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高中必修1-5错误解题分析系列-《5.5推理与证明》


5.5 一、基础知识导学

推理与证明

1. 推理一般包括合情推理和演绎推理. 2. 合情推理:根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的 结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用 的思维方法. 3. 归纳推理:根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这 种性质的推理. 4. 归纳推理的一般步骤:⑴通过观察个别情况发现某些相同性质;⑵从已知的相同性质中 推出一个明确表达的一般性命题(猜想). 5. 类比推理:根据两类不同事物之间具有某些类似性,推出其中一类事物具有另一类事物 类似的性质的推理. 6. 类比推理的一般步骤:⑴找出两类事物之间的相似性或一致性;⑵从一类事物的性质去 推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想). 7. 演绎推理:根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理. 8. 直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;间接证明的一种基本方法──反证法. 9. 分析法:从原因推导到结果的思维方法. 10. 综合法:从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法. 11. 反证法:判定非 q 为假,推出 q 为真的方法. 12. 应用反证法证明命题的一般步骤:⑴分清命题的条件和结论;⑵做出与命题结论相矛盾 的假定;⑶由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;⑷间接证明命题为真. 13. 数学归纳法:设{pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果⑴证明起始命题 p1 成立; ⑵在假设 pk 成立的前提上,推出 pk+1 也成立,那么可以断定, n}对一切正整数成立. {p 14. 数学归纳法的步骤:

(1)证明当

(如

或 2 等)时,结论正确;

(2)假设

时结论正确,证明

时结论也正确.

二、疑难知识导析 1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质, 推出这类事物的所有对象都具有这种 性质的推理. 而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性, 推出其中一类事物具有另一类事 物类似的性质的推理. 2. 应用反证法证明命题的逻辑依据:做出与命题结论相矛盾的假定,由假定出发,应用正 确的推理方法,推出矛盾的结果 3. 数学归纳法是一种证明方法,归纳推理是一种推理方法. 三、经典例题导讲 [例1] { a n }是正数组成的数列,其前n项和为 s n ,并且对于所有的自然数 n , a n 与2的等差 中项等于 s n 与2的等比中项.

(1)写出数列{ a n }的前3项; (2)求数列{ a n }的通项公式(写出推证过程); 错解:由(1)猜想数列{ a n }有通项公式 a n =4 n -2. 下面用数学归纳法证明数列{ a n }的通项公式是
a n =4 n -2.

( n ∈N).

①当 n =1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出 a 1 =2,所以上述结论成立. ②假设n=k时结论成立,即有 a k =4 k -2.由题意,有 将 a k =4 k -2代入上式,得 2 k ?
sk ? 2k
2

ak ? 2 2

?

2sk

2 s k ,解得

由题意,有

a k ?1 ? 2 2

?

2 s k ?1 , s k ?1 ? s k ? a k ?1

将 s k ? 2 k 2 代入,化简得
a k ? 1 ? 4 a k ? 1 ? 4 ? 16 k
2 2

? 0

解得 a k ? 1 ? 2 ? 4 k .∴ a k ? 1 ? 2 ? 4 k ? 4 ( k ? 1 ) ? 2 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立. 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍. 正解:由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2. 猜想数列{ a n }有通项公式 a n =4 n -2. 下面用数学归纳法证明数列{ a n }的通项公式是
a n =4 n -2.

( n ∈N).

①当 n =1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出 a 1 =2,所以上述结论成立. ②假设n=k时结论成立,即有 a k =4 k -2.由题意,有 将 a k =4 k -2代入上式,得 2 k ?
2 s k ,解得
ak ? 2 2 ?

2sk

sk ? 2k

2

由题意,有

a k ?1 ? 2 2

?

2 s k ?1 , s k ?1 ? s k ? a k ?1

将 s k ? 2 k 2 代入,化简得
a k ? 1 ? 4 a k ? 1 ? 4 ? 16 k
2 2

? 0

解得 a k ? 1 ? 2 ? 4 k .由 a k ? 1 ? 0 ∴ a k ? 1 ? 2 ? 4 k ? 4 ( k ? 1 ) ? 2 这就是说,当n=k+1时,上述结论成立. 根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立. [例2] 用数学归纳法证明对于任意自然数 ,

错解:证明:假设当 即 那么当

( k ? N)时,等式成立, , 时,

这就是说,当

时,等式成立.

可知等式对任意 k ? N 成立. 错因在于推理不严密,没有证明当 正解:证明:(1)当 (2)假设当 即 那么当 时, 时,左式 ( 的情况 . ,右式 )时,等式成立, , ,所以等式成立.

这就是说,当

时,等式成立.
?N

由(1)、(2),可知等式对任意 k
[例 3] 是否存在自然数 m , 使得

成立.
整除,

对任意自然数 , 都能被

若存在,求出

的最大值,并证明你的结论;若不存在,说明理由.

分析 本题是开放性题型,先求出 f (1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) ?再归纳、猜想、证明. 解: , , , ?? 猜想, (1)当 能被 36 整除,用数学归纳法证明如下: 时, ,能被 36 整除. 能被 36 整除.

(2)假设当 n ? k ,( k ? N)时, 那么,当 时,

由归纳假设, 当 为自然数时, ∴

能被 36 整除, 为偶数,则 能被 36 整除.

能被 36 整除,

这就是说当

时命题成立. , f ( n ) 都能被 36 整除. 整除,所以 36 为最大.

由(1)、(2)对任意 当

取大于 36 的自然数时, f (1 ) ? 36 不能被

[例 4] 设点 A 1 是曲线 C: ? 1 ( x ? 0 , y ? 0 ) 与直线 y ? x 的交点, A 1 点作直线 y ? x 过 xy 的垂线交 轴于 B 1 ,过 B 1 点作直线 y ? x 的平行线交曲线 C 于 A 2 ,再过 A 2 点作 B 1 A 2 的 垂线作交 X 轴于 B 2 ,如此继续下去可得到一系列的点 的横坐标 的通项公式. , ,?, ,?如图,试求

分析 本题并没有指明求 通过寻求 解:解法一 直线 直线 与

通项公式的方法,可用归纳——猜想——证明的方法,也可以 的通项公式. , , 与 令 )联立,解得 ,得 ,所以点 ( ),解得

的递推关系式求 与 (

的方程为 的方程为 , 所以点 (

联立,消元得 , ). ,

直线 令

的方程为 ,得 ?? ,所以点

同样可求得点



,0)

由此推测



,0),即

用数学归纳法证明 (1)当 时,由 点的坐标为( ,0),



,所以命题成立. 时命题成立, ,0),则当 的方程为 ( 可得 , 时, , )联立, ( ),

(2)假设当 即 由于直线 把它与 消去 ∴

于是 即点 ∴ 直线 令 即 ∴ 当 解法二 设点 建立 由数列 , 与 得, 点的坐标为( ,0) 的坐标为( 的方程为 , ).

时,命题成立. 的坐标分别为( 的递推关系 是等差数列,且 ( ), ,0)、( ,即 ,公差 . ,0), ,

可求得

用数学归纳法证明与自然数 n 有关的几何命题, k 过渡到 k+1 常利用几何图形来分 由 析图形前后演变情况. [例 5] 有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证: 这 n 个圆把平面分成 f(n)=n -n+2 个部分. 证明①当 n=1 时,即一个圆把平面分成二个部分 f(1)=2
2

又 n=1 时,n -n+2=2,∴命题成立 ②假设 n=k 时,命题成立,即 k 个圆把平面分成 f(k)=k -k+2 个 部分,那么设第 k+1 个圆记⊙O,由题意,它与 k 个圆中每个圆 交于两点,又无三圆交于同一点,于是它与其它 k 个圆相交于 2k 个点.把⊙O 分成 2k 条弧而每条弧把原区域分成 2 块,因此这平 面的总区域增加 2k 块,即 f(k+1)=k -k+2+2k=(k+1) -(k+1)+2 即 n=k+1 时命题成立. 由①②可知对任何 n∈N 命题均成立. 说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件,其关键是分析 k 增加“1”时,研究第 k+1 个 圆与其它 k 个圆的交点个数问题. [例 6] 已知 n≥2,n∈N
2 2 2

2

②假设 n=k 时,原不等式成立.

由①②可知,对任何 n∈N(n≥2),原不等式均成立.

四、典型习题导练
( n ? 3 )( n ? 4 ) 2

1.用数学归纳法证明等式“1+2+3+?+( n +3)=

(n

N)”,

当 n =1 时,左边应为____________. 2.已知数列{ a n }的前 n 项和 s n ? 2 n ? a n ,则{ a n }的前四项依次为_______,猜想
a n =__________.

3.已知数列 { a n }的各项都是正数 证明 a n ? a n ? 1 ? 2 , n ? N . 4.已知不等式
log n

, 且满足

: a 0 ? 1, a n ? 1 ?

1 2

a n , ( 4 ? a n ), n ? N .

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

?

1 2

[log

2

n ], 其中 n 为大于 2 的整数, [log

2

n ] 表示不超过

2

的 最 大 整 数 .
na

设 数 列 {a n } 证明 a n ?

的 各 项 为 正 , 且 满 足
2b

a 1 ? b ( b ? 0 ), a n ?

n ?1

n ? a n ?1

, n ? 2 ,3 , 4 , ?

2 ? b [log

, n ? 3 , 4 ,5 , ? .
2

n]

5. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能 * 力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N ,且 x1>0. 2 不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn 成正比, 这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (1)求 xn+1 与 xn 的关系式; (2)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? * (3)设 a=2,c=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N ,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论.


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