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高一数学教案:课题§4.3.1任意角的三角函数(一).doc




题§4.3.1 任意角的三角函数(一)

(一) 1.任意角三角函数的定义. 2.三角函数的定义域. (二) 1.理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. (三) 使学生通过任意角三角函数的定义,认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例, 加深特殊与一般关系的理解. 1.任意角三角函数的定义. 2.正弦、余弦、正切函数的定义域. 正弦、余弦、正切函数的定义域.

1.通过三角函数定义的变化: 从锐角三角函数到任意角三角函数, 由边的比变为坐标与 距离、坐标与坐标、距离与坐标的比,使学生在理解掌握定义的基础上,加深特殊与一般关 系的理解. 2.通过对定义的剖析,使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识,达 到突破难点之目的. 幻灯片 2 第一张:课本 P13 图 4—10(记作 4.3.1 A) 第二张:本课时教案后面的预习提纲(记作 4.3.1 B) Ⅰ. 在初中我们学习了锐角三角函数, 它是以锐角为自变量, 边的比值为函数值的三角函数, 前面我们对角的概念进行了扩充,并学习了弧度制,知道角的集合与实数集是一一对应的, 在这个基础上,今天我们来研究任意角的三角函数(板书课题). Ⅱ. 对于锐角三角函数,我们是在直角三角形中定义的,今天,对于任意角的三角函数,我 们利用平面直角坐标系来进行研究. 设α 是一个顶点在原点,始边在 x 轴非负半轴上的任意角(这点应该给学生强调清楚, 课本上未做强调是不妥的),α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y) (非顶点).它与原点 的距离是 r (r ?

( x) 2 ? ( y ) 2 ?

x 2 ? y 2 ? 0) (打出幻灯片 4.3.1 A)

注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合. (2)OP 是角α 的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能 说明角α 是任意的.

(3)角α 的终边只要不落在坐标轴上,就只能是如图所示四种位置中的一种. (4)角α 的终边不是不能落在坐标轴上,而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形,我 们将在研究问题的过程中对其进行讨论.

y y 叫做α 的正弦,记作 sinα ,即 sin ? ? . r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cosα ,即 cos ? ? . r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tanα ,即 tan ? ? . x x
那么,(1)比值 (4)比值

x x 叫做α 的余切,记作 cotα ,即 cot? ? . y y
r r 叫做α 的正割,记作 secα ,即 sec ? ? . x x

(5)比值

(6)比值

r r 叫做α 的余割,记作 cscα ,即 csc ? ? . y y

根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上确定的角α ,上述六个比值都不会随 P 点在α 的终边上的位置的改变而改变.当角α 的终边在纵轴上时, 即 ? ? k? ?

?

2

(k ? Z) 时,

终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0, 所以 tanα 、 secα 无意义; 当角α 的终边在横轴上时, 即α =kπ (k∈Z)时,终边上任意一点 P 的纵坐标y都为 0,所以 cotα 、cscα 无意义, 除此之外, 对于确定的角α ,上面的六个比值都是惟一确定的实数,这就是说,正弦、余弦、 正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. 以上六种函数,统称为三角函数. 注意:(1)sinα 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这 样. (2)定义中只说怎样的比值叫做α 的什么函数, 并没有说α 的终边在什么位置(终边在坐 标轴上的除外),即函数的定义与α 的终边位置无关. (3)比值只与角的大小有关. 我们已经给出了任意角三角函数的定义, 请同学们考虑并比较一下, 我们给出的任意角 的三角函数的定义与锐角三角函数的定义,有什么联系与区别? 生甲: 任意角的三角函数就包含锐角三角函数, 实质上锐角三角函数的定义与任意角的 三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 生乙:所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与 距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. (学生不可能一下子回答得准确、完整,必要时,教师应给予一定的引导、启示). 两位同学回答得很好, 即正弦函数值是纵坐标比距离, 余弦函数值是横坐标比距离, (其 余的由学生说出)?? 正切函数值是纵坐标比横坐标, 余切函数值是横坐标比纵坐标, 正割函数值是距离比横 坐标,余割函数值是距离比纵坐标. 为了便于记忆, 我们可以利用两种三角函数定义的一致性, 将直角三角形置于平面直角 坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用我们 熟悉的锐角三角函数类比记忆.

由于角的集合与实数集 R 之间是一一对应的, 所以三角函数可以看成是以实数为自变量 的函数.我们知道,函数有三个要素,即定义域、值域、对应法则,下面我们就来研究正弦、 余弦、正切函数的定义域,值域问题待后再作研究. 对于正弦函数 sin ? ?

y y y ,因为r>0,所以 恒有意义,即α 取任意实数, 恒有意 r r r

义,也就是说 sinα 恒有意义,所以正弦函数的定义域是 R;类似地可写出余弦函数的定义

y y ,因为 x=0 时, 无意义,即 tanα 无意义,又当且仅当角 x x y α 的终边落在纵轴上时,才有 x=0,所以当α 的终边不在纵轴上时, 恒有意义,即 tan x
域;对于正切函数 tan ? ? α 恒有意义,所以正切函数的定义域是 ? ? k? ? (由学生填写下表) 三角函数 sin ? cos ? tan ? 定义域 R R { ? | ? ? k? ?

?

2

(k ? Z) .

?
2

,k ?Z }

Ⅲ. [例 1]已知角α 的终边经过点 P(2,-3)(如图),求α 的六个 三角函数值. 解:∵x=2,y=-3 ∴r ?

2 2 ? ( ?3) 2 ? 13

于是 sin ? ?

y ?3 3 13 ? ?? r 13 13

cos? ?

x 2 2 13 ? ? r 13 13
y 3 ?? x 2

tan ? ?

cot? ?

x 2 ?? y 3

sec? ?

r 13 ? x 2

csc? ?

r 13 ?? y 3
3? 2

[例 2]求下列各角的六个三角函数值. (1)0 (2)π (3)

解:(1)因为当α =0 时,x=r,y=0,所以 sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0 sec0=1 csc0 (2)因为当α =π 时,x=-r,y=0

sinπ =0 cosπ =-1 tanπ =0 cotπ secπ =-1 cscπ (3)因为当 ? ?

sin

3? 2 3? tan 2 3? sec 2

3? 时,x=0,y=-r 2 3? ? ?1 cos ?0 2 3? cot ?0 不存在 2 3? csc ? ?1 不存在 2

Ⅳ. 课本 P19 1、2、3. Ⅴ. 本节课我们给出了任意角三角函数的定义, 并且讨论了正弦、 余弦、 正切函数的定义域, 任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展, 是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距 离、坐标与坐标、距离与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的 定义域可由三角函数的定义分析得到. Ⅵ.课后作业 一、课本 P20 习题 4.3 3、4、5. (作业说明,解答 4、5 题时,解答过程中将三角函数值直接写入计算过程即可). 二、1.预习 P17~P19 2.预习提纲(打出幻灯片 4.3.1 B) (1)各种三角函数值在各象限的符号怎样易记?请寻求方法. (2)公式一的作用是什么?怎样记忆公式? (3)若证明 A 是 B 的充要条件,那么 从 A ? B 是证明了命题的 从 B ? A 是证明了命题的 性. 若证明 A 的充要条件是 B 从 A ? B 是证明了命题的 从 B ? A 是证明了命题的 性. §4.3.1 任意角的三角函数 定义?? 正弦、余弦、正切函数的定义域

? ? ?
注意①? ②? ③? 例1 例2 练习 小结

1.若点 P(-3,y)是角α 终边上一点,且 sin ? ? ? 答案: ?

2 ,则y的值是 3

.

6 5 5
x ,求 sinθ 和 tan 3

2.已知角θ 的终边上一点 P 的坐标是(x,–2)(x≠0),且 cos ? ? θ 的值. 分析: r ?

x 2 ? 4 ,又 cos ? ?
2

x x ? ,即rx=3x 3 r
x2=5,x=± 5 .

由于 x≠0,∴r=3

∴x +4=9

当 x= 5 时,P 点的坐标是( 5 ,-2).

sin ? ?

y ?2 2 y ?2 2 5 ? ? ? , tan? ? ? ?? r 3 3 x 5 5

当 x=- 5 时,P 点的坐标是(- 5 ,-2)

sin ? ?

y ?2 2 y ?2 2 5 . ? ? ? , tan? ? ? ? r 3 3 x ? 5 5
2 2 5 , tan? ? ? 3 5

答案:当 x= 5 时, sin ? ? ?

当 x=– 5 时, sin ? ? ?

2 2 5 , tan? ? 3 5


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