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平面向量的数量积


第3讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查平面向量数量积的运算.

平面向量的数量积

2.考查利用数量积求平面向量的夹角、模. 3.考查利用数量积判断两向量的垂直关系. 【复习指导】 本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决 平面向量的数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及两向 量的垂直关系.

基础梳理 1.两个向量的夹角

→ → 已知两个非零向量 a 和 b(如图),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° ) 叫做向量 a 与 b 的夹角,当 θ=0° 时,a 与 b 同向;当 θ=180° 时,a 与 b 反向; 如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 2.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量 积(或内积),记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为 0, 即 0· a=0. 3.向量数量积的几何意义 数量积 a· 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的数量积. b 4.向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量,e 是单位向量,θ 为 a 与 b(或 e)的夹角.则 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)a⊥b?a· b=0;

(3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a|· |b|;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|,特别的,a· a= |a|2 或者|a|= a· a; a· b (4)cos θ=|a||b|; (5)|a· b|≤|a||b|. 5.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a; (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 6.平面向量数量积的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 (1)a· 1x2+y1y2; b=x (2)|a|= x2+y2; 1 1 (3)cos〈a,b〉= x1x2+y1y2 ; 2 x1+y2 x2+y2 1 2 2

(4)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. → 7.若 A(x1,y1),B(x2,y2),AB=a,则|a|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2(平面内两点间 的距离公式).

一个条件 两个向量垂直的充要条件:a⊥b?x1x2+y1y2=0. 两个探究 (1)若 a· b>0,能否说明 a 和 b 的夹角为锐角? (2)若 a· b<0,能否说明 a 和 b 的夹角为钝角? 三个防范 (1)若 a,b,c 是实数,则 ab=ac?b=c(a≠0);但对于向量就没有这样的性质, 即若向量 a,b,c 若满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b=c,即等式两边不能同 时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量. (2)数量积运算不适合结合律,即(a·b)c≠a(b·c),这是由于(a·b)c 表示一 个与 c 共线的向量,a(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,

因此(a·b)c 与 a(b·c)不一定相等. (3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形 ABC 中,→与→的夹角应为 120°, AB BC 而不是 60°. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知|a|=3,|b|=2,若 a· b=-3,则 a 与 b 的夹角 为( π A.3 ). π B.4 2π C. 3 3π D. 4

-3 a· b 1 2π 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a||b|= =-2.又 0≤θ≤π,∴θ= 3 . 3×2 答案 C 2.若 a,b,c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( A.(a+b)+c=a+(b+c) C.m(a+b)=ma+mb 答案 D 3.(2011· 广东)若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( A.4 B.3 C.2 D.0 ). B.(a+b)· c=a· c+b· c D.(a· c=a· c) b)· (b· ).

解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. 答案 D 4.已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数 x 等于( A.9 B.4 C.0 D.-4 ).

解析 a-b=(1-x,4). 由 a⊥(a-b),得 1-x+8=0. ∴x=9. 答案 A 5. (2011· 江西)已知|a|=|b|=2, (a+2b)· (a-b)=-2, a 与 b 的夹角为________. 则 解析 由|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2, a· b 2 1 π 得 a· b=2,cos〈a,b〉=|a||b|= =2,又〈a,b〉∈[0,π]所以〈a,b〉=3. 2×2 π 答案 3

考向一

求两平面向量的数量积

→ → → 【例 1】?(2011· 合肥模拟)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,|AM|=1,AP=2PM, → (PB → 则PA·→ +PC)=________. → → → [审题视点] 由 M 是 BC 的中点,得PB+PC=2PM. → → → 又AP → |AM 解析 如图, 因为 M 是 BC 的中点, 所以PB+PC=2PM, → =2PM, → |=1, → → → 所以PA· +PC) (PB

4 → 4 4 → 2PM → =PA· → =-4|PM|2=-9|AM|2=-9,故填-9. 4 答案 -9 当向量表示平面图形中的一些有向线段时,要根据向量加减法运算的 几何法则进行转化, 把题目中未知的向量用已知的向量表示出来,在这个过程中 要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识. 【训练 1】 如图,

→ AB → 在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA· =________. 1→ → → → 故CA AB → (AO → → → AO → OB → → → 解析 AB=AO+OB, → · =CA·→ +OB)=CA· +CA· .而AO=- CA, 2 1 → → → AB → CA⊥OB.所以CA· =-2CA2=-8. 答案 -8 考向二 利用平面向量数量积求夹角与模

【例 2】?已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ;

(2)求|a+b|和|a-b|. [审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得 a· 的值,再求其夹角的余弦值,从 b 而得其夹角. 解 (1)(2a-3b)· (2a+b)=61,解得 a· b=-6. a· -6 b 1 2π ∴cos θ=|a||b|= =-2,又 0≤θ≤π,∴θ= 3 . 4×3 (2)|a+b|2=a2+2a· 2=13, b+b ∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· 2=37. b+b ∴|a-b|= 37. 在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式, 尤其对|a|= a· a要引起足够重视,是求距离常用的公式. 【训练 2】 已知 a 与 b 是两个非零向量, 且|a|=|b|=|a-b|, a 与 a+b 的夹角. 求 解 设 a 与 a+b 的夹角为 θ,由|a|=|b|得|a|2=|b|2. 又由|b|2=|a-b|2=|a|2-2a· b+|b|2. 1 ∴a· 2|a|2, b= 而|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=3|a|2, ∴|a+b|= 3|a|. a· ?a+b? 3 = =2. |a||a+b| |a|· 3|a| 1 |a|2+2|a|2

∴cos θ=

∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=30° ,即 a 与 a+b 的夹角为 30° . 考向三 平面向量的数量积与垂直问题

【例 3】?已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. [审题视点] 利用 a⊥b?x1x2+y1y2=0 及 a∥b?x1y2-x2y1=0,求解. 解 (1)若 a⊥b, 则 a· b=(1,x)· (2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0. 整理,得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3.

(2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0), ∴|a-b|= ?-2?2+02=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4), ∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2 或 2 5. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程,通过解方程求出其 中的参数值. 在计算数量积时要注意方法的选择:一种方法是把互相垂直的两个 向量的坐标求出来, 再计算数量积;另一种方法是根据数量积的运算法则进行整 体计算,把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算. 【训练 3】 已知平面内 A, C 三点在同一条直线上,→ =(-2, OB=(n,1), B, OA m),→ → → → OC=(5,-1),且OA⊥OB,求实数 m,n 的值. 解 由于 A,B,C 三点在同一条直线上, → → → → → 则AC∥AB,AC=OC-OA=(7,-1-m), → → → AB=OB-OA=(n+2,1-m), ∴7(1-m)-(-1-m)(n+2)=0, 即 mn+n-5m+9=0,① → → 又∵OA⊥OB, ∴-2n+m=0.② ?m=3, ? ?m=6, 联立①②,解得? 或? 3 ?n=3 ?n=2. ?

规范解答 10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题 【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向 量描述.它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答, 三角知识是考查的主体. 考查的要求并不高,解题时要综合利用平面向量的几何

意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题. 【解决方案】 解决这类问题时,首先要考虑向量工具性的作用,如利用向量的 模与数量积转化边长与夹角问题, 然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形 式,最后用三角知识规范解答. 【示例】? (本题满分 12 分)(2010· 安徽)△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 所对 12 边长分别为 a,b,c,cos A=13. → AC → (1)求AB· ; (2)若 c-b=1,求 a 的值. 先求 sin A, 再利用面积公式求 bc, 最后利用数量积及余弦定理可解决. 12 [解答示范] 由 cos A=13,得 sin A= 1 又2bcsin A=30, ∴bc=156.(4 分) 12 → AC → (1)AB· =bccos A=156×13=144(8 分) (2)a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc(1-cos A) 12? ? =1+2×156×?1-13?=25,又 a>0(10 分) ? ? ∴a=5.(12 分) 三角形的三边可与三个向量对应,这样就可以利用向量的知识来解三 角形了, 解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别,还要注意向 量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用. → BC → → → 【试一试】 已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且AB· =6,设AB与BC的夹 角为 θ. (1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=sin2θ+2sin θ· θ+3cos2θ 的最小值. cos [尝试解答] 6 → BC → → |BC cos → |BC (1)∵AB· =6,∴|AB|·→ |· θ=6.∴|AB|·→ |=cos θ. 5 ?12? 1-?13?2=13.(2 分) ? ?

1→ 又∵S=2|AB|·→ |· |BC sin(π-θ)=3tan θ,

3 ∴ 3≤3tan θ≤3,即 3 ≤tan θ≤1. π π 又∵θ∈(0,π),∴6≤θ≤4. (2)f(θ)=1+2cos2θ+sin 2θ=cos 2θ+sin 2θ+2 π? ? = 2sin?2θ+4?+2, ? ? 3 ? π ?7 ?π π? ?π π? 由 θ∈?6,4?,得 2θ∈?3,2?,∴2θ+4∈?12π,4π?. ? ? ? ? ? ? π 3 π ∴当 2θ+ = π 即 θ= 时,f(θ)min=3. 4 4 4


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