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例谈高中数学一题多解和一题多变的意义


《教育学》期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
摘 要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化,融会贯通,而且可 以开阔思路,培养学生的发散思维和创新思维能力,从而达到提高学生的学习兴趣,学好数学的效果。 关键词:一题多变 一题多解 创新思维 数学效果

很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不 好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用,又只能硬 着头皮学.如何才能学好数学?俗话说“熟能生巧”, 很 多人认为要学好数学就是要多做.固然, 多做题目可以 使学生提高成绩,但长期如此,恐怕也会使学生觉得 数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学,首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本, 高于课本”的命题原则,教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题,进行对比、联想,采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生 数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说 明:

sinα= 而在第三象限时:

3 2 1? cos ? 5 = 4 5 3 5

cosa=-

sina=-

分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式, 解此题更妙:

例题: ,求 sinα,cosα 的值 分析:因为题中有 sinα、cosα、tanα,考虑他们 之间的关系,最容易想到的是用同角三角函数关系式 和方程解此题:

3 已知 tanα= 4

法一 根据同角三角函数关系式 tanα= 且 sina2α + cos2α =1。

3 sin ? 4 = cos?

3 sin ? 法三 tanα= 4 = cos? cos? sin ? 3 ? 4 = cos? sin ? 4 3 ? =

=

±



16 4 两 式 联 立 , 得 出 : cos2α= 25 ,cosα= 5 3 3 4 cosα= - 5 ;而 sinα= 5 或者 sinα=- 5 。

sin

2

? ? cos ?
2 2 2

或者

4 ?3

分析:上面解方程组较难且繁琐,充分利用用同 角三角函数关系式“1”的代换,不解方程组,直接 求解就简洁些:

3 4 ∴sinα= 5 ,cosα= 5 3 4 或 sinα=- 5 ,cosα=- 5
分析: 上面从代数法角度解此题,如果单独考 虑 sinα、cosα、tanα,可用定义来解此题。初中时, 三角函数定义是从直角三角形引入的,因此我们可以 尝试几何法来解之:

法二 在第一象限时: cos2α
2

3 tanα= 4 :α 在第一、三象限
=

1 cos ? sin 5 ? cos ? = 1 ? tan
2 2

16 2 ? 25 =

法四 当 α 为锐角时,由于 ABC 中,设 α=A,a=3x,b=4x,则勾股定理,得,c=5x

3 tana= 4 ,在直角△ 4 =5

4 cosα= 5

BC AC 3 sinA= AB = 5 ,cosA= AB 4 3 ∴sinα= 5 ,cosα= 5

《教育学》期刊 2012 年 5 月刊推荐稿件

4 3 或 sinα= - 5 ,cosα= - 5
分析 :用初中三角函数定义解此题,更应该尝 试用三角函数高中的定义解此题,因为适用范围更 广: 法五 当 α 为锐角时, 如下图所示, 在单位圆中,

4 ? x?? 5 ? y?? 3 ? 5

.

设 α=∠AOT, 因为 tanα=

3 4 ,则 T 点坐标是 T(1,
1? ?

5 ),由勾股定理得:OT= = 4 MP OM OP ∵△OMP∽△0AT∴ AT = OA = OT 4 4 3 3 OM= 5 , MP = 5 , p( 5 , 5 ),

3 4

?3? ? ?4?

2

4 3 4 3 T 点坐标是 P(- 5 , - 5 ) P( 5 , 5 4 3 ∴sinα= 5 ,cosα= 5 4 3 或 sinα= - 5 ,cosα= - 5

)



分析: 先考虑 sinα、cosα 两者之间的关系,容 易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题:

解法七 tanα= 4sina-3cosa=0 由三角函数辅助角公式得,

3 sin ? 4 = cos?

3 5sin(a+φ)= 0,其中,sinφ= 5
∴a+φ=kπ ,k∈Z sina=sin(kπ -φ)=sinφ α 在第一、三象限

4 , cosφ= 5

4 3 ∴sinα= 5 ,cosα= 5 3 4 或 sinα=- 5 ,cosα= - 5
分析: 圆和直线已经放入直角坐标系中,肯定 可以尝试用解析几何法来解此题: 解法六,如上图,易求出直线 OT 的方程和单位 圆的方程

3 4 ∴容易求出 sinα= 5 ,cosα= 5 3 4 或 sinα=- 5 ,cosα= - 5
分析: 仅仅从角度变换考虑,看一看,用二倍 角公式是否能解决此问题: 解 法 八 , 由 二 倍 角 公 式 , 得 ,

2 tan
tanα=

?
2
2

3 y= 4

1 ? tan

?
2
=

3 4
-3=0

x;x2+y2=1

? ? ? 两式联立,得出:

4 x? 5 3 y? 5

? 3tan2 2 ? ∴tan 2

? 1 = -3,或 tan 2 = 3

? +8tan 2





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2 sin
? sinα=2sin 2 ? 2 tan 2 2? 1 ? tan 2
cos

?
2
2

cos

?
2
2

? 2

=

sin

2

?

? cos

?
2
=2

3 4 ∴sinα= 5 ,cosα= 5 3 4 或 sinα= - 5 ,cosα= - 5 判别式
此外,我们还可以尝试从向量的角度思考这个问 题,这里就不再赘述。下面展示本题的变式与推广: 变式 1: 已知 tanα=-3,求 sinαcosα 的值 变式 2:已知 tanα=m,求 sinα,cosα 的值 变式 3 :已知 sinα=m,求 cosα,tanα 的值 由上例可以看出,一题多解和一题多变可以使学 生更积极参与到课堂中来,从而激发学生对数学学习 的兴趣和信心。一道数学题因思考的角度不同可得到 多种不同的解法,这有助于拓宽解题思路,提高学生分 析问题的能力;一道数学题通过联想、类比、推广, 可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,这 有助于学生应变能力的提高和发散思维的形成,增强 学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。一题 多解和一题多变犹如一座金桥, ,能把学生从已知的此 岸渡到未知的彼岸。


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