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江苏省常州市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题


常州市教育学会学生学业水平监测
高一数学(必修 1 必修 4)试题
注意事项: 1.本试卷满分 100 分,考试用时 120 分钟. 2.答题时,填空题和解答题的答案写在答题卡上对应题目的区域内,答案写在试卷上无效 . ......... 本卷考试结束后,上交答题卡. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分.不需要写出解答过程,请将答 案填写在答题卡相应的位置上 . ......... 6.已知函数 f ( x) ? a x ?1 ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 P ,则点 P 的坐标为 9.已知扇形的半径为 1cm,圆心角为 2rad,则该扇形的面积为 10.已知 a ? 3 2 , b ? log3
? 1

2016 年 1 月







cm2. ▲ .

1 1 , c ? log 1 ,则 a , b, c 按从大到小的顺序排列为 2 2 3

11.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ?)(? ? 0,0 ≤? ? π) 的部分图象如 图所示,则该函数的解析式为 f ( x) ? ▲ .

12. 在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,F 在线段 DC 上,

???? ??? ? ??? ? 且 CF ? 2 DF .若 AC ? ? AE? ? AF, ? , ? 均为实数,则

? ? ? 的值为

(第 11 题图) ▲ .

13.已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 6 的奇函数,当 x ? (0,3) 时, f ( x) ? lg(2x2 ? x ? m) . 若函数 f ( x) 在区间 [ ?3,3] 上有且仅有 5 个零点(互不相同) ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? 14.对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? 和 ? 之间的新运算 ? :? ? ? ? ?? ?? .已知非 ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? 3k , k ? Z} 中,且 | a |≥| b | .设 a 零的平面向量 a, b 满足:a ? b 和 b ? a 都在集合 {x | x ? 3 ? ? ? π π 与 b 的夹角 ? ? ( , ) ,则 (a ? b)sin ? = ▲ . 6 4 二、解答题:
? ? ? ? 3? c o s 2? ? 为第二象限角. 若 a ∥ b , 17. 已知向量 a ? (sin ? ,1) , 求 b ? (cos? , ?2) , ?3 a n t2 n s i 2?

?

的值.

高一数学试题

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18. (本小题满分 10 分) 某食品的保鲜时间 y(单位: 小时) 与储存温度 x(单位: ℃) 之间满足函数关系 y ? ekx?b ( e ? 2.718? 为自然对数的底数, k , b 为常数) .已知该食品在 0℃的保鲜时间为 160 小时,在 20℃的保鲜时间为 40 小时. (1)求该食品在 30℃的保鲜时间; (2)若要使该食品的保鲜时间至少为 80 小时,则储存温度需要满足什么条件?

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 4 ? log2 x , g ( x) ? log2 x .

1 (1)当 x ? ( ,8) 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域; 2
(2)若对任意的 x ? [1,8] ,不等式 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? kg ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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第 2 页 (共 7 页)

20. (本小题满分 12 分) A. 已知函数 f ( x) ? x2 ? mx? |1 ? x2 | (m ? R) . (1)若 m ? 3 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 (0, 2) 上有且只有 1 个零点,求实数 m 的取值范围.

1 B.已知函数 f ( x) ? 2 ? ??( x ? 0) . x

(1)当 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) 时,①求

1 1 1 2 ? 的值;②求 2 ? 2 的取值范围; a b a b

(2)已知函数 g ( x) 的定义域为 D ,若存在区间 [m, n] ? D ,当 x ? [m, n] 时, g ( x) 的值域 为 [m, n] ,则称函数 g ( x) 是 D 上的“保域函数” ,区间 [m, n] 叫做“等域区间”.试判 断函数 f ( x) 是否为 (0, ??) 上的“保域函数”?若是,求出它的“等域区间” ;若不 是,请说明理由.

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常州市教育学会学生学业水平监测
高一数学(必修 1 必修 4)参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分. 1. {1} 2.

1 2

3.

π 2

4. {?2,0}

5. 5 12.

6. (?1,0)

7.

1 3

8. (?2, 4] 14.

9. 1

10. c, a , b

π π 11. 3sin( x ? ) 4 4

7 5

1 9 13. ( ,1] ? { } 8 8

2 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 解: (1) A ? B ? {x | ?2 ≤ x ? 6} . (2)∵ A ? B ? {x |1 ? x ≤ 3} ,∵ x ? Z ,∴ C ? {2,3} . ∴集合 C 的所有子集为: ?,{2},{3},{2,3} . 16. (本小题满分 8 分) 解: (1)∵ cos ? ? ??????????2分 ??????????5分 ??????????8分

4 , ? 为锐角, 5
??????????2 分 ??????????4 分

4 3 ∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5

3 4 24 ∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? . 5 5 25
(2)∵ ? , ? 均为锐角,∴ ? ? ? ? (0, ? ) ,又∵ cos(? ? ? ) ?
5 12 ∴ sin(? ? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , 13 13

5 , 13
??????????6 分

∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ?

12 4 5 3 33 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
??????????8 分

17. (本小题满分 10 分)

? ? 7 7 1 解: (1)∵ a ? b ? ? ,∴ sin ?cos ? ? 2 ? ? ,∴ sin ? cos ? ? ? . ?????????2 分 3 3 3 5 ∴ (sin ? ? cos? )2 ? 1 ? 2sin ? cos? ? . 3
∵ ? 为第二象限角,∴ sin ? ? 0, cos ? ? 0 , ∴ sin ? ? cos ? ?
15 . 3

??????????4 分

??????????5 分 ??????????7 分

? ? 1 (2)∵ a ∥ b ,∴ ?2sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ tan ? ? ? . 2

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3 ? cos2 ? 3sin 2 ? ? 2cos2 ? 2 ? ? 3? ? 11 , sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ? 2tan ? 4 tan 2? ? ?? , 2 1 ? tan ? 3 3 ? cos2 ? ? 3tan 2? ? 11 ? 4 ? 7 . 3sin 2 ?

??????????8 分 ??????????9 分 ??????????10 分



18. (本小题满分 10 分)
? e b ? 160, ? 160 ? eb , ? 解: (1)由题意, ? ∴ ? 10 k 1 20 k ? b 40 ? e . ? ?e ? . ? 2

??????????2 分

1 ∴当 x ? 30 时, y ? e30k ?b ? (e10k )3 ? eb ? ?160 ? 20 . 8
答:该食品在 30℃的保鲜时间为 20 小时. (2)由题意 y ? ekx ?b ≥ 80 ,∴ ekx ≥ ∴ kx ≥ 10k .

??????????4 分 ??????????5 分 ??????????7 分

80 1 10k ? ?e , 160 2

1 由 e10 k ? 可知 k ? 0 ,故 x ≤ 10 . 2

??????????9 分

答:要使该食品的保鲜时间至少为 80 小时,储存温度不能超过 10℃. ??????10 分 19. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意, h( x) ? (4 ? log 2 x) ? log 2 x , 令 t ? log 2 x ,则 y ? ?t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 4 , ??????????2 分

1 ∵ x ? ( ,8) ,∴ t ? (?1,3) , y ? (?5, 4] 2
即函数 h( x) 的值域为 (?5, 4] . (2)∵ f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? kg ( x) ,令 t ? log 2 x ,则 t ? [0,3] ﹒ ∴ (4 ? 3t )(4 ? 2t ) ? kt 对 t ? [0,3] 恒成立. 令 ? (t ) ? (4 ? 3t )(4 ? 2t ) ? kt ? 6t 2 ? (k ? 20)t ? 16 , 则 t ? [0,3] 时, ? (t ) ? 0 恒成立. ∵ ? (t ) 的图象抛物线开口向上,对称轴 t ? ∴①当 ??????????6 分 ??????????5 分 ??????????4 分

k ? 20 , 12

k ? 20 ≤ 0 ,即 k ≤ -20 时,∵ ? (0) ? 0 恒成立, 12
??????????7 分
高一数学试题 第 5 页 (共 7 页)

∴ k ≤ -20 ;

②当

k ? 20 ≥ 3 ,即 k ≥ 16 时, 12 10 ,不成立; 3
??????????8 分

由 ? (3) ? 0 ,得 k ? ③当 0 ? 由 ?(

k ? 20 ? 3 ,即 ?20 ? k ? 16 时, 12

k ? 20 ) ? 0 ,得 ?20 ? 8 6 ? k ? ?20 ? 8 6 , 12
??????????9 分 ??????????10 分

∴ ?20 ? k ? ?20 ? 8 6 . 综上, k ? ?20 ? 8 6 . 20. (本小题满分 12 分) A: 解: (1)当 m ? 3 时, f ( x) ? x2 ? 3x? |1 ? x2 | .

3 17 ①当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x2 ? 3x ? 1 ? 2( x ? )2 ? . 4 8 3 3 ∴ f ( x) 在 (?1, ? ) 递减, 在 (? ,1) 递增. 4 4
②当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1 . ∴ f ( x) 在 (??, ?1) 和 (1, ??) 递增. ??????????4 分 ??????????2 分

3 3 综上, f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1) 和 (? , ??) ,单调递减区间为 (?1, ? ) . 4 4
??????????5 分 (2)∵ f ( x) 在区间 (0, 2) 上有且只有 1 个零点, ∴方程 x2 ? mx? |1 ? x2 | ? 0 在区间 (0, 2) 上有且只有 1 解, 即方程 m ? ??????????6 分

|1 ? x2 | ? x 在区间 (0, 2) 上有且只有 1 解, x

从而函数 y ?

|1 ? x2 | ? x, x ? (0,2) 图象与直线 y ? m 有且只有一个公共点. x

?????8 分

?1 ? 2 x, 0 ? x ? 1, ? ?x 作出函数 y ? ? 的图象, ? ? 1 , 1 ≤ x ? 2, ? ? x

1 结合图象知实数 m 的取值范围是: m ≥ ? 或 m ? ?1 . 2

??????????12 分

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B:
1 ?1 ? 2, 0 ? x ? , ? ?x 2 解: (1)由题意, f ( x) ? ? 1 1 ?2 ? , x? . ? x 2 ? 1 1 ∴ f ( x) 在 (0, ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数. ?????????1 分 2 2 1 1 1 ①∵ 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,∴ 0 ? a ? ? b ,且 ? 2 ? 2 ? , 2 a b



1 1 ? ?4. a b

?????????3 分

②由①知 ∴

1 1 ?4? , a b

1 2 1 2 3 8 1 4 32 , ? 2 ? (4 ? ) 2 ? 2 ? 2 ? ? 16 ? 3( ? ) 2 ? 2 a b b b b b b 3 3 1 1 2 32 ? 2 ,∴ 2 ? 2 ? [ ,16) . b a b 3

∵0?

?????????5 分

(2)假设存在 [m, n] ? (0, ??) ,当 x ? [m, n] 时, f ( x) 的值域为 [m, n] ,则 m ? 0 .

1 1 ∵ f ( ) ? 0 ,∴ ? [m, n] . 2 2
①若 0 ? m ? n ?

?????????7 分

1 1 ,∵ f ( x) 在 (0, ) 上为减函数, 2 2

?1 ? 2 ? n, ? ?m ∴? 解得 m ? n= 2 ? 1 或 m ? n= ? 2 ? 1 ,不合题意. ? 1 ? 2 ? m. ? ?n

?????????9 分

②若

1 1 ? m ? n ,∵ f ( x) 在 ( , ??) 上为增函数, 2 2

1 ? 2 ? ? m, ? ?m ? 1, ? m ∴? 解得 ? 不合题意. ?n ? 1. ?2 ? 1 ? n. ? n ?

?????????11 分

mn , ] 时, f ( x) 的值域为 [m, n] , 综上可知, 不存在 [m, n] ? (0, ??) , 当 x ?[ 即 f ( x) 不是 (0, ??)

上的“保域函数”.

?????????12 分

高一数学试题

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