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暑假数学课外辅导(必修4)第二章


第二章 平面向量(教师版)
一、基本内容串讲 本章主干知识:向量的基本概念和实际背景,平面向量的加、减、数乘以及数量积的运 算,特别是坐标运算;利用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些实际问题。 1.平面向量的实际背景及基本概念 从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,明确向量与数量的区别:大小和方 向是向量的两个要素,它带有方向,具有几何意义,向量不能比较大小;理解向量的基 本概念:向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等,要结合图 形区分平行向量、相等向量、共线向量等概念:平行向量即共线向量,两向量共线不一 定相等,而两向量相等则一定共线,另外,还要注意向量“共线”与线段“共线”的区 别:共线向量不考虑起点。 2.平面向量的线性运算 (1)掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;会用向量加法的三角形法则和平行四 边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力; 通过将向量运算与熟 悉的数的运算进行类比, 掌握向量加法运算的交换律和结合律, 并会用它们进行向量计 算,渗透类比的数学方法。 (2)了解相反向量的概念;掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何 意义; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算, 理解事物之间可以相互转 化的辩证思想。 (3)掌握实数与向量积的定义及几何意义;了解数乘运算的运算律,理解向量共线的 充要条件。 3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a=λ 1 e1 +λ 2 e2 . (2) 平面向量的坐标运算: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差;一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1);实数
与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. ? (3)向量共线的两种判定方法:a∥b( b ? 0 ) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。
1

4.平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义:已知两个非零向量 a 与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫 a 与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ) 。并 规定 0 与任何向量的数量积为 0。注意:两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符 号由 cos?的符号所决定. (2)向量的数量积的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos? 的乘积. (3)两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是单位向量; 1? 2?

e?a = a?e =|a|cos?; a?b ? a?b = 0;

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|; 当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别地 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4? cos? =
a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b|。 5.平面向量的应用 (1)能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题,如长度、角、距离,平行、垂直 等问题。 (2)用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题,建立数学模型解决实际问题。 二、考点阐述 考点 10 平面向量和向量相等的含义及向量的几何表示 21、如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确 的是 ( ) ??? ? ??? ? A. AB ? CD
D C B

??? ? ???? ??? ? B. AB ? AD ? BD

A

???? ??? ? ??? ? C. AD ? AB ? AC

???? ??? ? D. AD ? BC ? 0

考点 11 向量加、减法的运算及其几何意义 22、在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AB ? AD ,则必有 A.
???? ? AD ? 0
??? ? ???? ??? ? ????

(

)

B.

??? ? ? ???? ? AB ? 0或 AD ? 0

C. ABCD 是矩形
2

D. ABCD 是正方形

23、化简 PM ? PN ? MN 所得的结果是
???? A. MP

???? ? ???? ???? ?

( C.0
???? ? D. MN



??? ? B. NP

考点 12 向量数乘的运算 24、 知向量 e1、 e2 不共线, 实数(3x-4y)e1+(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则 x-y 的值等于 ( A.3 B.-3 C.0 D.2 )

考点 13 向量数乘运算的几何意义及两向量共线的含义 25、已知 e1 , e2 不共线, a ? ke1 ? e2 , b ? e1 ? ke2 ,当 k ? ______时, a, b 共线。 26、设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、 D 三点共线,求 k 的值. ??? ??? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 【解析】:? BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2
?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?
? ?

?

?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,? 设 AB ? ? BD

? ? ? ? ? ? ? ? 即 2e1 ? ke2 ? ?e1 ? 4?e2

?? ?? ? 由于 e1 与 e2 不共线,得:

2e1 ? ? e1

? ?

? ?

ke2 ? ?4? e2

? ?

? ?

故 ? ? 2, k ? ?8

【点评】:本题属于“知道”层次,解答的关键是理解共线的条件: ? a∥b( b ? 0 ) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

考点 14 向量的线性运算性质及其几何意义 27 ( 、 ) A. AB // CD C. ( AB ? AD) ? (BA ? BC) ? 0 考点 15 平面向量的基本定理及其意义 28、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C(x, y)满足
???? ??? ? ??? ? OC =α OA +β OB , 其中 α







ABCD



,





















B. ( AB ? BC) ? (BC ? CD) D. AB ? AD ? BC ? CD

,β ∈R 且 α +β =1, 则 x, y 所满足的关系式为 B.(x-1)2+(y-2)2=5 C.2x-y=0

( D.x+2y-5=0



A.3x+2y-11=0

考点 16 平面向量的正交分解及其坐标表示 29、梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B(3,4) , D(2,1) 且 AB // DC , AB ? 2CD ,则点
C 的坐标为___________。
3

考点 17 用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算 ??? ? ??? ? 30、已知 AB ? (3,0) ,那么 AB 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D.5

考点 18 用坐标表示平面向量共线的条件 31、已知向量 a ? (4, ? 2) ,向量 b ? ( x,5) ,且 a // b ,那么 x 等于( A. 10 B. 5 C. ?
5 2



D. ?10

考点 19 平面向量数量积的含义及其物理意义

??? ? ??? ? 32、已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( ? 1, 0) , B (1, 2) , C (0, c) ,若 AB ? BC ,那
么 c 的值是 A. ?1 B. 1 C. ?3 D. 3

考点 20 平面向量的数量积与向量投影的关系 ? ? ? ? ? 33 、已知 a ? 8 , e 是单位向量,当它们之间的夹角为 时, a 在 e 方向上的投影 3 为 。 考点 21 平面向量数量积的坐标表达式及其运算 34、已知向量 a ? (3, 2) , b ? (0, ?1) ,那么向量 3b ? a 的坐标是_____________. 35、设 a ? ( x,3) , b ? (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 __ 考点 22 运用数量积表示两个向量的夹角,并判断两个平面向量的垂直关系 36、若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( A、 30? B、 60? C、 120? ) D、 150? ____。

【解析】:∵ a ? 1, b ? 2, c ? a ? b , c ? a ∴ a ? c ? a ? (a ? b) ? a 2 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0,?a ? b ? ?1 , ∴cos? =
a ?b ?1 1 ? ?? , | a || b | 1? 2 2

故?= 120? ,选 C。
1 . 2

37、已知非零向量 a 、 b 满足 a ? 1 ,且 (a ? b) ? (a + b) ? (1)求 b ; (2)当 a ? b =
1 时,求向量 a 与 b 的夹角 ? 的值. 2
4

解: (1)因为 (a ? b) ? (a + b) ? 所以 b ? a ? (2)因为 cos ? ?
2 2

1 1 ,即 a 2 ? b 2 ? , 2 2

1 1 1 2 ? 1 ? ? ,故 b ? . 2 2 2 2

????????????5 分

2 a?b = , 2 a b

故 ? ? 45? . 考点 23 平面向量的应用

???????????????????10 分

37、设向量 a ? (m, n) ,b ? ( s, t ) ,定义两个向量 a,b 之间的运算“ ? ”为
a ? b ? (ms, nt ) . 若向量 p ? (1, 2) , p ? q ? (?3, ?4) ,则向量 q 等于

A. (?3, ?2)

B. (3, ?2)

C. (?2, ?3)

D. (?3, 2)

38、已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点. ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。 解析: ( 1 )设 M ( x, y) ,则 OM ? ( x, y) ,由题意可知 OM // OP
x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,所以 M (2 y, y) ,

又 OP ? (2,1) 。所以

则 MA ? MB ? (1 ? 2 y,7 ? y) ? (5 ? 2 y,1 ? y) ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 2 ,当 y ? 2 时,

MA ? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM ? (4,2) 。
(2)因为 cos ?AMB ?
MA ? MB | MA || MB | ? (?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2 ?? 4 17 。 17

39、已知点 P( cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2x ? 1) ( x ? R) ,且函数 f ( x) ? OP? OQ ( O 为 坐标原点) , (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II) 求函数 f ( x) 的最小正周期及最值. 解(1)依题意, P( cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2x ? 1) , ???????(1?)
5

?

?

所以, f ( x) ? OP ? OQ ? cos2x ? 3 sin 2x ? 2 .

?? ? (2) f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2 . 6? ?

???????( ? 5 )

因 为 x ? R , 所 以 f ( x) 的 最 小 值 为 0 , f ( x) 的 最 大 值 为 4 , f ( x) 的 最 小 正 周 期 为
T ? ? . ??????????????????????????????(8?)

三、解题方法分析 1.正确理解平面向量的有关概念 【方法点拨】平面向量的概念比较多,主要有向量的模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量等,要从数和形两个方面加以理解,这样才不会弄错。 例 1 给出下列命题:? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②两个单位向量是相等向量;? ③若 a=b, b=c,则 a=c; ④若一个向量的模为 0,则该向量的方向不确定;? ⑤若|a|=|b|,则 a=b。 ⑥若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 其中正确命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【解析】①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个 向量 AB 、 AC 在同一直线上。 ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定。 ③正确.因为 a=b,所以 a、b 的长度相等且方向相同;同理 b、c 的长度相等且方向相 同,故 a、c 的长度相等且方向相同,即 a=c。 ④正确. 因为零向量的方向是任意的。 ⑤不正确.向量相等还必须方向相同。 ⑥不正确. 若 a、c 为两非零向量且不共线时,b=0 符合条件。综上所述,答案为 B。 【点评】:本题属于“知道”层次,考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、 共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。 2.掌握平面向量的有关运算,提高运算能力 【方法点拨】向量加、减、数乘的结果仍是向量,而向量的数量积则是一个数量,通过
6

向量的数量积可以计算向量的长度、 两点间的距离, 通过向量的夹角可以判断两个向量 是否垂直,解题时要注意数量积不具有结合律。 例 1、如图所示,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 AF ? DB =( A. FD C. FE B. FC D. BE
A F C

)

E B

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 【解析】:∵ DB ? AD 则AF ? DB ? AF ? AD ? DF ,由三角形中位线定理 DF ? BE ,
故选 D 【点评】:本题属于“理解”层次,考查考生的基本运算能力,主要是对向量减法的理 解和运用,解题时利用了向量相等,创共同起点进行转化。 例 2、若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( A、 30? B、 60?
c?a

D

) D、 150?

C、 120?

【解析】:∵ a ? 1, b ? 2, c ? a ? b ,

∴ a ? c ? a ? (a ? b) ? a 2 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0,?a ? b ? ?1 , ∴cos? =
a ?b ?1 1 ? ?? , | a || b | 1? 2 2

故?= 120? ,选 C。

【点评】:本题属于“理解”层次,重点考查向量的数量积运算。要会利用向量的数量 积求长度、距离和夹角;利用垂直的条件解题:a?b ? a?b = 0? x1x2+y1y2=0 例 3、设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、 B、D 三点共线,求 k 的值.

??? ??? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 【解析】:? BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2

?

?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,? 设 AB ? ? BD 即 2e1 ? ke2 ? ?e1 ? 4?e2 ? ? ? ? ?? ?? ? 2e1 ? ? e1 由于 e1 与 e2 不共线,得: 故 ? ? 2, k ? ?8 ? ? ? ? ke2 ? ?4? e2
【点评】:本题属于“知道”层次,解答的关键是理解共线的条件: ? a∥b( b ? 0 ) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 3、掌握平面向量的坐标运算,强化数形结合 【方法点拨】向量本身具有数与形的双重功能,另外,任何一个向量直线型图形都可表
7

示为一些向量的线性组合,因此在解题中应充分运用数形结合的思想方法。一方面,要 重视向量、模本身的几何意义;另一方面还要充分利用向量运算法则的几何意义。引入 向量的坐标后,要尽可能利用坐标运算,使解题简捷、明了。 例 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证: EF ? 【解析】:证法一:利用加、减法的几何意义。 连 结
EF ? 1 ( AB ? DC ). 2

EB 、 EC , 以

EB 、 EC

为 邻 边 作 平 行 四 边 形

ECGB , 则

? 1 1 1 EG ? ( EC ? EB ) = ( EA ? AB ? ED ? DC ). 2 2 2

由于 E 为 AD 的中点,∴ EA ? ED ? 0 ,故结论成立。 证法二:创共同起点,建立向量间关系。 在平面内任取一点 O,∵E、F 分别为 AD、BC 的中点,∴
1 1 (OA ? OD ), OF ? (OB ? OC ). 2 2 ? 1 1 ∴ EF ? OF ? OE [( OB ? OA ) ? (OC ? OD )] = ( AB ? DC ). 2 2 OE ?

?

证法三:利用坐标运算。 建立直角坐标系,设 A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3 , y3 ),D(x4 , y4). ??? AB ? ( x 2 ? x1, y ? y ) , DC ? ( x3 ? x4 , y ? y ) ,∴
2 1



3

4

? ? ? 1 ( AB ? DC ) = ( x 2 x 3 x1 x 4 , 2 2

y ?y ?y ?y
2 3 1

4

2 ,

)

又∵ E ( x1

? x4 2

,

y ?y
1

4

2

) , F ( x2

? x3 2
3

y ?y
2

4

2
1 4

),

∴ EF ? ( x 2

? x 3 ? x1 ? x 4 2

,

y ?y ?y ?y
2

2

) ,故 EF ?

1 ( AB ? DC ). 2

【点评】:(1)本题属于“理解”层次,考查考生的分析转化能力; (2)解题的关键是转化,不管是利用向量的线性运算还是坐标运算,都需要利用数形 结合达到化归的目的。 4 重视平面向量的应用,关注学科内综合 (1)平面向量知识在平面几何中的应用 【方法点拨】(1)用向量方法解决平面几何问题的基本思路:几何问题向量化 ? 向 量运算关系化 ? 向量关系几何化.
8

(2)用向量方法研究几何问题,需要用向量的观点看问题,将几何问题化归为向量问 题来解决.它既是一种数学思想, 也是一种数学能力.其中合理设置向量, 并建立向量关 系,是解决问题的关键. 例试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 【解析】:证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,
??? ? 2 ??? ?2 ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2 ??? ? 2 ??? ?2 ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
∴平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. 【点评】:本题属于“理解”中基本应用层次,考查考生对所学过的内容能进行基本 应用;如何在问题中建立向量关系,充分利用向量知识是解决问题的关键 (2)平面向量与物理知识的综合应用 【方法点拨】 用向量知识解决物理问题时, 要注意数形结合.一般先要作出向量示意图, 必要时可建立直角坐标系,再通过解三角形或坐标运算,求有关量的值. ?? ?? ?? ?? ?? 例设作用于同一点 O 的三个力、 F 1、 F 2、 F 3 处于平衡状态,如果| F 1|=1,| F 2|=2,

?? ?? ?? 2? .求①. F 3 的大小;②.∠F3OF2 的大小. F 1 与 F 2 的夹角为 3 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 【解析】 : ① F 1、F 2、F 3 三个力处于平衡状态, 故 F 1+ F 2+ F 3= O , 即 F 3= ( F 1+ F 2) .

?? ?? ?? ∴| F 3|=| F 1+ F 2|=

( F 1 ? F 2)2 ?

?

?

? F

2 1

? F 1 ? 2F 1 ? F 2

?

2

? ? ? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 cos 2? ? 3
3

?? ?? ②如图: 以 F 2 所在直线为 x 轴, 合力作用点为坐标原点, 建立直角坐标系.将向量 F 1、 ?? F 3 正交分解,设∠F3OM= ? ,由受力平衡知:
y

? ? 2? ? ? | F 3 | cos ? ? | F 1 | cos(? ? ) ?| F 2 | ? ? ? 3 解之得 ? ? , ? 6 ? ? 2? ? ? | | sin ? ?| F 1 | cos( ? ) F 3 ? 3 2 ?

于是∠F3OF2 ? ? ?

?
6

?

5? 6

F1 M N

P F2 Q

x

F3 【点评】:本题属于“理解”中综合应用层次,考查考生对所学过的知识在学科间的联 ?? ?? ?? ?? 系;本题的第(1)问的关键是对力的平衡向量转化: F 1+ F 2+ F 3= O ;第(2)问的关

键是通过数形结合对力的平衡进行量化, 解题时还用到了三角函数的有关知识, 注重了 学科内综合与联系。 四、课堂练习
9

1.下面的几个命题: ①若 a ? b ? b 则a与b共线 ; ②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量; ? ? ? ? ? ? ? ? ③若 a, b 满足 a ? b 且 a 与 b 同向,则 a ? b ;

? ? ④由于 0 方向不定,故 0 不能与任何向量平行;

? ? ⑤对于任意向量 a, b, 必有 a ? b ? a ? b ? a ? b
其中正确命题的序号是: ( B ) D.①⑤

A.①②③ B.⑤ C.③⑤ ???? ??? ? ??? ? ??? ? 2.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得(D )

??? ? A. AB

B. DA

C. BC

? D. 0


? 3.若向量 a ? (2x ? 1, x 2 ? 3x ? 3) 与 AB 相等,且 A(1,3) ,B(2,4) ,则 x 为( A
B.1 或 4 C.0 D.-4 ? ? ? ? 4.已知向量 a =(x-5,3) , b =(2,x) 且 a ? b 则由 x 的值构成的集合是( C ) A. ?2,3? B. ??1,6? C. ?2? D. ?6? A.1

? ? ? ? 3? 5. 已知 a ? ? 3, 0 ? , b ? ? k ,5 ? 且 a 与 b 的夹角为 ,k 的值是____-5_____. 4

6. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ___________。 答案:圆 以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆;

7.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知

? ? ? ? AB = a , AD = b ,试用 a 、 b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。
解: 连结 AC, DC =

? 1 ? 1 1 ? AB = a , AC = AD + DC = b + a , 2 2 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ∴ BC = AC - AB = b + a - a = b - a , 2 2 ? 1 ? ∵ NM = ND + DM = NA + AD + DM = b - a , 4 1 ? ? ∴ MN =- NM = a - b 。 4
A

D

M

C

B N

? ? ? ? ? ? 8.设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 及 3a ? 2b ? 7
10

? ? (1)求 a, b 所成角的大小。 ? ? (2)求 3a ? b 的值。
? ? 解:(1) 3a ? 2b

?

?

2

? ? ?2 ?2 ? ? ? 7,?9 a ? 4 b ? 12a ? b ? 7, 而 a ? b ? 1,

? ? 1 ? ? ? ? 1 ∴ a ? b ? ,? a ? b cos a, b ? , 2 2

? ? ? 故 a 与 b 所成的角为 3

? ? (2) 3a ? b

?

?

2

?2 ? ? ?2 ? ? ? 9 a ? 6a ? b ? b ? 9 ? 3 ? 1 ? 13, 3a ? b ? 13

9. 已知点 A (2, 3) 、 B (10, 5) , 直线 AB 上一点 P 满足|PA|=2|PB|, 则 P 点坐标是 (
? 22 13 ? A. ? , ? ? 3 3?

C



B.(18,7)

? 22 13 ? C. ? , ? 或(18,7) D.(18,7)或(-6,1) ? 3 3?

10.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v =(4,-3),即点 P 的运动方向与 v 相同,且 每秒移动的距离为 v 个单位,设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后 P 的坐标为 ( )A. (-2,4) B. (-30,24) C. (10,-5) D. (5,-10)

答案:C

??10 ? 4 ? 5 ? 10 提示:? ? 故 5 秒后 P 的坐标为(10,-5) 。 ?10 ? (?3) ? 5 ? ?5

? ? ? ? ? ? 11 . 设 向 量 a =(2,-1) , 向 量 b 与 a 共 线 且 b 与 a 同 向 , b 的 模 为 2 5 , 则 ? b=


12.已知 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及 OP ? OA ? t AB 求(1)t 为何值时,P 在 X 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能, 求出相应的 t 值; 若不能, 请说明理由。
2 解:(1) OP ? OA ? t AB ? (1 ? 3t,2 ? 3t ) ,若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,? t ? ? ; 3
1 若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,? t ? ? ; 3

?1 ? 3t ? 0 2 1 若 P 在第二象限,则 ? ?? ? t ? ? . 3 3 ?2 ? 3t ? 0

(2)因为 OA ? (1,2), PB ? (3 ? 3t,3 ? 3t ), 若 OABP 为平行四边形,则 OA ? PB

? 3 ? 3t ? 1 无解,所以四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?? ?3 ? 3t ? 2
13. .一条渔船距对岸 4km,以 2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的
11

实际航程为 8km,求河水的流速。 ??? ? ??? ? 解:如图,设 AB 表示船垂直于对岸的速度, BC 表示水流的速度, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则由 AB ? BC ? AC , AC 就是渔船实际航行的速度, C 航行的时间为 4 ? 2 ? 2 ? h? , 在 Rt ?ABC 中, AB ? 2km / h, AC ? 8 ? 2 ? 4km / h , 答:河水的流速为 2 3km / h 。

B

??? ? A ? BC ? 2 3km / h

14 . . 若 对 3 个 向 量 a1 , a2 , a3 , 存 在 3 个 不 全 为 0 的 实 数 k1 , k2 , k3 , 使 得

?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ,按照规定的说明 a1 =(1, k1 a1 ? k2 a2 ? k3 a3 ? 0 成立,则称向量 a1 , a2 , a3 为“线性相关”

? ? 0),a2 =(1, -1),a3 =(2, 3)这三个向量 “线性相关” 的实数 k1, k2, k3 可能的取值为 (
A.-5,3,1 B.5,3,1 C.-5,1,3 D.-5,1,-3 代入验证得 A

)

? ?k 1 ? k 2 ? 2k 3 ? 0 答案:A. 分析:∵ k1 a1 ? k 2 a2 ? k3 a3 ? 0 得 ? ? ??k 2 ? 3k 3 ? 0

? 15. 已知 a ?

?

? ?1 3? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? ? t 2 ? 3? b, y ? ? k a ? tb 3, ?1 , b ? ? , , 且存在实数 k 和 t , 使得 ? ?2 2 ? ? ?

?

? ? ? k ? t2 且 x ? y ,试求 的最小值 t
? 解:由题意可得 a ?

? 3?

2

? ? ?1?

2

2 ? ?1? ? 3? ? 2, b ? ? ? ?? , ? ? ?1 2 ?2? ? ? ?

2

? ? ? ? ? ? ? 1 3 故 有 a?b , 由 a ? b ? 3 ? ? 1? ?0 , x? y 2 2 ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? a ? ? t 2 ? 3? b ? ? ?ka ? tb ? 0 ,即 ?ka ? ? t 3 ? 3t ? b ? ? t ? t 2 k ? 3k ? a ? b ? 0 ? ?

知 :

?

?

?? k ? 22 ? ? t 3 ? 3t ? ?12 ? ? t ? t 2 k ? 3k ? ? 0 ? 0
3 2 2 ? 可得 k ? t ? 3t ,故 k ? t ? 1 ? t 2 ? 4t ?3 ? ? 1 ? t ?2 ?2 ?7 即当 t=-2 时, k ? t 有最 t 4 4 4 4 t

小值为 ?

7 4
12

2009 年暑假数学课外辅导(必修 4)

第二章 平面向量
一、基本内容串讲 本章主干知识:向量的基本概念和实际背景,平面向量的加、减、数乘以及数量积的运 算,特别是坐标运算;利用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些实际问题。 1.平面向量的实际背景及基本概念 从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,明确向量与数量的区别:大小和方 向是向量的两个要素,它带有方向,具有几何意义,向量不能比较大小;理解向量的基 本概念:向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等,要结合图 形区分平行向量、相等向量、共线向量等概念:平行向量即共线向量,两向量共线不一 定相等,而两向量相等则一定共线,另外,还要注意向量“共线”与线段“共线”的区 别:共线向量不考虑起点。 2.平面向量的线性运算 (1)掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;会用向量加法的三角形法则和平行四 边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力; 通过将向量运算与熟 悉的数的运算进行类比, 掌握向量加法运算的交换律和结合律, 并会用它们进行向量计 算,渗透类比的数学方法。 (2)了解相反向量的概念;掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何 意义; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算, 理解事物之间可以相互转 化的辩证思想。 (3)掌握实数与向量积的定义及几何意义;了解数乘运算的运算律,理解向量共线的 充要条件。 3.平面向量的基本定理及坐标表示 (1)平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这 一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a=λ 1 e1 +λ 2 e2 . (2) 平面向量的坐标运算: 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 与差;一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1);实数
与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. ? (3)向量共线的两种判定方法:a∥b( b ? 0 ) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 4.平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义:已知两个非零向量 a 与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫 a 与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ) 。并 规定 0 与任何向量的数量积为 0。注意:两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符
13

号由 cos?的符号所决定. (2)向量的数量积的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos? 的乘积. (3)两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是单位向量; 1? 2?

e?a = a?e =|a|cos?; a?b ? a?b = 0;

3? 当 a 与 b 同向时, a?b = |a||b|; 当 a 与 b 反向时, a?b = ?|a||b|. 特别地 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4? cos? =
a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b|。 5.平面向量的应用 (1)能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题,如长度、角、距离,平行、垂直 等问题。 (2)用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题,建立数学模型解决实际问题。 考点二、考点阐述 10 平面向量和向量相等的含义及向量的几何表示 21、如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确 的是 ( ) ??? ? ??? ? A. AB ? CD
D C B

??? ? ???? ??? ? B. AB ? AD ? BD

A

???? ??? ? ??? ? C. AD ? AB ? AC
解析:

???? ??? ? D. AD ? BC ? 0

考点 11 向量加、减法的运算及其几何意义 22、在平行四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AB ? AD ,则必有 A. 23 (
???? ? AD ? 0
??? ? ???? ??? ? ????

(

)

B. 化

??? ? ? ???? ? AB ? 0或 AD ? 0

C. ABCD 是矩形
P

D. ABCD 是正方形 结 D. MN
???? ?

、 ) A. MP
????

简 B. NP
??? ?

???? ? ???? ???? ? P ? M?

所N

得 M 的N





C.0

考点 12 向量数乘的运算 24、 知向量 e1、 e2 不共线, 实数(3x-4y)e1+(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则 x-y 的值等于 ( A.3 B.-3 C.0 D.2 考点 13 向量数乘运算的几何意义及两向量共线的含义
14



25、已知 e1 , e2 不共线, a ? ke1 ? e2 , b ? e1 ? ke2 ,当 k ? ______时, a, b 共线。 26、设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、 D 三点共线,求 k 的值. ??? ??? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 【解析】:? BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2

?? ?? ?

?

? ? ?? ??

? ?

?? ?

? ?

?

?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,? 设 AB ? ? BD

? ? ? ? ? ? ? ? 即 2e1 ? ke2 ? ?e1 ? 4?e2

?? ?? ? 由于 e1 与 e2 不共线,得:

2e1 ? ? e1

? ?

? ?

ke2 ? ?4? e2

? ?

? ?

故 ? ? 2, k ? ?8

【点评】:本题属于“知道”层次,解答的关键是理解共线的条件: ? a∥b( b ? 0 ) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 考点 14 向量的线性运算性质及其几何意义 27 、 在 菱 形 ABCD 中 , 下 ( ) A. AB // CD C. ( AB ? AD) ? (BA ? BC) ? 0 考点 15 平面向量的基本定理及其意义 28、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C(x, y)满足
???? ??? ? ??? ? OC =α OA +β OB , 其中 α



















B. ( AB ? BC) ? (BC ? CD) D. AB ? AD ? BC ? CD

,β ∈R 且 α +β =1, 则 x, y 所满足的关系式为 B.(x-1) +(y-2) =5
2 2

( D.x+2y-5=0



A.3x+2y-11=0

C.2x-y=0

考点 16 平面向量的正交分解及其坐标表示 29、梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B(3,4) , D(2,1) 且 AB // DC , AB ? 2CD ,则点
C 的坐标为___________。

考点 17 用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算 ??? ? ??? ? 30、已知 AB ? (3,0) ,那么 AB 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D.5

考点 18 用坐标表示平面向量共线的条件 31、已知向量 a ? (4, ? 2) ,向量 b ? ( x,5) ,且 a // b ,那么 x 等于(
15



A. 10

B. 5

C. ?

5 2

D. ?10

考点 19 平面向量数量积的含义及其物理意义

??? ? ??? ? 32、已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( ? 1, 0) , B (1, 2) , C (0, c) ,若 AB ? BC ,那
么 c 的值是 A. ?1 B. 1 C. ?3 D. 3

考点 20 平面向量的数量积与向量投影的关系 ? ? ? ? ? 33 、已知 a ? 8 , e 是单位向量,当它们之间的夹角为 时, a 在 e 方向上的投影 3 为 。 考点 21 平面向量数量积的坐标表达式及其运算 34、已知向量 a ? (3, 2) , b ? (0, ?1) ,那么向量 3b ? a 的坐标是_____________. 35、设 a ? ( x,3) , b ? (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 __ 考点 22 运用数量积表示两个向量的夹角,并判断两个平面向量的垂直关系 36、若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( A、 30? B、 60?
c?a

____。

) D、 150?

C、 120?

【解析】:∵ a ? 1, b ? 2, c ? a ? b ,

∴ a ? c ? a ? (a ? b) ? a 2 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0,?a ? b ? ?1 , ∴cos? =
a ?b ?1 1 ? ?? , | a || b | 1? 2 2

故?= 120? ,选 C。

37、已知非零向量 a 、 b 满足 a ? 1 ,且 (a ? b) ? (a + b) ? (1)求 b ; (2)当 a ? b =

1 . 2

1 时,求向量 a 与 b 的夹角 ? 的值. 2 1 1 ,即 a 2 ? b 2 ? , 2 2

解: (1)因为 (a ? b) ? (a + b) ? 所以 b ? a ?
2 2

1 1 1 2 ? 1 ? ? ,故 b ? . 2 2 2 2

????????????5 分

16

(2)因为 cos ? ? 故 ? ? 45? . 10 分

2 a?b = , 2 a b

?????????????????????

考点 23 平面向量的应用 37、设向量 a ? (m, n) ,b ? ( s, t ) ,定义两个向量 a,b 之间的运算“ ? ”为
a ? b ? (ms, nt ) . 若向量 p ? (1, 2) , p ? q ? (?3, ?4) ,则向量 q 等于

A. (?3, ?2)

B. (3, ?2)

C. (?2, ?3)

D. (?3, 2)

38、已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点. ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。 又 OP ? (2,1) 。所以

解析: ( 1 )设 M ( x, y) ,则 OM ? ( x, y) ,由题意可知 OM // OP
x ? 2 y ? 0 即 x ? 2 y ,所以 M (2 y, y) ,

则 MA ? MB ? (1 ? 2 y,7 ? y) ? (5 ? 2 y,1 ? y) ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? 5( y ? 2) 2 ? 2 , 当 y ? 2 时, MA ? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM ? (4,2) 。 (2)因为 cos ?AMB ?
MA ? MB | MA || MB | ? (?3,5) ? (1,?1) 34 ? 2 ?? 4 17 。 17
? ?

39、已知点 P( cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2x ? 1) ( x ? R) ,且函数 f ( x) ? OP? OQ ( O 为 坐标原点) , (I)求函数 f ( x) 的解析式; (II) 求函数 f ( x) 的最小正周期及最值. 解(1)依题意, P( cos2 x ? 1,1) ,点 Q(1, 3 sin 2x ? 1) , ???????(1?) 所以, f ( x) ? OP ? OQ ? cos2x ? 3 sin 2x ? 2 .

?? ? (2) f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2 . 6? ?

???????( ? 5 )

因为 x ? R ,所以 f ( x) 的最小值为 0 , f ( x) 的最大值为 4 , f ( x) 的最小正周期为
17

T ? ? . ??????????????????????????????(8?)

三、解题方法分析 1.正确理解平面向量的有关概念 【方法点拨】平面向量的概念比较多,主要有向量的模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量等,要从数和形两个方面加以理解,这样才不会弄错。 例 1 给出下列命题:? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②两个单位向量是相等向量;? ③若 a=b, b=c,则 a=c; ④若一个向量的模为 0,则该向量的方向不确定;? ⑤若|a|=|b|,则 a=b。 ⑥若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 其中正确命题的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

【解析】①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个 向量 AB 、 AC 在同一直线上。 ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定。 ③正确.因为 a=b,所以 a、b 的长度相等且方向相同;同理 b、c 的长度相等且方向相 同,故 a、c 的长度相等且方向相同,即 a=c。 ④正确. 因为零向量的方向是任意的。 ⑤不正确.向量相等还必须方向相同。 ⑥不正确. 若 a、c 为两非零向量且不共线时,b=0 符合条件。综上所述,答案为 B。 【点评】:本题属于“知道”层次,考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、 共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。 2.掌握平面向量的有关运算,提高运算能力 【方法点拨】向量加、减、数乘的结果仍是向量,而向量的数量积则是一个数量,通过 向量的数量积可以计算向量的长度、 两点间的距离, 通过向量的夹角可以判断两个向量 是否垂直,解题时要注意数量积不具有结合律。 例 1、如图所示,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 AF ? DB =( A. FD C. FE B. FC D. BE
A F C

)

E B

D ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 【解析】:∵ DB ? AD 则AF ? DB ? AF ? AD ? DF ,由三角形中位线定理 DF ? BE ,

18

故选 D 【点评】:本题属于“理解”层次,考查考生的基本运算能力,主要是对向量减法的理 解和运用,解题时利用了向量相等,创共同起点进行转化。 例 2、若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b 且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( A、 30? B、 60?
c?a

) D、 150?

C、 120?

【解析】:∵ a ? 1, b ? 2, c ? a ? b ,

∴ a ? c ? a ? (a ? b) ? a 2 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0,?a ? b ? ?1 , ∴cos? =
a ?b ?1 1 ? ?? , | a || b | 1? 2 2

故?= 120? ,选 C。

【点评】:本题属于“理解”层次,重点考查向量的数量积运算。要会利用向量的数量 积求长度、距离和夹角;利用垂直的条件解题:a?b ? a?b = 0? x1x2+y1y2=0 例 3、设 e1 , e2 是两个不共线的向量, AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、 B、D 三点共线,求 k 的值. ??? ??? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 【解析】:? BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2

?

?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,? 设 AB ? ? BD

? ? ? ? ? ? ? ? 即 2e1 ? ke2 ? ?e1 ? 4?e2

?? ?? ? 由于 e1 与 e2 不共线,得:

2e1 ? ? e1

? ?

? ?

ke2 ? ?4? e2

? ?

? ?

故 ? ? 2, k ? ?8

【点评】:本题属于“知道”层次,解答的关键是理解共线的条件: ? a∥b( b ? 0 ) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 3、掌握平面向量的坐标运算,强化数形结合 【方法点拨】向量本身具有数与形的双重功能,另外,任何一个向量直线型图形都可表 示为一些向量的线性组合,因此在解题中应充分运用数形结合的思想方法。一方面,要 重视向量、模本身的几何意义;另一方面还要充分利用向量运算法则的几何意义。引入 向量的坐标后,要尽可能利用坐标运算,使解题简捷、明了。 例 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证: EF ? 【解析】:证法一:利用加、减法的几何意义。 连 结 EB 、 EC , 以 EB 、 EC 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ? 1 1 1 EF ? EG ? ( EC ? EB ) = ( EA ? AB ? ED ? DC ). 2 2 2
?

1 ( AB ? DC ). 2

ECGB , 则

由于 E 为 AD 的中点,∴ EA ? ED ? 0 ,故结论成立。 证法二:创共同起点,建立向量间关系。
19

在平面内任取一点 O,∵E、F 分别为 AD、BC 的中点,∴ 1 1 OE ? (OA ? OD ), OF ? (OB ? OC ). 2 2 ? 1 1 ∴ EF ? OF ? OE [( OB ? OA ) ? (OC ? OD )] = ( AB ? DC ). 2 2 证法三:利用坐标运算。 建立直角坐标系,设 A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3 , y3 ),D(x4 , y4). ??? AB ? ( x 2 ? x1, y ? y ) , DC ? ( x3 ? x4 , y ? y ) ,∴
2 1



3

4

? ? ? 1 ( AB ? DC ) = ( x 2 x 3 x1 x 4 , 2 2

y ?y ?y ?y
2 3 1

4

2 ,

)

又∵ E ( x1

? x4 2

,

y ?y
1

4

2

) , F ( x2

? x3 2
3

y ?y
2

4

2
1 4

),

∴ EF ? ( x 2

? x 3 ? x1 ? x 4 2

,

y ?y ?y ?y
2

2

) ,故 EF ?

1 ( AB ? DC ). 2

【点评】:(1)本题属于“理解”层次,考查考生的分析转化能力;(2)解题的关键 是转化, 不管是利用向量的线性运算还是坐标运算, 都需要利用数形结合达到化归的目 的。 4 重视平面向量的应用,关注学科内综合 (1)平面向量知识在平面几何中的应用 【方法点拨】(1)用向量方法解决平面几何问题的基本思路:几何问题向量化 ? 向 量运算关系化 ? 向量关系几何化. (2)用向量方法研究几何问题,需要用向量的观点看问题,将几何问题化归为向量问 题来解决.它既是一种数学思想, 也是一种数学能力.其中合理设置向量, 并建立向量关 系,是解决问题的关键. 例试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 【解析】:证明:记 AB ? a, AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

??? ? 2 ??? ?2 ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2 ??? ? 2 ??? ?2 ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
∴平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. 【点评】:本题属于“理解”中基本应用层次,考查考生对所学过的内容能进行基本 应用;如何在问题中建立向量关系,充分利用向量知识是解决问题的关键 (2)平面向量与物理知识的综合应用 【方法点拨】 用向量知识解决物理问题时, 要注意数形结合.一般先要作出向量示意图, 必要时可建立直角坐标系,再通过解三角形或坐标运算,求有关量的值.
20

?? ?? ?? ?? ?? 例设作用于同一点 O 的三个力、 F 1、 F 2、 F 3 处于平衡状态,如果| F 1|=1,| F 2|=2,
?? ?? ?? 2? .求①. F 3 的大小;②.∠F3OF2 的大小. F 1 与 F 2 的夹角为 3 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 【解析】 : ① F 1、F 2、F 3 三个力处于平衡状态, 故 F 1+ F 2+ F 3= O , 即 F 3= ( F 1+ F 2) .

?? ?? ?? ∴| F 3|=| F 1+ F 2|=

( F 1 ? F 2)2 ?

?

?

? F

2 1

? F 1 ? 2F 1 ? F 2

?

2

? ? ? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 cos 2? ? 3
3

?? ?? ②如图: 以 F 2 所在直线为 x 轴, 合力作用点为坐标原点, 建立直角坐标系.将向量 F 1、 ?? F 3 正交分解,设∠F3OM= ?
由受力平衡知
? ? | ? ?F ? ? ? ?
y

? ? 2? | cos ? ? | F | cos(? ? ) ?| F 3 ? ? 2? ? | F | sin ? ?| F | cos( ? ) 3 2
3 1 3 1

F1

| 2

P N F2 x Q

M

F3

5? 6 6 6 【点评】:本题属于“理解”中综合应用层次,考查考生对所学过的知识在学科间的联 ?? ?? ?? ?? 系;本题的第(1)问的关键是对力的平衡向量转化: F 1+ F 2+ F 3= O ;第(2)问的关

解之得 ? ?

?



于是∠F3OF2 ? ? ?

?

?

键是通过数形结合对力的平衡进行量化, 解题时还用到了三角函数的有关知识, 注重了 学科内综合与联系。 四、课堂练习 2.下面的几个命题: ①若 a ? b ? b 则a与b共线 ; ②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量; ? ? ? ? ? ? ? ? ③若 a, b 满足 a ? b 且 a 与 b 同向,则 a ? b ;

? ? ④由于 0 方向不定,故 0 不能与任何向量平行;

? ? ⑤对于任意向量 a, b, 必有 a ? b ? a ? b ? a ? b
其中正确命题的序号是: ( ) D.①⑤

A.①②③ B.⑤ C.③⑤ ???? ??? ? ??? ? ??? ? 2.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( )

??? ? A. AB

B. DA

C. BC

? D. 0


? 3.若向量 a ? (2x ? 1, x 2 ? 3x ? 3) 与 AB 相等,且 A(1,3) ,B(2,4) ,则 x 为(
21

A.1

B.1 或 4

C.0

D.-4 )

? ? ? ? 4.已知向量 a =(x-5,3) , b =(2,x) 且 a ? b 则由 x 的值构成的集合是(
A. ?2,3? B. ??1,6? C. ?2? D. ?6?

? ? ? ? 3? 5. 已知 a ? ? 3, 0 ? , b ? ? k ,5 ? 且 a 与 b 的夹角为 ,k 的值是_________. 4 6. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是

___________。 7.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知 ? ? ? ? AB = a , AD = b ,试用 a 、 b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。
D M C

A

B N

? ? ? ? ? ? 8.设向量 a, b 满足 a ? b ? 1 及 3a ? 2b ? 7 ? ? (1)求 a, b 所成角的大小。 ? ? (2)求 3a ? b 的值。

9. 已知点 A (2, 3) 、 B (10, 5) , 直线 AB 上一点 P 满足|PA|=2|PB|, 则 P 点坐标是 (
? 22 13 ? A. ? , ? ? 3 3?



B.(18,7)

? 22 13 ? C. ? , ? 或(18,7) D.(18,7)或(-6,1) ? 3 3?

10.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v =(4,-3),即点 P 的运动方向与 v 相同,且 每秒移动的距离为 v 个单位,设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后 P 的坐标为 ( ) B. (-30,24) C. (10,-5)

A. (-2,4)

D. (5,-10) ? ? ? ? ? ? 11 . 设 向 量 a =(2,-1) , 向 量 b 与 a 共 线 且 b 与 a 同 向 , b 的 模 为 2 5 , 则
22

? b=



12.已知 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及 OP ? OA ? t AB 求(1)t 为何值时,P 在 X 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理 由。

13. .一条渔船距对岸 4km,以 2km/h 速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的 实际航程为 8km,求河水的流速。

14 . . 若 对 3 个 向 量 a1 , a2 , a3 , 存 在 3 个 不 全 为 0 的 实 数 k1 , k2 , k3 , 使 得

?? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ,按照规定的说明 a1 =(1, k1 a1 ? k2 a2 ? k3 a3 ? 0 成立,则称向量 a1 , a2 , a3 为“线性相关”

? ? 0),a2 =(1, -1),a3 =(2, 3)这三个向量 “线性相关” 的实数 k1, k2, k3 可能的取值为 (
A.-5,3,1
? 15. 已知 a ?

)

B.5,3,1

C.-5,1,3

D.-5,1,-3

?

? ?1 3? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? a ? t ? 3 b , y ? ? k a ? tb 3, ?1 , b ? ? , , 且存在实数 k 和 t , 使得 ? ? ?2 2 ? ? ? ?

?

? ? ? k ? t2 且 x ? y ,试求 的最小值 t
参考答案 1-4BDAC 6、圆 以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆; ? 1 ? 1 1 ? 7.解: 连结 AC, DC = AB = a , AC = AD + DC = b + a , 2 2 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ∴ BC = AC - AB = b + a - a = b - a , ∵ NM = ND + DM = NA + AD + DM = 2 2 ? 1 ? 1 ? ? ∴ MN =- NM = a - b 。 b- a, 4 4
23

5、-5;

? ? 8 解:(1) 3a ? 2b

?

?

2

? ? ?2 ?2 ? ? ? 7,?9 a ? 4 b ? 12a ? b ? 7, 而 a ? b ? 1,

? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ∴ a ? b ? ,? a ? b cos a, b ? , 故 a 与 b 所成的角为 2 2 3 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? ? (2) 3a ? b ? 9 a ? 6a ? b ? b ? 9 ? 3 ? 1 ? 13, 3a ? b ? 13

?

?

9.C

10 、 C

??10 ? 4 ? 5 ? 10 提示: ? ? 故 5 秒后 P 的坐标为( 10 , -5 ) 。 ?10 ? (?3) ? 5 ? ?5

11.(4,-2);
2 12.解:(1) OP ? OA ? t AB ? (1 ? 3t,2 ? 3t ) ,若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,? t ? ? ; 3
1 若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,? t ? ? ; 3

?1 ? 3t ? 0 2 1 若 P 在第二象限,则 ? ?? ? t ? ? . 3 3 ?2 ? 3t ? 0

(2)因为 OA ? (1,2), PB ? (3 ? 3t,3 ? 3t ), 若 OABP 为平行四边形,则 OA ? PB

? 3 ? 3t ? 1 无解,所以四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?? ?3 ? 3t ? 2 ??? ? ??? ? 13.解:如图,设 AB 表示船垂直于对岸的速度, BC 表示水流的速度, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则由 AB ? BC ? AC , AC 就是渔船实际航行的速度, C
航行的时间为 4 ? 2 ? 2 ? h? , 在 Rt ?ABC 中, AB ? 2km / h, AC ? 8 ? 2 ? 4km / h , 答:河水的流速为 2 3km / h 。
? ?k 1 ? k 2 ? 2k 3 ? 0 14.A. 分析:∵ k1 a1 ? k 2 a2 ? k3 a3 ? 0 得 ? ? ??k 2 ? 3k 3 ? 0
? 15.解:由题意可得 a ?

B

??? ? ? BC ? 2 3km / h A

代入验证得 A
2

? 3?
?

2

? ? ?1?

2

2 ? 1? ? 3? ? ? 2, b ? ? ? ?? , ? ? ?1 ?2? ? ? 2 ?

? ? ? ? ? ? ? 1 3 故 有 a?b , 由 a ? b ? 3 ? ? 1? ?0 , x? y 2 2 ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? a ? ? t 2 ? 3? b ? ? ?ka ? tb ? 0 ,即 ?ka ? ? t 3 ? 3t ? b ? ? t ? t 2 k ? 3k ? a ? b ? 0 ? ?

知 :

?

?? k ? 22 ? ? t 3 ? 3t ? ?12 ? ? t ? t 2 k ? 3k ? ? 0 ? 0
3 2 2 ? 可得 k ? t ? 3t ,故 k ? t ? 1 ? t 2 ? 4t ?3 ? ? 1 ? t ?2 ?2 ?7 即当 t=-2 时, k ? t 有最 t 4 4 4 4 t 7 小值为 ? 4

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