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文科数学二轮复习专题:三角函数、解三角形、平面向量


专题一:三角函数、解三角形、平面向量
【例题讲解】 例题讲解】
三角函数的概念、 要点 1:三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用 例 1:如图,以 Ox 为始边作角α与β( 0 < β < α < π ) ,它们终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知 :

3 4 点 P 的坐标为( 5 , 5 ) ? sin 2α + cos 2α + 1 1 + tan α (1)求 的值;
(2)若 OP · OQ = 0 ,求 sin(α + β ) 。

cos α = ?
解: (1)由三角函数定义得

3 4 sin α = 5, 5

=
∴原式

2 sin α cos α + 2 cos 2 α 2 cos α (sin α + cos α ) = = 2 cos 2 α sin α sin α + cos α 1+ cos α cos α

3 18 2 = 2 · 5 ) = 25 ( ?
(2) OP · OQ = 0 ,∴

α ?β =

π
2

β =α ?


π
2 ,∴

sin ? = sin(α ? ) = sin α = 4 5

π
2

) = ? cos α =

3 5

cos β = cos(α ?

π
2

∴ sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

=

4 4 3 3 7 ? + (? ) ? = 5 5 5 5 25

y=Asin(ωx+φ 的解析式、图象性质 性质问题 要点 2:函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象性质问题 例 2:已知函数 f ( x ) = sin 2 x , g ( x ) = cos(2 x ? : 别交于 M 、 N 两点. (1)当 t =

π
6

) ,直线 x = t ( t ∈ R )与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图象分

π
4

时,求 | MN | 的值; (2)求 | MN | 在 t ∈ [0,

π
2

] 时的最大值.
…… 2 分

【解析】 (1) | MN |=| sin( 2 ×

π
4

) ? cos(2 ×

π

+ )|. 4 6
第 1 页 共 7 页

π

=|1 ? cos

2π 3 |= . 3 2

……5 分

(2) | MN |=| sin 2t ? cos(2t +

π

3 3 ) |=| sin 2t ? cos 2t | . 6 2 2

……8 分

∵ t ∈ [0,

π
2

= 3 | sin(2t ? ) | . 6 ] , 2t ?

π

……11 分

π

6

∈ [?

π

,π ? ] , 6 6

π

……13 分

∴ | MN | 的最大值为 3 .

……15 分

要点 3:三角变换及求值 例 3:已知向量 m = (sin A, cos A), n = (1,?2) ,且 m ? n = 0 : (Ⅰ)求 tan A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x + tan A sin x ( x ∈ R)的值域 解析: (Ⅰ)由题意得 m·n=sinA-2cosA=0, 解析: 因为 cosA≠0,所以 tanA=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 tanA=2 得

r

r

r r

1 3 f ( x) = cos 2 x + 2sin x = 1 ? 2sin 2 x + 2 sin x = ?2(sin x ? ) 2 + . 2 2
因为 x ∈ R,所以

sin x ∈ [ ?1,1]

sin x =
.当

1 3 2 时,f(x)有最大值 2 ,

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3

? 3? ? ?3, 2 ? . ? 所以所求函数 f(x)的值域是 ?

要点 4:正、余弦定理的应用 例 4:在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A = (2a + c )sin B + (2c + b)sin C . : (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值.

【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。 【思路点拨】 (I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角 (II)由(I)知角 C=60°-B 代入 sinB+sinC 中,看作关于角 B 的函数,进而求出最值
2 【规范解答】 (Ⅰ)由已 知,根据正弦定理得 2a = (2b + c)b + (2c + b)c

第 2 页 共 7 页



a 2 = b 2 + c 2 + bc
由余弦定理得

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A



1 cos A = ? ,A=120° 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B + sin C = sin B + sin(60° ? B )

3 1 cos B + sin B 2 2 = sin(60° + B) =
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 例 5:在 ?ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.已知 :

sin A + sin C = p sin B ( p ∈ R ) ,

ac =


1 2 b 4 .

p=
(Ⅰ)当

5 ,b = 1 4 时,求 a , c 的值;

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围; 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。

5 ? ?a + c = 4 , ? ? ? ac = 1 , ? 4 (I)解:由题设并利用正弦定理,得 ?

1 ?a = 1, ? ? ?a = , 4 ? 1 或? ?c = 4 , ?c = 1. ? 解得 ?
2 2 2 (II)解:由余弦定理, b = a + c ? 2ac cos B

= (a + c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B 1 1 = p 2b2 ? b2 ? b 2 cos B, 2 2 3 1 即p 2 = + cos B, 2 2
3 0 < cos B < 1, 得p 2 ∈ ( , 2) 2 因为 ,

第 3 页 共 7 页

p > 0, 所以
由题设知

6 < p < 2. 2

要点 5:向量与三角函数的综合 例 6:在直角坐标系 xOy中,已知向量 a = ( ?1, 2), 又点 A(8,0), B ( k sin θ , t )(0 ≤ θ ≤ (I)若 AB ⊥ a, 且 | OA |=| AB |, 求向量OB ; (II)若向量 AB与向量a 共线,当 k > 4, 且t sin θ取最大值为4时, 求OA ? OB. (1 【解析】 1) AB = (k sin θ ? 8, t ),Q AB ⊥ a,∴ ?k sin θ + 8 + 2t = 0 …………2 分 解析】 ( 又Q| OA |=| AB |,∴ 64 = (k sin θ ? 8) + t
2 2

π
2

.t ∈ R ).

? ? 40 + 16 5 40 ? 16 5 ?k sin θ = ?k sin θ = ? ? 5 5 ,或? 解得 ? ?t = 8 5 ?t = ? 8 5 ? ? 5 5 ? ?

………………4 分

uuu r 40 + 16 5 8 5 uuu r 40 ? 16 5 8 5 ∴ OB = ( , ) 或 OB = ( ,? ) 5 5 5 5
(II)Q AB与向量a共线,∴ t = ?2k sin θ + 16 II)

…………6 分

………………8 分

4 32 ∴ t sin θ = ( ?2k sin θ + 16) sin θ = ?2k (sin θ ? ) 2 + k k 4 4 32 又k > 4,∴ 0 < < 1,∴ sin θ = 时, t sin θ取最大值为 …………10 分 k k k π 32 由 = 4, 得k = 8, 此时θ = , OB = ( 4,8) k 6 uuu uuu r r ∴ OA ? OB = (8,0) ? (4,8) = 32 ………………12 分
三角函数与其它知识 与其它知识的综合 要点 6:三角函数与其它知识的综合 例 7:已知函数 f ( x) = sin x + 3 cos x, x ∈ R . 1 x (Ⅰ)若 1 + cos x ≥ sin 2 ,试求出函数 f ( x) 在区间 [0, π ] 上的最大值; 2 2 r 2π (Ⅱ)函数 f ( x) 的图象按向量 a = ( ,1) 平移后得到函数 g ( x) 的图象,试求方程 g ( x) = 1 + 3 的最大 3 负根.

1 x 1 【答案】解: (1)由 1 + cos x ≥ sin 2 ,解得 cos x ≥ ? , 2 2 2 2π π , f ( x) = 2sin x + 3 cos x = 2sin( x + ) , 又 x ∈ [0, π ], ∴ 0 ≤ x ≤ 3 3
第 4 页 共 7 页

π


r 2π π (2)函数 f ( x) 的图象按向量 a = ( ,1) 平移后,得到函数 g ( x) = 2sin( x ? ) + 1 , 3 3 π π 3 2π 则 2sin( x ? ) + 1 = 1 + 3 ,∴ sin( x ? ) = ,则 x = 2kπ + ,或 x = 2kπ + π (k ∈ Z ) . 3 3 2 3
∴最大负根为 ?π .

3

≤ x+

π
3

≤ π , 显然 f (x ) 的最大值为 2.

例 8:设函数 f (θ ) = :

3 sin θ + cos θ ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,

终边经过点 P ( x, y ) ,且 0 ≤ θ ≤ π 。

(1)若点 P 的坐标为 ( ,

1 3 ) ,求 f (θ ) 的值; 2 2

? x+y ≥ 1 ? (II)若点 P ( x, y ) 为平面区域Ω:? x ≤ 1 上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f (θ ) ?y ≤ 1 ?
的最小值和最大值。

第 5 页 共 7 页

例 9:若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m < y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . : (1)若 x ? 1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b + ab 比 a + b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3)已知函数 f ( x) 的定义域 D x x ≠ kπ , k ∈ Z , x ∈ R .任取 x ∈ D , f ( x) 等于 1 + sin x 和 1 ? sin x 中 接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要 求证明). 【解析】(1) x∈(?2,2); 解析】 (2) 对任意两个不相等的正数 a、b,有 a 2 b + ab 2 > 2ab ab , a 3 + b 3 > 2ab ab , 因为 | a 2 b + ab 2 ? 2ab ab | ? | a3 + b3 ? 2ab ab |= ?(a + b)(a ? b) 2 < 0 , 所以 | a 2 b + ab 2 ? 2ab ab |<| a3 + b3 ? 2ab ab | ,即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 2ab ab ;
?1 + sin x, x ∈ (2kπ ? π , 2kπ ) (3) f ( x) = ? = 1? | sin x |, x ≠ kπ ,k∈Z, ?1 ? sin x, x ∈ (2kπ , 2kπ + π ) f(x)是偶函数,f(x)是周期函数,最小正周期 T=π,函数 f(x)的最小值为 0,

{

}

函数 f(x)在区间 [kπ ?

π
2

, kπ ) 单调递增,在区间 (kπ , kπ +

π
2

] 单调递减,k∈Z.

要点 7:三角函数的实际应用 ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角 例 10:某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) : ∠ABE= α ,∠ADE= β 。 (1)该小组已测得一组 α 、 β 的值,算出了 tan α =1.24,tan β =1.20,请据 此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单 位:m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, α - β 最大? 【规范解答】 (1) H = tan β ? AD = H ,同理: AB = H , BD = h 。 tan α tan β tan β AD

AD—AB=DB,故得

H H h h tan α 4 ×1.24 ,解得: H = ? = = = 124 。 tan β tanα tan β tan β ? tan α 1.24 ? 1.20
第 6 页 共 7 页

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d = AB ,得 tan α =

H H h H ?h , , tan β = = = d AD DB d

H H ?h ? tan α ? tan β hd h d tan(α ? β ) = = d = = H H ? h d 2 + H ( H ? h) H ( H ? h) 1 + tan α ? tan β 1 + ? d+ d d d
d + H (H ? h) ≥ 2 d

(当且仅当 d = H (H ? h) ,

H (H ? h) =

125 × 121 = 55 5 时,取等号)

故当 d = 55 5 时, tan(α ? β ) 最大。 因为 0 < β < α <

π
2

,则 0 < α ? β <

π
2

,由 y = tan x 的单调性可知:当 d = 55 5 时, α - β 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。

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