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2013高中数学高考题详细分类考点52 几何证明选讲


考点 52 几何证明选讲
一、填空题 1.(2013 · 天津高考理科·T13) 如图 ,△ ABC 为圆的内接三角形 ,BD 为圆的弦 , 且 BD∥ AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5, 则线段 CF 的长为 .

【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算 . 【解析】因为 AE 与圆相切于点 A, 所以 AE2=EB·(EB+BD), 即 62=EB·(EB+5), 所以 BE=4,根据切线的性质有∠ BAE= ∠ ACB,又因为 AB=AC, 所以∠ ABC= ∠ ACB, 所以∠ ABC=∠ BAE,所以 AE∥ BC,因为 BD∥ AC,所以四边形 ACBE 为平行四边形 , 所以 AC=BE=4,BC=AE=6. 设 CF=x, 由 BD∥ AC 得 AC ? CF ,即 4 ?
BD BF 5 x ,解得 6? x

x=错

误!未找到引用源。 ,即 CF=错误!未找到引用源。 . 【答案】错误!未找到引用源。 . 2. ( 2013 ·湖南高考理科·T 11 )如图,在半径为 7 的⊙ 0 中 ,弦

AB, CD相交于点P, PA ? PB ? 2, PD ? 1,则圆心O到弦CD的距离为

.

【 解 题 指 南 】 本 题 要 利 用 相 交 弦 定 理 :PA · PB=PD · PC 和 解 弦 心 三 角 形

1 d ? r 2 ? ( CD) 2 2

【解析】由相交弦定理 PA ? PB ? PD ? PC 得 PC ? 4 ,所以弦长 CD ? 5 ,故圆心 O 到弦 CD 的距离为 【答案】
3 . 2
1 25 3 OC 2 ? ( CD ) 2 ? 7 ? ? 2 4 2

.

3. ( 2013 ·陕西高考文科·T 15 )如图 , AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P . 已知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE = .

【解题指南】先通过 ?A ? ?C 及线线平行同位角相等,找出三角形相似 , 再由 比例线段求得答案 . 【解析】 因为BC // PE所以?BCD ? ?PED.且?A ? ?C ? ?PED ? ?BAD.
? ?EPD ∽ ?APE ? PE PD ? ? PE 2 ? PA ? PD ? 3 ? 2 ? 6.所以 PE ? 6 . PA PE

【答案】 6 . 4. (2013 ·北京高考理科· T11) 如图 , AB 为圆 O 的直径 ,PA 为圆 O 的切线 ,PB 与圆 O 相交于 D.若 PA=3,PD ∶ DB=9∶ 16,则 PD= ,AB= .

【解题指南】 利用切割线定理求出 PD,再在 Rt△ PBA 中利用勾股定理求出 AB.

【解析】 由于 PD∶ DB=9 ∶ 16, 设 PD=9a,DB=16a,根据切割线定理有 PA 2=PD· PB, 有 a=错误!未找到引用源。 ,所以 PD=错误!未找到引用源。 ,在 Rt△ PBA 中 ,有 AB=4. 【答案】错误!未找到引用源。 4.

5. ( 2013 ·湖北高考理科·T 15 )如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影 为 D,点 D 在半径 OC 上的射影为 E,若 AB=3AD, 则
CE 的值为 EO

【解题指南】先用半径表示 ,再求比值 . 【解析】设半径为 R, AB=3AD=2R. AD= R ,OD= R ,OC=R,CD= R 2 ? R 2 ?
2 3 1 3

1 9

2 2 R, 3

2 2 R 2 2 2 2 2 2 8 cos C ? 3 ? , CE ? CD cos C ? R ? R, 所以 EO=R ― CE ― R― R 3 3 3 9

8 R 8 1 CE 9 R ? R, ? ? 8. 9 9 EO 1 R 9

【答案】 8. 6. ( 2013 ·陕西高考理科·T 15 )如图 , 弦 AB 与 CD 相交于圆 O 内一点

E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD= 2DA= 2, 则 PE
= .

【解题指南】先通过圆周角相等及线段平行同位角相等得出 ?EPD∽ ?APE, 再 由比例线段求得答案 . 【解析】 因为BC // PE所以?BCD ? ?PED.且在圆中?BCD ? ?BAD ? ?PED ? ?BAD.
? ?EPD ∽ ?APE ? PE PD ? ? PE 2 ? PA ? PD ? 3 ? 2 ? 6.所以 PE ? 6 . PA PE

【答案】 6. 7.( 2013 ·广东高考理科·T 15 )如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2 ,则 BC=______.

【解题指南】本题考查几何证明选讲,可先作 ?ABD 的中位线 OC 再计算 . 【解析】设 BC ? x ,连接 OC ,因为 BC ? CD, AC? BD , ?ABD 是等腰三角形,
BC ? CD ? x, AB ? AD ? 6, ED ? 2, AE ? 4 ,在 ?ACD 中, CE ? AD,则
2 2 CE2 ? AC2 ? AE2 ? AD ? DE ,即 36 ? x2 ?16 ? x2 ? 4 ,解得 x ? 2 3 .

【答案】 2 3 . 8. ( 2013 ·广东高考文科·T 15 )如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 ,
BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?



【解题指南】本题考查几何证明选讲,可先利用射影定理再结合余弦定理计 算. 【解析】 AB ? 3, BC ? 3, AC ? 2 3,? ACB? 30 , AC? BE , ?BEC 是直角三角形,由 射影定理 BC 2 ? AC ? EC , EC ?
3 3 ,在 ?ECD 中,由余弦定理可得 2
21 21 ,即 ED ? . 4 2

ED 2 ? EC 2 ? CD 2 ? 2 EC ? CD cos 60 ?

【答案】

21 . 2

9. ( 2013·天津高考文科·T 13 )如图 , 在圆内接梯形 ABCD 中 , AB//DC , 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则 弦 BD 的长为 .

【解题指南】 首先利用圆的性质,得出角的关系,再分别在△ ABE 与△ ABD 中利用正弦定理求解 . 【解析】 设 ?BAE ? ? , 因为 AE 与圆相切于点 A,所以 ?BAE ? ?ADB, 又因为 AB =

AD , 所 以

?A B D ? ? A D ?? B ,

因 为 AB//DC, 所 以

?A B D ? ? C D ?? B,

所以

?A B E ? ? A D 2? ? C. 在△ ABE

中,由正弦定理得

解得 cos? ? 3 .在△ ABD 中,由正弦定理得
4

5 BE AB ,即 4 ? , ? sin ? sin(? ? 3? ) sin ?BAE sin E BD AB ,即 BD ? 5 , ? sin( ?? 2 ? ) sin ? sin ?BAD sin ?ADB

解得 BD ? 15 .
2

【答案】

15 . 2

10. ( 2013 ·重庆高考理科·T 14 )如图,在△ ABC 中, ?C ? 900 , ?A ? 600 ,
AB ? 20 , 过 C 作△ ABC 的外接圆的切线 CD ,BD ⊥ CD ,BD 与外接圆交于点 E ,

则 DE 的长为

【解题指南】 直接根据圆的切线及直角三角形的相关性质进行求解 【解析】 由题意知 AB 是圆的直径 , 设圆心为 O ,连接 OC ,因为 CD 是圆的切线 , 则 OC ? CD 又 因 为 BD ⊥ CD , 所 以 OC // BD . 因 为 OA ? OC, ?A ? 60? , 所 以
?ACO ? 60? , ?OCB ? 30? , 因 为 AB ? 20 , 所 以 BC ? 10 3 , 因 为 OC // BD , 所 以
?CBD ? 30? 所 以 BD ? 15 , 又 因 为 AB 是 圆 的 直 径 , 点 E 在 圆 上 , ?ABD ? 60? , 所以 BE ? 10 , 故 DE ? BD ? BE ? 15 ? 10 ? 5
AB ? 20



【答案】 5 . 二、解答题 11. ( 2013 ·辽宁高考文科·T 22 )与( 2013 ·辽宁高考理科·T 22 )相同
BC 垂直 CD 如图,AB 为 O 的直径, 直线 CD 与 O 相切于 E , AD 垂直 CD 于 D ,

于 C , EF 垂直 AB 于 F ,连接 AE, BE.

证明: (?) ?FEB ? ?CEB ; (?? ) EF 2 ? AD ? BC.

【解题指南】 角相等 .

借助等量代换,证明相等关系;利用全等三角形的对应边,

【证明】 (?) 由直线 CD 与 O 相切于 E ,得 ?EAB ? ?CEB 由 AB 为 O 的直径,得 AE ? EB ,从而 ?EAB ? ?EBF ?
?
2

?
2

又 EF 垂直 AB 于 F ,得 ?FEB ? ? EBF ? ,从而 ?FEB ? ?CEB
(?? ) 由 BC 垂直 CD 于 C ,得 BC ? CE

又 EF 垂直 AB 于 F ? EF ? AB , ?FEB ? ?CEB , BE 为公共边, 所以 Rt ?BCE ≌ Rt ?BFE ,所以 BC ? BF 同理可证, Rt ?ADE ≌ Rt ?AFE ,所以 AD ? AF
. 又在 Rt△AEB 中 , EF ? AB ,所以 EF 2 ? AF? BF . 综上, EF 2 ? AD? BC

12. ( 2013·新课标Ⅰ高考文科·T 22 )与( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 22 )相同 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于 D。

(Ⅰ)证明: DB=DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1, BC=错误!未找到引用源。 F,求△ BCF 外接圆的半径。 【解析】(Ⅰ)连结 DE 交 BC 于点 G . ,延长 CE 交 AB 于点

由弦切角定理得 ?ABE ? ?CBE ,而∠ ABE=∠ CBE,故 ?CBE ? ?BCE , BE ? CE . 又因为 DB ? BE ,所以 DE 为直径, ?DCE ? 90? , 由勾股定理得 DB ? DC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ?CDE ? ?BDE , DB ? DC , 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG ?
3 . 2

设 DE 的中点为 O ,连结 BO ,则 ?BOG ? 60? , 从而 ?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30? ,所以 CF ? BF , 故 Rt ?BCF 的外接圆的半径等于
3 . 2

13.(2013 · 江苏高考数学科· T21) 如图 ,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC. 求证 :AC=2AD.

【解题指南】利用相似三角形证明 , 主要考查圆的切线性质、相似三角形判 定与性质 ,考查推理论证能力 . 【证明】连结 OD. 因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,

所以∠ ADO=∠ ACB=90 °. 又因为∠ A=∠ A, 所以 Rt△ ADO∽ Rt△ ACB. 所以
BC AC ? ,又 BC=2OC=2OD, OD AD

故 AC=2AD. 14. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 22 )与( 2013 ·新课标全国Ⅱ高 考理科·T 22 )相同 如图,CD 为△ ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E 、F 分别 为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC?AE=DC?AF, B、 E、 F、 C 四点共圆 . ( 1) 证明: CA 是△ ABC 外接圆的直径; ( 2) 若 DB=BE=EA, 求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的 比值 .

【解题指南】(1) 根据圆的性质及相似知识证得 ?CBA ? 90? ,可得 CA 是 ?ABC 外接圆的直径 . ( 2)连接 CE,利用圆的性质,寻求过 B、 E、 F、 C 四点的圆的半径长与△ ABC 外接圆的半径长的比值,从而确立圆的面积之比 .

【解析】( 1 )因为 CD 为 ?ABC 处接圆的切线,所以 ?DCB ? ? A,由题设知
BC DC = , FA EA
. 故 ?CDB ∽ ?AEF ,所以 ?DBC ? ? EFA

因为 B, E, F, C 四点共圆,所以 ?CFE ? ?DBC ,故 ?EFA ? ?CFE ? 90? 所以 ?CBA ? 90? ,因此 CA 是 ?ABC 外接圆的直径 . (2)连结 CE,

因为 ?CBE ? 90? ,所以过 B, E, F, C 四点的圆的直径为 CE,由 DB= BE,有 CE= DC,又 BC 2 ? DB ? BA ? 2DB2 ,所以 CA2 ? 4 DB2 ? BC2 ? 6 DB2. 而 DC 2 ? DB ? DA ? 3DB2 ,故过 B, E, F , C 四点的圆的面积与 ?ABC 外接圆面积 的比值为 .
1 2


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