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法向量经典练习题


【山东省淄博市第一中学 2012 届高三第一学期期中理】 1、 (满分 12 分) : 如图所示的几何体是由以等边三角形 ABC 为底面的棱 柱 被 平 面 D E F 所 截 而 得 , 已 知 FA ? 平 面 ABC ,

AB ? 2, AF ? 2, CE ? 3, BD ? 1, O 为 BC 的中点
(1) 求证: AO ∥平面 DEF

(2) 求证:平面 DEF ? 平面 BCED (3) 求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角 的余弦值

【山东省枣庄市 2012 届高三上学期期末理】2.(本题满分 12 分) 如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2, ? BAD=60°. (1)证明:面 PBD⊥面 PAC; (2)求锐二面角 A—PC—B 的余弦值.

【山东省临清三中 2012 届高三 12 月模拟理】3. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是 菱形,AB=2,∠BAD=60° . (Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

4.在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形, AB∥CD, ∠DAB=60°, FC⊥平面 ABCD, AE⊥BD,CB=CD=CF。

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。

【答案】1、 证明:⑴取 DE 中点 G,建系如图,则 A(0, 3,0)、B(-1,0, 0)、C(1,0,0)、 D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0, 3,2)、G(0,0,2), ? ? DE=(2,0,2),DF=(1, 3,1).

设平面 DEF 的一法向量m =(x,y,z), ? ???DE=0 ?x+z=0 ?m 则? 即? ,不妨取 x=1,则 y=0,z=-1, ? ? 3y+z=0 ?x+ ? ? m ?DF=0
? ? ? ∴ m =(1,0,-1),平面 ABC 的一法 向量n =(0,0,1),OA=(0, 3,0).

?

? ? ? ? OA?n =0,∴OA?n .又 OA? 平面 DEF,∴OA??平面 DEF. ⑵显然,平面 BCED 的一法向量为v =(0,1,0),v ? n =0,∴平面 DEF?平面 BCED ⑶由⑴知平面 DEF 的一法向量m =(1,0,-1),平面 ABC 的一法向量n =(0,0,1),
? ? m?n 2 cos<m ,n >= ? ? =2 | m |?| n | ? ? ? ? ? ? ?

2 ∴求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为 2 . 【答案】2.(1)因为四边形 ABCD 是菱形,

所以 AC ? BD. 因为 PA ? 平面 ABCD, 所有 PA ? BD.…………………………2 分 又因为 PA ? AC=A, 所以 BD ? 面 PAC.……………………3 分 而 BD ? 面 PBD, 所以面 PBD ? 面 PAC.…………………5 分 (2)如图,设 AC ? BD=O.取 PC 的中点 Q,连接 OQ. 在△APC 中,AO=OC,CQ=QP,OQ 为△APC 的中位线,所以 OQ//PA. 因为 PA ? 平面 ABCD, 所以 OQ ? 平面 ABCD,……………………………………………………6 分 以 OA、OB、OQ 所在直线分别为 x 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz. 则 A 3,0,0 , B?0,1,0?, C ? 3,0,0 ,

?

?

?

?

P 3,0,2 . ………………………………………………………………………7 分
因为 BO ? 面 PAC, 所以平面 PAC 的一个法向量为 OB ? ?0,1,0 ?. …………………………………8 分 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ?, 而 BC ? ? 3 ,?1,0 , PB ? ? 3,1,?2 , 由?

?

?

?

?

?

?

?n ? BC, ? ?n ? PB, ?

得?

?? 3x ? y ? 0, ? ?? 3x ? y ? 2 x ? 0. ?

令 x ? 1, 则 y ? ? 3 , z ? ? 3. 所以 n ? 1,? 3 ,? 3 为平面 PBC 的一个法向量.……………………………10 分

?

?

< c o s OB, n > ?

OB ? n OB ? n

?

? 3 21 ?? . ……………………12 分 7 1? 1 ? 3 ? 3

【答案】3. (I)证明:因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC. …………… 4 分 (Ⅱ)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60° ,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3. 如图,以 O 为坐标原点,OB、OC 所 在直线及过点 O 且与 PA 平行的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系 O-xyz,则 P(0,- 3,2) ,A(0,- 3,0) ,B(1,0,0) ,C(0, 3,0) . 所以 PB=(1, 3,-2) ,AC=(0,2 3,0) . 设 PB 与 AC 所成角为 θ,则

cosθ==

6 6 = . 2 2× 3 4 2

………………8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 BC=(-1, 3,0) . 设 P(0,- 3,t) (t >0) ,则 BP=(-1,- 3,t) . 设平面 PBC 的法向量 m=(x,y,z) 则 BC· , m=0,BP· m=0.

?-x+ 3y=0, 所以? ?-x- 3y+tz=0,

6 令 y= 3,则 x=3,z= , t

6 所以 m=?3, 3, t ?. ? ?

6 同理,可求得平面 PDC 的法向量 n=?-3, 3, t ?. ? ? 36 因为平面 PBC⊥平面 PDC, 所以 m· n=0,即-6+ 2 =0. 解得 t= 6. t 所以当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,PA= 6. ……………………12 分


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