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2010年 - 吉林 - 吉林省实验中学 - 高三 - 名校模拟(四模) - 理科 - 数学


吉林省实验中学 2010 届高三年级第四次模拟

数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 、第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.满足条件 A ??0, 1, 2?=?0, 1, 2, 3? 的所有集合 A 的个数是 A.6 B.7 C .8 D.16 ( ) ( )

2.已知复数 z 和 (z-2)2- 8i 都是纯虚数,则 z =

A.i B. ? 2i C.-i D.2i 3. 命题甲: p 是 q 的充分条件; 命题乙: p 是 q 的充分必要条件, 则命题甲是命题乙的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



4.已知 ?、?、? 表示平面,l、k 表示直线,并且有 l ? k,? ? ? ,? ? ? =k,? ? ? =l .给出 三个结论:① ? ? ? ;② l ? ? ;③ k ? ? .其中正确的结论的个数是 A.0 B.1 C .2 D.3 ( )

1 ? ? y≥ x 5.在平面直角坐标平面上,不等式组 ? 所表示的平面区域的面积等于( 2 ? y≤- x +3 ?
A.6 B.8 C.12
2 t ?2



D.15 ,则质点在 t ? 2 的瞬时速度是( D.16
2 1
3

6.已知某质点的位移 s 与移动时间 t 满足 s ? t ? e A.4 B.6



C .8

7.右图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示, 则该几何体的表面积为(不考虑接触点) A.6+ 3 + ? C.18+ 3 +4 ? B.18+2 3 + ? D.32+ ?
3

2

C1

8.现有 6 个人分乘两辆不同的出租车,已知每 辆车最多能乘坐 4 个人,则不同的乘车方案 种数为 ( ) A.30 B.50
2

正视图
2

侧视图

2

俯视图

C.60 D.80 9.已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 PA+BP+CP=0 , AP=? PD ,则实数

??? ? ??? ? ??? ? ?

??? ?

??? ?

? 的值为 1 A. 4
C.-2

( B.2 D.



1 2

10.若二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? a 的部分图像如右 图所示,则函数 g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在 的区间是 A. ? ( B. ?1, 2 ? C. ? ) O

?1 1? , ? ?4 2?

?1 ? ,1? ?2 ?

D. ? 2,3?

11.过抛物线 y2 =2px(p>0) 的焦点 F 作直线与此抛物线相交于 A、B 两点,O 是坐标原点, 当 OB ≤ FB 时,直线 AB 的斜率的取值范围是 A. [- 3,0) ? (0, 3 ] C. (-?,- 3 ] ? [ 3,+?) B. (-?,-2 2 ][ ? 2 2,+?) D. [ -2 2 , 0 )( ? 0, 2 2] ( )

??? ?

??? ?





12.半径为 R 的球的内接正三棱柱的侧面积(各侧面面积之和)的最大值为 A. 3 3R
2

B. 3R

2

C. 2 2R

2

D. 2R

2

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 ) 13.阅读下面的程序框图,请你写出 y 关于 x 的函数解析 式 ; 14.若 (1 ? 则

1 n ) (n ? N * ) 的展开式中 x ?4 的系数为 an , 2 x


1 1 1 ? ?? ? ? a2 a3 an

15.已知 F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个 a 2 b2

焦点,M 为双曲线上的点,若 MF 1 ? MF 2,

?MF2 F1 ? 15? ,则双曲线的离心率为
1 3
x



16.已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x ,正实数 a 、 b 、 c 成公差为正数的等差数列,且满足

f (a) f (b) f (c) ? 0 ,若实数 是方程 f ( x) ? 0 的一个解,那么下列四个判断:
① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c ,其中有可能成立的判断的序号是 (请把你认为正确的都填上) . 三、解答题: (本大题共 6 小题,第 17—21 小题各 12 分,第 22(23、24)小题 10 分,满 分共 70 分.解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤) 17.已知向量 m ? ?cos2x, sin 2x? , n ? ?1, 3 , f ( x) ? m ? n . (1)当 f ( x) ? 0 时,求角 x 的取值集合; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间,并求出使得 f ( x ) 取得最大值的对应向量 m . 18.如图,三棱柱 ABC - A 1A 1 是菱形且垂直 1B 1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧面 ABB 于底面,∠ A1 AB =60°, M 是 A1B1 的中点. (1)求证: BM ? AC ; (2)求二面角 B ? B1C1 ? A1 的正切值。

?

?

?? ?

??

19.某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题, 按照题目要求独立完成全部实验操作。规定:至少正确完成其中 2 题的便可通过。已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成,2 题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都 为 2 ,且每题正确完成与否互不影响。
3

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力。 20.设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点。
3 2 2

(1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值。 (3) 若 x1 ? x ? x2 , 且 x2 ? a ,g ( x) ? f ' ( x) ? a( x ? x1 ) , 求证:| g ( x) |?

a(3a ? 2) 2 。 12

21.已知 F 1 ( c,0)和F2 (c, 0) 分别是椭圆

x 2 y2 + =1(a>b>0) 的左、右焦点,B 是其上顶点, a 2 b2

点 N 的坐标是 (

???? ??? ? ??? ? ???? a2 BN =2 5 . ,0) ,满足 3BF2 =BF 1 +2BN , c ???? ? ???? ?

(1)求此椭圆的方程; (2)若 M 是坐标平面内一动点,G 是三角形 MF1F2 的重心,且 GF2 ? OM=0 ,其中 O 是坐标原点,求动点 M 的轨迹 C 的方程; (3)点 P 是此椭圆上一点,但非短轴端点,并且过 P 可作(2)中所求得轨迹 C 的两条 不同的切线,Q、R 是两个切点,求 PQ ? PR 的最小值.

??? ? ??? ?

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,按所做的第一题记分。 22. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,AD 是△ABC 的内角平分线,延长 AD 交△ABC 的外接圆 O 于点 E,过 C、D、 E 三点的圆 O1 交 AC 的延长线于点 F,连结 EF、DF. (1)求证:△AEF∽△FED; (2)若 AD=6,DE=3,求 EF 的长.

23. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 的参数方程 ?

? x ? t, (t为参数) 和 圆 C 的 极 坐 标 方 程 ? y ? 1 ? 2t ,

? ? ? 2 2 sin(? ? ) .
4
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 24. (选修 4—5:不等式选讲) 已知 a、b、x、y 均为正实数,且

x 1 1 y > ,x>y.求证: > a b x?a y?b

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分共计 60 分) CDBBC C BB C C DA 二、填空题(每小题 5 分,满分共计 20 分)

?1, (当x ? 0时) ? 13. y ? ?0, (当x ? 0时) ??1,(当x ? 0时) ?

14.

2(n ? 1) n

15.

2

16.①②③

三、解答题(第 17—21 小题各 12 分,第 22(23、24)小题 10 分,满分共计 70 分) 17.解: (1) f ( x) ? m ? n ? ? cos 2x ? 3 sin 2x

?? ?

???????????1 分

∵ f(x)=0 ,∴ ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 0 ,即 tan 2 x ? 从而 2 x ? k? ?

sin 2 x 3 , ??3 分 ? cos 2 x 3

k? ? ? (k ? Z ) 6 2 12 k? ? ? (k ? Z )} ???????????5 分 因此角 x 的取值集合为 {x | x ? 2 12 (k ? Z ) , x ?
(2) f ( x) ? ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2(? ????????????????8 分 令 2 k? ?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x) ? 2sin(2 x ? ) 2 2 6

,k ?Z ; 2 6 3 ? ? 3? ? 5? , k ? Z , 得k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 6 2 3 6 2 6
从而函数 f ( x ) 的单调增区间是 [ k? ? 单调减区间是 [k? ? 由以上可知当 2 x ? 与之相对应的向量

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

, k ? Z , 得k? ?

?

? x ? k? ?

?

?

?
3

,k? ?

?

5? ](k ? Z) 。 6

,k? ? ](k ? Z) , 6 3
??????????10 分

?

6

? 2 k? ?

?

2

, 即2x ? 2k? ?

2? , k ? Z时,f ( x)取得最大值2 , 3

?? 2? 2? 1 3 m? (cos2x,sin2x)=(cos(2k? ? ),sin(2k? ? ))=(- , ) 。 ? ? ? ? 12 3 3 2 2
分 (注意:因为把向量 m 和 n ? (?1, 3) 的起点放在原点, m 的终点在单位圆上运动, 所以向量 m 和向量 n ? (?1, 3) 同向时,数量积 f ( x) ? m ? n 取得最大值, 这样也可求出对于的向量 m )

??

?

??

??

?

?? ?

??

18.解: (1)证明:因为 ABB1A1 是菱形,∠ A1AB =60°,所以△ A1B1B 是正三角形. 又 M 是 A1B1 的中点,所以 BM ? A1B1 ,进而有 BM ? AB . 因为平面 ABB 1A 1 ? 平面 ABC , AB 是交线,所以 BM ? 平面ABC . 又因为 AC ? 平面ABC ,所以 BM ? AC .????????????6 分 (2)方法 1:过 M 作 ME ? B1C1 于点 E ,连结 BE ,则 因为 BM ? 平面ABC ,即 BM ? 平面A1 B1C1 ,? BM ? B1C1 所以 B1C1 ? 平面BME , ?BEM 是二面角 B ? B1C1 ? A1 的平面角??9 分 △ A1 B1C1 中, ME ? MB1 ? sin ?EB1 M =

1 3 a× sin 60° ? a 2 4 1 3 a ×tan 60° ? a 2 2

Rt△ BMB 1 中, MB ? MB 1 ? tan ?BB 1M = 所以 tan ?BEM ?

MB ?2 ME

即二面角 B ? B1C1 ? A1 的正切值是 2.??12 分 方法 2:如图所示,以点 B 为坐标原点, BA 和 BM 所在直线为 x 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 则根据条件可得

1 3 1 3 B(0,0,0), C ( a, a,0), B1 (- a,0, a) 2 2 2 2
从而 BB1 = (-

????

? 1 3 ??? 1 3 a, 0, a), BC = ( a, a, 0) ?????????4 分 2 2 2 2

设 n = ( x, y, z) 是平面 BB1C1C 的法向量,则

?

? 1 3 ? ax ? az ? 0 ? ? ? n ? BB ? 0 ?? x ? 3 z ? 0 ? ? 2 1 2 ?? 即 ? ? ? ? ?x ? 3 y ? 0 ?n ? BC ? 0 ? 1 ax ? 3 ay ? 0 ? 2 ?2 ? 令 x = 3 ,则 y = - 1, z = 1 ,从而 n = ( 3, - 1,1)

???????8 分

由 z 轴垂直于平面 A1B1C1 ,得 m = (0,0,1) 是平面 A1B1C1 的法向量 ????9 分

??

设二面角

的平面角为 q ,根据条件可知 q 为锐角,所以

cosq ? cos m, n ?

5 , tanq ? 2 5
????????????12 分

因此二面角 B ? B1C1 ? A1 的正切值是 2.

19.解: (1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 ? 、 ? , 则 ? 取值分别为 1,2,3; ? 取值分别为 0,1,2,3。 ?????????2 分

P(? ? 1) ?

1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 , , ? P ( ? ? 2 ) ? ? P ( ? ? 3 ) ? ? 。 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
?

1
1 5

2
3 5

3
1 5

p

??????????????????????4 分

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 。 5 5 5
分 ∵ P (? ? 0) ?

???????????????????5

1 0 2 2 2 2 1 0 [C3 (1 ? ) 3 ? C3 (1 ? ) 3 ? ? ? C30 (1 ? ) 3 ] = C30 (1 ? ) 3 ? , 3 3 27 C6 ???? 3 ????? 3 ??????? 3?
3 共C6 个

同理: P (? ? 1) ?

6 12 18 , P ( ? ? 2) ? , P (? ? 3) ? 。 27 27 27
3
18 27

方法一:∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:

? p

0
1 27

1
6 27

2
12 27

??????????????7 分

E? ? 0 ?

1 6 12 18 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2。 27 27 27 27
1 2 3

?????????????8 分

方法二:考生乙正确完成题数的概率分布列为:

? p

0

2 C30 (1 ? ) 3 3

2 2 1 C3 (1 ? ) 2 ? 3 3

2 2 C 32 (1 ? ) ? ( ) 2 3 3

3 2 3 C3 ( ) 3

????7 分

∴考生乙做对题数 ? 服从二项分布,因此, E? ? np ? 3 ? (2)∵ D? ? (2 ? 1) ?
2

2 ? 2。 3

????8 分

1 3 1 2 ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? , 5 5 5 5

1 6 12 8 2 ? (2 ? 1) 2 ? ? (2 ? 2) 2 ? ? (2 ? 3) 2 ? ? 。 27 27 27 27 3 2 1 2 (或 D? ? npq ? 3 ? ? ? ) 。∴ D? ? D? 。 3 3 3 3 1 12 8 ? ? 0.74 ,∴ P(? ? 2) ? P(? ? 2) 。 ∵ P (? ? 2) ? ? ? 0.8 , P (? ? 2) ? 5 5 27 27 D? ? (2 ? 0) 2 ?
从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定; 从至少完成 2 题的概率考察,甲获得通过的可能性大。 因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ???????????12 分 (注意:只回答数学期望与方差以及结论,也给 4 分) 20.解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0)

????????????1 分

∵ x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f ( x) 的两个极值点, ∴ f ' (?1) ? 0 , f ' (2) ? 0 。??????????????????????2 分 ∴ 3a ? 2b ? a 2 ? 0 , 12a ? 4b ? a 2 ? 0 ,解得 a ? 6, b ? ?9 。 ∴ f ( x) ? 6 x3 ? 9 x 2 ? 36x 。??????????????????????3 分 (2)∵ x1 , x2 是函数 f ( x) 的两个极值点,∴ f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 0 。 ∴ x1 , x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根。
2 2
2 3 x1 ? x2 ? ? ∵ ? ? 4b ? 12a , ∴ ? ? 0 对一切 a ? 0, b ? R 恒成立。

2b a x1 ? x2 ? ? , , 3a 3

∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0 。 ∴ | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4(? ) ? ? a 。????????5 分 3a 3 9a 2 3

由 | x1 | ? | x2 |? 2 2 得
2

4b 2 4 ? a ? 2 2 ,∴ b2 ? 3a 2 (6 ? a) 。 2 3 9a

2 ∵ b ? 0 ,∴ 3a (6 ? a) ? 0 ,∴ 0 ? a ? 6 。 ??????????????6 分

令 h(a) ? 3a (6 ? a) ,则 h' (a) ? ?9a ? 36a 。
2 2

当 0 ? a ? 4 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(0,4)内是增函数; 当 4 ? a ? 6 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(4,6)内是减函数。 ∴当 a ? 4 时, h(a) 有极大值为 96,∴ h(a) 在 (0,6] 上的最大值是 96,

∴ b 的最大值是 4 6 。

????????????????????????8 分

(3)证法一:∵ x1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根, ∴ f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) , ????????????????????9 分

1 ∴ | g ( x) |? 3a | x ? x1 | ? | x ? x2 ? | ? 3a( 3

1 | x ? x1 | ? | x ? x2 ? | 3 ) 2 ??????10 分 2

∵ x1 ? x ? x2 ,∴ x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 ,

3a 1 3a 1 [( x ? x1 ) ? ( x ? x2 ? )] 2 ? ( x2 ? x1 ? ) 2 。?????????11 分 4 3 4 3 a 1 ∵ x1 ? x2 ? ? , x2 ? a ,∴ x1 ? ? 。 3 3 3a 1 1 1 (a ? ? ) 2 ? a(3a ? 2) 2 。 ??????????????12 分 ∴ | g ( x) |? 4 3 3 12
∴ | g ( x) |? 证法二:∵ x1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根, ∴ f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) , ????????????????????9 分

a 1 , x2 ? a ,∴ x1 ? ? 。 3 3 1 1 1 ∴ | g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) |?| a( x ? )[ 3( x ? a ) ? 1] | ?????10 分 3 3 3
∵ x1 ? x2 ? ? ∵ x1 ? x ? x2 , ∴ | g ( x) |? a( x ? )( ?3x ? 3a ? 1)

1 3

??????????????????11 分

1 3a ? 1 a 2 3a 3 1 ? ?3a ( x ? )( x ? ) ? ?3a( x ? ) ? ? a2 ? a 3 3 2 4 3

?

3a 3 1 a(3a ? 2) 2 ? a2 ? a ? 。????????????????????12 分 4 3 12

21.解: (1)因为 3BF2 =BF BF =2(BN -BF2 ) ,即 F2F 1 +2BN , 所以 BF 2- 1 1 =2NF 2 . 所以 (2c,0)=2(

???? ??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ?

????

??? ? ?

???? ?

a2 2b 2 2b 2 -c,0)=( ,0) , 2c= ? b=c , a= b 2 +c 2 = 2c . c c c

从而 N (2c,0) , B (0,c) .所以 BN = (2c) +(c) =2 5 , c=2 , a= 2c=2 2 , b=c=2 .

??? ?

2

2

因此椭圆的方程为

x 2 y2 + =1 ; ?????????????????3 分 8 4

(注意:此问也可以直接利用 a,b,c 表示出来 B,F1,F2,N 四个点的坐标, 再代入题设所给的向量关系式中,进而求出 a,b 得方程). (2)设 M(x,y) ,则由(1)得 F1(-2,0),F2(2,0) ,所以 G(

OM=(x,y) . 从而 GF2 =(2- ,- ) ,

???? ?

???? ? ???? ? x y x y ∵ GF2 ? OM=0 ,∴ (2- ,- ) ? (x,y)=(2- )x+(- )y=0 , 即 x 2 +y2-6x=0 3 3 3 3
由于 G 是三角形 MF1F2 的重心,即 M,F1,F2 应当是一个三角形的三个顶点, 因此所求的轨迹 C 方程为 x 2 +y2-6x=0 ( y ? 0 ); ???????????6 分

x 3

y 3

???? ?

x y , ) , 3 3

(3)由(2)知轨迹 C 的方程为 x 2 +y2-6x=0 ( y ? 0 ),即 (x-3)2+y2 =9 ( y ? 0 ). 显然轨迹 C 是以点 C(3,0)为圆心, 半径 r=3 的圆除去两点(0,0)和(6,0)剩余部分的部分曲线. 设 P(m,n) ,则根据平面几何知识得 PQ = PR = 进

??? ?

??? ?

??? ?2 PC -r 2= (m-3) 2+n 2-9

2

? r ? ??? ? ??? ? 18 2 cos PQ,PR =cos2?QPC=1-2sin ?QPC =1-2 ? ? ??? ? ? =1- 2 ? PC ? (m-3) +n 2 ? ?
?????????????????????8 分 根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? 18 PQ ? PR= PQ ? PR cos PQ , PR =[(m-3) 2+n 2-9] [ ? 1- ] 2 (m-3) +n 2 162 =[(m-3)2+n 2 ]+ -27 (m-3)2 +n 2 ≥2 162-27=18 2-27.
当且仅当 (m-3)2+n 2 =9 2 时,取“=”. (※)??????????10 分

x 2 y2 + =1 上(非短轴端点), 并且在圆 (x-3)2+y2 =9 外, 8 4 ??? ? ??? ? ??? ? 所以 3< PC ≤3+2 2 但 PC ? BC = 13 即 9<(m-3)2+n 2 <13或13<m≤ 17+12 2 .
由条件知点 P (m, n) 在椭圆 由于 9 2 ? (9 , 13) ,所以条件(※)的要求满足. 因此 PQ ? PR 的最小值为 18 2-27 .??????????????????12 分 22. (几何证明选讲选做题) 解: (1)证明:连结 CE,在圆 O1 中,∠EFD=∠DCE,在圆 O 中,∠BAE=∠DCE, 所以∠EFD=∠BAE。 ?????????3 分

??? ? ??? ?

又 AE 是∠BAC 的平分线,所以∠BAE=∠CAE,从而∠EFD=∠CAE。 又因为∠AEF=∠FED,所以△AEF∽△FED; ?????????6 分 (2)因为△AEF∽△FED,所以

DE EF ? EF AE
???????10 分

所以 EF2 ? AE ? DE=(AD+DE) ? DE=27 ,所以 EF ? 3 3 23. (坐标系与参数方程选做题)

解:(1)消去参数 t,直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ,即 2 x ? y ?1 ? 0 圆 C 的极坐标方程 ? ? 2 2 sin(? ? 即 ? ? 2(sin ? ? cos ? ) 两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 所以圆 C 的直角坐标方程为

???2 分

?
4

),

x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ,即 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ;?????????6 分
(2)圆心 C(1,1)到直线 l: 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离

d?

2 ?1?1 2 ? (?1)
2 2

?

2 5 ? 2 5
??????????10 分

所以直线 l 和圆 C 相交。 24. (不等式选讲选做题) 证明:证法一: (作差比较法) y bx ? ay x ∵ - = , y ? b (x ? a)( y ? b) x?a 又

???????????2 分

1 1 > 且 a、b∈R+,∴b>a>0.又 x>y>0,∴bx>ay. ???????6 分 a b y bx ? ay x ∴ >0,即 > . ??????????10 分 y?b (x ? a)( y ? b) x?a
证法二: (分析法) ∵x、y、a、b∈R+,∴要证 即证 xb>yA.
y x > ,只需证明 x(y+b)>y(x+a) , y?b x?a

???????????5 分 ???????????7 分

1 1 > >0,∴b>a>0. a b 又 x>y>0,知 xb>ya 显然成立. 故原不等式成立.
而由


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