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河南省西平县高级中学2016-2017学年高二上学期第四次月考(12月)理数试题Word版含答案.doc


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程为( 4
B. y ? 1

) C. x ? 1 )
2 2

1 16
2 2



D. y ?

1 16

2.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0
2 2 2 2 C.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? 0
2 2 D.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

3.不等式 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 成立的一个必要不充分条件是(
2

) D. x ? ?

A. x ? 0 或 x ? 2

B. x ? 0 或 x ? ?2 C. x ? ?1 或 x ? 4

1 或x ?3 2


4.设等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,若 ak 是 a1 与 a2 k ?1 的等比中项,则 k ? ( A.2 5.双曲线 B.3 C .6 D.8

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到一个焦点的距离为 11,则它到另一个焦点的距离为( 25 24
B.14 或 36 C .2 D.21



A.1 或 21

6.平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,若 AC ' ? xAB ? 2 yBC ? 3zCC ' ,则 x ? y ? z ? ( A. )

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

7 6

B. 1
2

C.

5 6

D.

2 3

7.已知 A , B , C , D 是抛物线 y ? 8x 上的点, F 是抛物线的焦点,且

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA ? FB ? FC ? FD ? 0 ,则 | FA | ? | FB | ? | FC | ? | FD | 的值为(
A.2 B.4 C .8



D.16 ) D. 1, 3

8.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1 , ?B ? 2?A , AC 的取值范围为( A. 1, 2

?

?

B. (0, 2]

C.

?

2, 3

?

?

?

C: 9.如图,已知 F 1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若存在过 F1 的直线分 a 2 b2

别交双曲线 C 的左、右支于 A , B 两点,使得 ?BAF2 ? ?BF2F1 ,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( A. (3, ??) ) B. (1, 2 ? 5) C. (3, 2 ? 5) D. (1,3)

10.若实数 x , y 满足 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则
2 2

y?4 的取值范围为( x?2 4 3



A. ?0, ? 3

? 4? ? ?

B. [ , ??)

4 3

C. (??, ? ]

D. [? , 0)

4 3

11.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐进线与椭 2 a b 2


圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

12.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A 、B 分别为 C 的 a 2 b2

左、右顶点, P 为 AC 上一点,且 PF ? x 轴,过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E ,若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( A. ) D.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

3 4

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.命题 “ ?x ? R ,ax ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立” 是真命题, 则实数 a 的取值范围是
2



14.等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? t ,则 t ? a3 的值为



15.不等式 2 x2 ? 2axy ? y 2 ? 0 对任意 x ??1, 2? 及任意 y ??1, 4? 恒成立,则实数 a 的取值范 围是 16.双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点为 F , B 为其左支上一点,线段 BF 与 a 2 b2

双曲线的一条渐进线相交于 A , 且 (OF ? OB) ? OA ? 0 , , 2OA ? OB ? OF( O 为坐标原点) 则双曲线的离心率为 .

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列 ?an ? 首项是 1,公差不为 0, Sn 为其前 n 项和,且 S22 ? S1 ? S4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an?1

18.在锐角 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 2a sin B ? 3b . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 4 , b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积.
2 2 19.命题 p :关于 x 的不等式 x ? (a ?1) x ? a ? 0 的解集是空集;命题 q :已知二次函数

3 3 最大值是 2. 若命题 “p f ( x) ? x2 ? mx ? 2 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,且当 x ? ?0, a? 时, 2 2 且 q ”是假, “ p 或 q ”是真,求实数 a 的取值范围.
20.如图,圆柱的高为2,底面半径为 3, AE , DF 是圆柱的两条母线, B 、 C 是下底面 圆周上的两点,已知四边形 ABCD 是正方形. (1)求证: BC ? BE ; (2)求几何体 AEB ? DFC 的体积; (3)求平面 DFC 与平面 ABF 所成的锐二面角的余弦值.

x2 y 2 x2 y 2 21.已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐进线为 l1 、 l2 , a b a b
且 l1 与 x 轴所成的夹角为 30 ? ,且双曲线的焦距为 4 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l , l 与椭圆 C 相交于 A 、 B ,与圆 O : x2 ? y 2 ? a 2 相 交于 D 、 E 两点,当 ?OAB 的面积最大时,求弦 DE 的长. 22.已知 E (2, 2) 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2, 0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ,

B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA , EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N .
(1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)求证:以 MN 为直径的圆恰好经过原点.

高二数学第四次月考试题(理科)答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 0 ? a ? 3 三、解答题 17.解: (1)数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1. (2)数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? 14.17 15. a ? 1 B 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 D 8 B 9 C 10 B 11 D 12 A

2

16. 5

n . 2n ? 1

由已知得二次函数 f ( x) ? x ? mx ? 2 的对称轴为 x ?
2

3 ?m 3 ? ,∴ m ? 3 , ,即 ? 2 2 2

f ( x) ? x2 ? 3x ? 2 ,
当 x ? ?0, a? 时,最大值是 2,由对称性知 q : 0 ? a ? 3 .
1 ? a ? ?1 或a ? ,∴ a ? ?1或a ? 3 , 当 p 真 q 假时, ? 3 ? ? a ? 0 或 a ? 3 ?

1 ? ?1 ? a ? ,∴ 0 ? a ? 1 , 当 p 假 q 真时, ? 3 ? 3 ? ? 0?a?3
综上可得, a ? (??, ?1] ? (0, ) ? (3, ??) . 20.(略)

1 3

21.(略) 22.解 (1) 将 E ?2 ,2
2

? 代入 y 2 ? 2 px 得 p ? 1所以抛物线方程为 y2 ? 2x ,焦点坐标为 ( 2 ,0)
2

1

(2)设 A( y1 , y1 ) , B ( y2 , y2 ) , M ( xM , yM ), N ( xN , yN ) , 2 2 法一:因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率 设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2)

与抛物线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2) ? y ? 2x
2

,消去 x ,得: ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0

则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ?

2 k

2 直线 AE 的方程为: y ? 2 ? y1 ? 2 ? x ? 2 ? ,即 y ? ? x ? 2? ? 2 , 2 y1 ? 2 y1 ?2 2
令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y2 ? 4 2 y1 ? 4 ,同理可得: y N ? , y2 ? 2 y1 ? 2 ???? ?4 ), ym 2 y1 ? 4 2 y2 ? 4 ? y1 ? 2 y2 ? 2

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

所以 OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ?

???? ? ????

4 ? 4) 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] k ?0 ?4? ? 4? 4 [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] 4( ?4 ? ? 4) k 4( ?4 ?
所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值 . 法二:设直线 l 方程为 x ? my ? 2

π 2

与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2 ? y ? 2x
2

,消去 x ,得: y ? 2my ? 4 ? 0
2

则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2

令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2
ym

同理可得: y N ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

???? ? ??? ? ?4 , 又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2, )

???? ? ???? 4( y1 ? 2)( y2 ? 2) OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2)
? 4? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ? 4 ? 4( ?4 ? 2m ? 4) 4( ?4 ? 2m ? 4) [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4]

?0

所以 OM ? ON ,即 ? MON 为定值

π 2

…………12 分


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