0,1,2,3)与 Bj(j=0,1)独立. C31C42 18 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)= C 3 =35. 7 (2)X 的所有可能值为 0,10,50,200,且 C33 1 1 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=C 3·3=105, 7 3 C3 2 2 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=C 3·3=105, 7 C32C41 1 12 4 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= C 3 ·3=105=35, 7 1 2 4 6 P(X=0)=1-105-105-35=7. 综上知 X 的分布列为

P9

6 4 2 1 从而有 E(X)=0×7+10×35+50×105+200×105=4(元). P6

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第 51 讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差 “一对一”

【点评】分析求解离散型随机变量的分布列、期望和方差综合问题,关键是认真 阅读、理解题意,然后由题意确定随机变量的可能取值,同时对所取的每一个值 的实际背景理解到位后,才能正确 计算其概率,最后解决问题. 【基础检测】 45 1.设 ξ 是服从二项分布 B(n,p)的随机变量,又 E(ξ)=15,D(ξ)= 4 ,则 n 与 p 的值为( ) 3 1 3 1 A.60,4 B.60,4 C.50,4 D.50,4 45 1 1.【解析】由 ξ~B(n,p),有 E(ξ)=np=15,D(ξ)=np(1-p)= 4 ,∴p=4,n= 60. 2.已知袋中装有 6 个白球、2 个黑球,从中任取 3 个球,则取到白球个数 ξ 的 期望 E(ξ)=( ) 59 61 9 A.2 B.28 C.28 D.4 C61C22 3 2.【解析】取到的白球个数 ξ 可能的取值为 1,2,3.所以 P(ξ=1)= C 3 =28; 8 2 1 3 C6 C2 15 C6 5 3 P(ξ=2)= C 3 =28;P(ξ=3)=C 3=14.因此取到白球个数 ξ 的期望 E(ξ)=28+ 8 8 15 5 63 9 2×28+3×14=28=4. 3.已知随机变量 X 的分布列为:

4.【解析】a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 又 a+b+c=1,E(ξ)=-1×a+1×c=c-a=3, 1 1 1 ∴a=6,b=3,c=2, 1?2 1 ? 1?2 1 ? 1?2 1 5 ? ∴D(ξ)=?-1-3? ×6+?0-3? ×3+?1-3? ×2=9. ? ? ? ? ? ? 方法总结 1.关于离散型随机变量分布列的计算方法如下: (1)写出ξ 的所有可能取值. (2)用随机事件概率的计算方法,求出ξ 取各个值的概率. (3)利用(1)(2)的结果写出ξ 的分布列. 2.常见的特殊离散型随机变量的分布列. (1)两点分布.它的分布列为(p0 (2)二项分布.它的分布列为(0p0 1 q ),其中 0<p<1,且 p+q=1; 1p 1 2p 2 ? ? kp ? k ? np ),其中 p n k

=Cnkpkqn-k,k=0,1,2,?,n,且 0<p<1,p+q=1,pk=Cnkpkqn-k 可记为 b(k;n,p). 3.对离散型随机变量的期望应注意: (1)期望是算术平均值概念的推广,是概念意义下的平均. (2)Eξ 是一个实数,由ξ 的分布列唯一确定,即作为随机变量ξ 是可变的,可取 不同值,而 Eξ 是不变的,它描述ξ 取值的平均状态. (3)Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?直接给出了 Eξ 的求法,即随机变量取值与 相应概率值分别相乘后相加 4.对离散型随机变量的方差应注意: (1)Dξ 表示随机变量ξ 对 Eξ 的平均偏离程度, Dξ 越大表明平均偏离程度越 大,说明 ξ 的取值越分散;反之 Dξ 越小,ξ 的取值越集中,在 Eξ 附近,统计中 常用 Dξ 来描述 ξ 的分散程度.

则 E(6X+8)等于____. 3.【解析】E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=0.2+0.8+1.2=2.2, ∴E(6X+8)=6E(X)+8=6×2.2+8=13.2+8=21.2. 4.已知随机变量 ξ 的分布列如下:

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)=3,则 D(ξ)的值是____. P7

(2)Dξ 与 Eξ 一样也是一个实数,由 ξ 的分布列唯一确定.

P8


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第52讲 随机变量的分布列、期望、方差
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