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【赢在课堂】高考数学一轮复习 10.6随机数及用模拟方法估计概率配套课件 理 新人教A版


第6讲

随机数及用模拟方法估计 概率

考纲展示
了解随机数的意义, 能 运用模拟方法估计概 率.

考纲解读
1. 几何概型在考查上常与函数、方程、不等式等联系是 高考的热点. 2. 在考查方法上可在选择题、填空题中单独考查, 也可在 解答题中考查 , 属容易或中档题, 以考查基本概念、基本 运算为主.

1. 随机数 随机数是指在一定范围内随机产生的数 , 并且在这个范围内每一个数 产生的机会一样. 随机数产生的基本方法有: ①掷骰子; ②从纸牌中抽牌; ③ 计算器法; ④计算机软件法. 随机数的应用主要是随机数模拟实验 . 2 .几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成 比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 3 .几何概型中,事件 A 的概率计算公式 P(A)=
构成事件的区域的测度 试验的全部结果所组成的区域的测度

.

几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型 ,两者的共同点 是基本事件是等可能的,不同点是基本事件数一个是有限的,一个是无限 的 ,基本事件可以抽象为点.对于几何概型,这些点尽管是无限的,但它们所 占据的区域是有限的,根据等可能性,这个点落在区域的概率与该区域的 几何度量成正比,而与该区域的位置和形状无关.

4 .要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.

1 .在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为(
1 2 1 3 1 4

)

A.

B.

C.

D.1

【答案】B 【解析】点坐标小于 1 的区间长度为 1,故所求其概率为 .
3 1

2 .一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( ) A. C.
1 5 3 5

B.

2 5 4 5

D.

【答案】B 【解析】以时间的长短进行度量 ,故 P=
30 75

= .
5

2

3 .如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一 个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) A.
1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

【答案】C 【解析】由题意知 ,该题考查几何概型,故 P=
△ 矩形

=

1 AB·BC 2

·

= .

1 2

4 .(2012·辽宁卷,11 )在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻 边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为( ) A.
1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

【答案】C 【解析】此概型为几何概型 ,由于在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,因 此总的几何度量为 12,满足矩形面积大于 20cm2 的点在 C1与 C2之间的部分, 如图所示.

因此所求概率为 ,即 ,故选 C.
12 3

8

2

5 .在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 【答案】
1 3

.

1 【解析】这是一个长度型的几何概型题 ,所求概率为 . 3

T 题型一与 长度有关的几何概型
例 1 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随 机取一点 B,则劣弧 的长度小于 1 的概率为 . 用劣弧 的长度与圆周长的比值来确定概率值.

【答案】

2 3

【解析】 如图,设 A,M,N 为圆周的三等分点,当 B 点取在优弧上时, 对劣弧来说 ,其长度小于 1,故其概率为 .
3 2

将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何 概型来求解 .

1 .一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁 距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 .
1 【答案】 2

【解析】 如图 ,该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的长度为 1+2+3=6,故所求概率为
6 12

= .

1 2

T 题型二与 面积有关的几何概型
例 2 (2012·华东师大附中模拟)设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b 2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取 的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求 上述方程有实根的概率. (1)为古典概型,利用列举法求概率. (2)建立 aOb 平面直角坐标系,将问题转化为与面积有关的几何概型.

【解】设事件 A 为 “方程 x2+2ax+b 2=0 有实根 ”. 当 a ≥0,b≥0 时 ,方程 x2+2ax+b 2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个 :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2) .其中第一 个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件,事 件 A 发生的概率为 P(A)=
9 12

= .

3 4

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ,b )| 0≤a ≤3,0≤b ≤2},构成事 件 A 的区域为 {(a ,b )| 0≤a≤3,0≤b ≤2,a≥b },所以所求的概率为
3×2 -2×2 3×2
1
2

P(A)=

=

2 . 3

数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法 .用图解 题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域 ,由题意将已 知条件转化为事件 A 满足的不等式或不等式组,在图形中画出事件 A 发生 的区域,利用公式可求.

2 .已知|x| ≤2,|y| ≤2,点 P 的坐标为(x,y). (1)求当 x,y∈R 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率; (2)求当 x,y∈Z 时,P 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的概率.

【解】(1)如图 ,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部

(含边界),满足 (x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径的 圆面 (含边界). ∴ 所求的概率 P1
1 2 π ×2 π 4 = =

4×4

16

.

(2)满足 x,y∈Z,且|x| ≤2,|y| ≤2 的点 (x,y)有 25 个 ,满足 x,y∈Z,且 (x-2)2+(y-2)2≤4 的点 (x,y)有 6 个 , ∴ 所求的概率 P2= .
25 6

T 题型三与 角度、体积有关的几何概型
例 3 在 Rt△ABC 中,∠A=30° ,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,求使|AM|>|AC| 的概率.

如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB 内作射线 CM 看作是等可能的,基本事件是射线 CM 落在∠ACB 内任一处, 使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC'的大小有关 ,这符合几何概型的条件.

【解】设事件 D 为“作射线 CM,使 |AM|>|AC|”.在 AB 上取点 C'使 |AC'|=|AC| ,因为△ACC'是等腰三角形,所以 ∠ACC'=
180°-30 ° 15 1 =75° ,μA=90-75=15,μΩ=90,所以 P(D)= = . 2 90 6

几何概型的关键是选择“测度 ”,如本例以角度为“测度 ”.因为射 线 CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度 ”,就是错 误的 ,因为 M 在 AB 上的落点不是等可能的.

3 .在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的 概率为 . π 【答案】112

【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径 的半球外.记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A,则 P(A)=
2 3 -1× 4π×1 3
2 3

2

3

=1- .

π 12

1 .(2012·湖南衡阳模拟)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗 玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择 的游戏盘是( )

【答案】A 【解析】 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,
8 8 6 3 3 2 2 1

∴ P(A)>P(C)=P(D)>P(B).

2 .已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内任取点 M,点 M 在球 O 内的概率是( ) π π π π A. B. C. D.
4 8 6 12

【答案】C 【解析】设正方体棱长为 a,则正方体的体积为 a3,其内切球的体积为
4π 3 × 3 2

= πa 3,
1 3 π 6 O 内的概率为

1 6

故 M 在球

3

= .
6

π

3 .某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角 形边界及圆的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( ) A. C.
π 3 3 4

B.

3 3 4π

D.以上全错

【答案】B 【解析】设正三角形边长为 a ,则外接圆半径 r= a× =
2 3
3 2 4 P= 2 3 π 3a

3

2

3 3

a ,∴ 所求概率

=

3 3 4π

.

4 .如图,一矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外 的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以 估算出椭圆的面积约为( ) A.7.68 B.16. 32 C.17. 32 D.8.68 【答案】B 【解析】根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率 P=
300 -96 P= =0.68,S 300 椭圆 矩形

,而

矩形

=24,故 S 椭圆=P·S 矩形=0.68×24=16.32.

2 -4x ≤ 0, 5 .若不等式组 -1 ≤ ≤ 2,表示的平面区域为 M,(x-4)2+y2≤1 表示的平面区 --1 ≥ 0 域为 N,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则该豆子落在平面区域 N 内的概率 是 【答案】
π 15
1 2 × π ×1 2

.

【解析】如图所示 ,所求概率为1
2

× (1+4 )×3

=

π . 15


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