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2.1.1指数函数及其性质


§2.1.2指数函数及其性质 (第一课时)

复习
学习函数的一般模式(方法):

解析式(定义)
图像 性质 应用
①定义域 ②值域 ③单调性

数形结合 分类讨论

④奇偶性
⑤其它

问题 引入
问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分 裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 ( )x 尺 2

提炼

1 x y?2 y ?( ) 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

(1)均为指数幂的形式

(2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.

定义 :
一般地,函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

一般地,函数y ? a (a ? 0, a ? 1)叫做指数
x

函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。
指数函数是形式化的概念,要判断一个函数 是否是指数函数,需抓住三点: ①底数大于零且不等于1; ②幂指数有单一的自变量x; ③系数为1,且没有其他的项.

思考: (1)为什么规定底数a >0且a ≠1 呢? (2) 为什么定义域为R?

认识

y?a 关于底数a范围的说明:
x

x

? a ? 0, a ? 1?

(1)a ? 0时

当x>0时,a =0!

当x ? 0时,a x无意义! (2)a ? 0时 对于x的某些数值,可使ax无意义!

(3)a ? 1时 对于x ? R,都有ax ? 1! 是一个常量, 没有研究的必要!
a 都有意义, 在规定以后,对于任何x ? R, 且 a x >0. 因此指数函数的定义域是R, 值域是(0,+∞).
x

1 如y ? (?2) 在x ? 处无意义 ! 2
x

例题
(口答)判断下列函数是不是指 数函数,为什么?



y?x

2

√⑤

x

y ??

x

√②

y ?8

x

√ ③ y ? (2a ? 1)


1 ( a ? 且 a ?1 ) 2


y ?5

2 x 2 ?1

y ? (?4)

x

y?x

x
x



y ? ?10

例题
已知指数函数 f ? x ? ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3? 的值.
x

分析:指数函数的图象经过点 有 f ?3? ? ? , 1 3 即 a ? ? ,解得 a ? ? 3 x 于是有 f ? x ? ? ? 3
所以:
0 1 3 3

?3,? ?


想一想

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?
?1

1 f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π

设问2:得到函数的图象一般用什么方法?
列表、描点、连线作图 在同一直角坐标系画出 的图象:

y?2

x

?1? y?? ? , ?2?

x

x
y ? 2x



-3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3





0.13

0.25

0.35

0.5

0.71

1

1.4

2

2.8

4

8



x
1 y ? ( )x 2



-3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3





8

4

2.8

2

1.4

1

0.71

0.5

0.35

0.25

0.13



8

7

6

?1? y?? ? ?2?

x

5

y?2

x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

认识

归纳

指数函数在底数 0 ? a ? 1 及 情况下的图象和性质:

a ? 1 这两种 a ?1
y y=ax
(a>1)

0 ? a ?1
y

y=ax
(0<a<1)

图 象
0

(0,1)

y=1 y=1

(0,1)

x

0

x

(1)定义域:R

性 质

(2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1)即x=0时,y=1

(4)在R上是减函数

(4)在R上是增函数

应用
1、求下列函数的定义域:

1 x?2 y?( ) . 3

y ?5

3 x ?2

应用
2、比较下列各题中两个值的大小:
3 1.6

2.5 3?0.2 ?0.1 0.1 ?0.2 0.2 ? 0.1 2.5 3 ? ? 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; ?0.8 , 0.8 ? ;? 7 ; ?? 2?

3

3?1.8 ?4 1.7

1.6 0.3 1.6

, , 2.3 0.9

1.6 3.1 1.6

? 4 ?1.7 ;

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

2 0.7 ? 2 ? ? ? 0.7 1.5 ,1.3 , ? 1.3 ? ,5 ? ? ? ? ?3? ? 3( ? 1)(2)利用指数函数的单调性 分析: .
0.7

1 3?0.2 ?0.2

1 1 3 3

(3) 找中间量是关键.

应用
(1)1.7 2.5 <

1.7

3

解: ∵函数 y ? 1.7 x在R上是增函数, 而指数2.5<3. ∴

1.7 2.5< 1.7 3
5 4.5 4 3.5 3

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

0.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-0.5

应用
?0.1 ?0.2 ( 2) 0.8 < 0.8

解: ∵函数 y ? 0.8x在R上是减函数, 而指数-0.1>-0.2 ∴

0.8

?0.1

? 0.8

?0.2
1.8

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

应用
(3)1.7 0.3

0.9

3.1

解:根据指数函数的性质,得:

1.70.3 ? 1.70 ? 1 且 0.93.1 ? 0.90 ? 1
从而有
3.2
3.2

1.7

0.3

? 0.9

3.1

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2
2.2

2
2

1.8

f?x? = 1.7x

1.8

f?x? = 0.9x

1.6
1.6

1.4
1.4

1.2
1.2

1
1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

应用
比较下列各题中两个值的大小:
3

2.5 3?0.2 ?0.1 0.1 ?0.2 0.2 ? 0.1 2.5 3 ? ? 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; ?0.8 , 0.8 ? ;? 7 ; ?? 2?

3

1.6

3?1.8 ?4 1.7

1.6 0.3 1.6

, , 2.3 0.9

1.6 3.1 1.6

? 4 ?1.7 ;

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

方法总结: 2 0.7 ? 2 ? ? ? 0.7 1.5 ,1.3 , ? 1.3 ? ,5 ? ? ? ? 3? ? 3 ? ? 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的
0.7

1 3?0.2 ?0.2

1 1 3 3

单调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值;对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较.

变式
比较下列各题中两个值的大小:
?4

(1)4 ,0.25

5

(2)2.1 ,3.1

3.4

3.4

小 结 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小 比较,可以利用指数函数的单调性来判断.

(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小 比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两 个幂 的大小比较,则应通过中间值 来判断.常用1和0.

练习
1.下列函数中一定是指数函数的是( )

A. y ? 2 x?1
C. y ? 2
?x

B. y ? x 3 x D. y ? 3 ? 2

0.7 0.9 0.8 a ? 0 . 8 , b ? 0 . 8 , c ? 1 . 2 , 2.已知

则 a, b, c 的大小关系是____________________.

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质

2.如何记忆函数的性质?

数形结合的方法记忆 y
y ? 2x
2

3.记住两个基本图形:

1 x y?( ) 2

1

y=1
2

-2

-1

o1

x


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