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闸北区2015年高三数学理科二模试卷


闸北区 2014 学年度第二学期高三数学(理科)期中练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并 在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1. 2. 设幂函数 f ? x ? 的图像经过点 ?8,4 ? ,则函数 f ? x ? 的奇偶性为____________. 设复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i ,在复平面的对应的向量分别为 OA, OB ,则向量 AB 对应的复 数所对应的点的坐标为____________. 3. 已知定义域为 R 的函数 y ? f ? x ? 的图像关于点 ? ?1,0? 对称,y ? g ? x ? 是 y ? f ? x ? 的反函 数,若 x1 ? x2 ? 0 ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ___________. 4. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率为 c ,其中

a, b, c ? (0,1) .已知投篮一次得分的期望是 2,则 ab 的最大值是____________.

5.

6.

?2 n?1 ,1 ? n ? 2, n ? N, ? 设 an ? ? 1 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则 lim S n ? ___________. n?? , n ? 3 , n ? N . ? n ?3 ? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0, 设 函 数 f ( x) ? ? 若 存 在 互 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , x3 满 足 ? x ? 4, x ? 0.
f( 1 x) ? f (2 x ?)
n

f ,则 ( x )x1 ? x2 ? x3 的取值范围是_____________. 3

7.

1 ? ? 若二项式 ? x ? 则这个展开式中任取一项为有理项的 ? 展开式中只有第四项的系数最大, x? ?
概率是____________.

8.

从双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 引圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点为 T ,延长 a 2 b2

FT 交双曲线右支于点 P ,若 M 是线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO ? MT 的值是
____________.
1

9.

已知集合 U ?

?? x, y ? x ? R, y ? R? , M ? ?? x, y ? x ? y ? a? , P ? ?? x, y ? y ? f ? x ?? ,
CU M ? P ,则所有满足条件的函数 f ? x ? 的编号是___________.

现给出下列函数: ① y ? x?a ; ② y ? log a x ; ③ y ? sin ? x ? a ? ; ④ y ? cos ax . 若0 ? a ?1 时,恒有 P

10. 把正整数排列成如图 ? a ? 的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所 有偶数,可得到如图 ? b ? 的三角形数阵,现将图 ? b ? 中的正整数按从小到大的顺序构成一个 数列 ?an ? ,若 ak ? 2015 ,则 k ? __________ . 1 2 5 3 6 4 7 8 9 1 2 5 4 7 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36

?a?

?b?

二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11. 下列命题中,正确的个数是???????????????????????【 (1) 直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行; (2) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个; (3) 直四棱柱是直平行六面体; (4) 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. A、0 B、1 C、2 D 、3 】 】

12. 在极坐标系中,关于曲线 C : ? ? 4sin ? ? ? A、曲线 C 关于直线 ? ?

5? 对称 6 ? ?? C、曲线 C 关于点 ? 2, ? 对称 D、曲线 C 关于极点 ? 0, 0 ? 对称 ? 3? A C 的面积与 ?OAB 的 13. 已知 O 是正三角形 ABC 内部的一点,OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , 则 ?O
面积之比是???????????????????????????????【 A、 】

? ?

??

? 的下列判断中正确的是?????【 3? ? B、曲线 C 关于直线 ? ? 对称 3

3 2

B、

2 3
2

C、 2

D、 1

三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 如图, AB 是圆柱体 OO1 的一条母线,已知 BC 过底面圆的圆心 O ,

D 是圆 O 上不与点 B, C 重合的任意一点, AB ? 5 ,BC ? 5 ,CD ? 3 .
(1)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 旋转一周,求 ?ACD 的三边在旋 转过程中所围成的几何体的体积.

15. (本题满分 13 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 8 分) 如图所示,某市拟在长为 8km 道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段

OSM ,该曲线段为函数 y ? Asin ? x ? A ? 0, ? ? 0? ? x ? ? 0, 4 ? ? 的图像,且图像的最高点为

S 3, 2 3 ,赛道的后一部分为折线段 MNP ,且 ?MNP ? 120 .
(1)求 M 、 P 两点间的直线距离; (2)求折线段赛道 MNP 长度的最大值.

?

?

16. (本题满分 14 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 9 分)
2 已知圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 8 , 点 C2 ?1 , 0 2

点 Q 在圆 C1 上运动,QC2 的垂直平分线交 QC1 于 ?,

点P . (1)求动点 P 的轨迹 W 方程; (2)过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,在 y 轴上是否存在定点

? ?

1? 3?

D ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,请求出点 D 的坐标;若不存在,请说
明理由.

3

17. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 9 分) 设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D , 值域为 A , 如果存在函数 x ? g ? t ? , 使得函数 y ? f ? ? g ?t ?? ? 的值域仍是 A ,那么称 x ? g ? t ? 是函数 y ? f ? x ? 的一个等值域变换. (1)判断下列函数 x ? g ? t ? 是不是函数 y ? f ? x ? 的一个等值域变换?说明你的理由; ① f ? x ? ? log2 x, x ? 0 , x ? g ? t ? ? t ? , t ? 0 ; ② f ? x ? ? x2 ? x ? 1, x ? R , x ? g ?t ? ? 2t , t ? R . (2)设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,值域为 A ,函数 g ? t ? 的定义域为 D1 ,值域为 A 1, 那么“ D ? A1 ”是否为“ x ? g ? t ? 是 y ? f ? x ? 的一个等值域变换”的一个必要条件? 请说明理由; (3)设 f ? x ? ? log2 x 的定义域为 x ? ? 2,8? ,已知 x ? g ? t ? ?

1 t

mt 2 ? 3t ? n 是 y ? f ? x? 的 t2 ?1

一个等值域变换,且函数 y ? f ? ? g ?t ?? ? 的定义域为 R ,求实数 m、n 的值.

18. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 我们把一系列向量 ai ? i ? 1, 2,

, n ? 按次序排成一列,称之为向量列,记作 an ,已知向量
1 ? xn?1 ? yn?1 , xn?1 ? yn?1 ? ? n ? 2? . 2

? ?

列 an 满足: a1 ? ?1,1?, an ? ? xn , yn ? ? (1)证明:数列 an 是等比数列;

? ?

? ?

(2)设 cn ? an ? log 2 an ,问数列 ?cn ? 中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存 在,请说明理由; ( 3 )设 ?n 表示向量 an?1 与 an 间的夹角,若 bn ?

n2

?

? n ,对于任意正整数 n ,不等式

1 1 ? ? bn ?1 bn? 2

?

1 1 ? loga ? 1? 2 a ? 恒成立,求实数 a 的范围. b2 n 2
4

理科答案
一. 填空题 1、偶函数; 6、 ? ?1,6? 二. 选择题 11、B 三.解答题 14、 (1) arcsin (2) 15? 15、 12、A 13、B 2、 ? ?1,1? 7、 3、 ?2 8、 b ? a 4、

1 6

5、

55 18

4 7

9、①②④

10、1030

3 2 10

?????????????????????5 分

????????????????????????7 分

解(1)依题意,有 A ? 2 3 又

????????????????1 分

T 2? ? 3 , 而T ? , 4 ?

?? ?

?
6

?????????1 分

?y ?2 3 sin x 6

?

3? M ? 4 , 3 当 x ? 4 时, y ? 2 3 s i n ? , ? ,又 P ?8 , 0 ?

2? 3

?MP ? 42 ? 32 ? 5

???????????????3 分

(2)解:法一:在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5 . 设 ?PMN ? ? ,则 0 ? ? ? 60 .??????????????1 分 由正弦定理得

10 3 MP NP MN sin ? , ,? NP ? ? ? 3 sin120 sin ? sin ? 60 ? ? ?

MN ?

10 3 sin ? 60 ? ? ? ,????????????????????3 分 3 10 3 10 3 10 3 sin ? ? sin ? 60 ? ? ? ? sin ?? ? 60 ? ??3 分 故 NP ? MN ? 3 3 3
5

0 ? ? ? 60 ,? 当 ? ? 30 时,折线段赛道 MNP 最长为
解法二 : (2)在 ?MNP 中, ?MNP ? 120 , MP ? 5.
2 2 2

10 3 .?????2 分 3

由余弦定理得 MN ? NP ? 2MN ? NP ? COS ?MNP ? MP , 即 MN ? NP ? MN ? NP ? 25 ;??????????3 分
2 2

3 2 ? MN ? NP ? 故 ? MN ? NP ? ? 25 ? MN NP ? ? ? ,从而 4 ? MN ? NP ? ? 25 ?4 分 2 ? ? 10 3 即 MN ? NP ? ,当且仅当 MN ? NP 时等号成立.??????2 分 3 10 3 亦即,设计为 MN ? NP 时,折线段赛道 MNP 最长为 . 3
2

2

注:本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计 方法, 还可设计为: ①N?

? 12 ? 3 9 ? 4 3 ? ?1 2?39 4 ?3 , , ; ②N? ? ? 2 ? ? 6 ? 6 ? ? 2

? ③点 N ? ?; ?

在线段 MP 的垂直平分线上等. 16、 (1)

QC2 的垂直平分线交 QC1 于点 P ,? PQ ? PC2 .??????1 分
PC 2 ? PC 1 ? PQ ? P ? 1C Q 2 ? 2 1 C ?
1

C 2 ? , 2 C

所以动点 P 的轨迹 W 是以点 C1 、 C2 为焦点的椭圆.??????????2 分 设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 则 2a ?2 2 ,2c ? 2 , 2 a b

x2 ? y 2 ? 1 ??????????????????????2 分 故椭圆的标准方程为 2
? y ? kx ? 3 1 (2) 直线 l 的方程为 y ? kx ? ,联立直线和椭圆的方程得 ? ,即 ? 2 3 2 ?x ? ?2 ? y ?1 ? 1

1? ? 9 ?1 ? 2k 2 ? x2 ?12kx ?16 ? 0 ,易知点 S ? 0, ? ? 在椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交于两点. ?1 分 3? ? 4k 16 , x1 x2 ? ? 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ,????????2 分 2 3 ?1 ? 2k ? 9 ?1 ? 2k 2 ?

假设在 y 轴上存在定点 D ? 0, m ? 满足题设,则 DA ? ? x1 , y1 ? m? , DB ? ? x2 , y2 ? m? . 因为以 AB 为直 径的圆恒过点 D,则 DA ? DB ? ? x1 , y1 ? m? ? ? x2 , y2 ? m? ? 0 .????????2 分 1 1 即 x1x2 ? ? y1 ? m?? y2 ? m? ? 0 ?*? ,因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? , 3 3 所以(*)变为 1? ? 1? 1 1? ? ? x1x2 ? ? y1 ? m?? y2 ? m? ? x1x2 ? y1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? ? m2 ? x1x2 ? ? kx1 ? ? ? ? kx2 ? ? ? m ? kx1 ? ? kx2 ? ? ? m2 3? ? 3? 3 3? ? ?
2 2 2 2 1 ?18m ? 18? k ? ? 9m ? 6m ? 15? ?1 ? 2 .???3 分 ? ? k 2 ? 1? x1 x 2? k ? ? m ? ? x ? x ? m ? m ? ? 1 2? 3 9 9 ? 2k 2 ? 1? ?3 ?

6

?18m2 ? 18 ? 0 ? 由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,即 ? 2 ,解得 m ? 1 . 因此, ? ?9m ? 6m ? 15 ? 0 在 y 轴上存在点 D,点 D 的坐标为 ? 0,1? ??????????????????3 分

17、 (1)①不是??????????????????????????2 分
1? 3 3 ? ?3 ? ② f ? x ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ? ,即 f ? x ? 的值域为 ? , ?? ? , 2? 4 4 4 ? ? ? ? t 1? 3 3 ?3 ? 当 t ?R 时, f ? ? g ?t ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ? 4 ,即 y ? f ? ? g ?t ?? ? 的值域仍为 ? 4 , ?? ? ,所以 x ? g ? t ? ? ? ? ?
2 2

是 f ? x ? 的一个等值域变换.??????????????????2 分 (2)不必要性的反例:
f ? x ? ? x2 , D ? R, B ? ?0, ?? ? g ?t ? ? 2t ?1, D1 ? R, B1 ? ? ?1, ???
t 此时 B1 ? D ,但 f ? ? g ? t ?? ? ? ? 2 ? 1? 的值域仍为 B ? ?0, ?? ? , 2

即 g ? t ? ? 2t ? 1? x ? R ? 是 f ? x ? ? x2 ? x ? R ? 的一个等值域变换.(反例不唯一)??????3 分 (3) f ? x ? ? log2 x 定义域为 ? 2,8? ,因为 x ? g ? t ? 是 f ? x ? 的一个等值域变换,且函数 f ? ? g ? t ?? ? 的定 义域为 R ,所以 x ? g ? t ? ?
2? mt 2 ? 3t ? n , t ? R 的值域为 ? 2,8? ,????????2 分 t 2 ?1

mt 2 ? 3t ? n ? 8 ? 2 ? t 2 ? 1? ? mt 2 ? 3t ? n ? 8?t 2 ? 1? ,??????????????1 分 2 t ?1

?2 ? m ? 8 ? 所以,恒有 ??1 ? 9 ? 4 ? m ? 2 ?? n ? 2 ? ? 0 ,??????????????????3 分 ? ?? 2 ? 9 ? 4 ? m ? 8 ?? n ? 8 ? ? 0

? 3 3 ?m ? 5 ? ? 2 解得 ? .??????????????????????????3 分 ?n ? 5 ? 3 3 ? ? 2

18、 (1) an ?

? 数列 an 是等比数列

? ?

1 2

? xn?1 ? yn?1 ? ? ? xn?1 ? yn?1 ?
2

2

?

2 2 xn?12 ? yn?12 ? an?1 2 2

??????????????????3 分
7

(2)

? 2? an ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
假设

n?1

?2

2? n 2

, ? cn ?

n 2 ? n 2? 2 ? 2 2

??????2 分

2 , c2 ? 0 ,? 0 ? c2 ? c1. 2 n?1? n 2 ? ? n ? 1? 2??2 2 ? n 2? 当 n ? 3 时,有 cn ? 0 ,又由 cn ? cn?1 可得 , ?2 2 ? ?2 2 2 2 1 ? 2?n ? 2?n? 1 2 ? 2 ,? 即 ? ? . 1? n ? 1? n ? 2

?cn? 中的第

n 项最小,由 c1 ?

n2 ? 6n ? 7 ? 0 , n ? 3 ? 2 或 n ? 3 ? 2 (舍) ,? n ? 5 .????2 分 即有 c5 ? c6 ? c7 ? ; 由 cn ? cn?1 ,得 3 ? n ? 5 ,又 0 ? c2 ? c1 ,?c5 ? c4 ? ? c1 ;??????2 分
故数列 ?cn? 中存在最小项,最小项是 c5 ? ? (3)

3 ?3 ? 2 2 ????????????1 分 2

cos? n ?

an?1 ? an an?1 ? an

?

? 2 ,?? n ? ??????????????1 分 4 2

n2 ? bn ? ????????????????????????1 分 4 2 2 2 1 ? ? ? ? log 3 ?1 ? 2a ? 对任意正整数 n 恒成立. 不等式化为: n ?1 n ? 2 2n 2 2 2 2 ? ? 设 Tn ? . n ?1 n ? 2 2n 2 2 2 2 2 又 数列 ?Tn? 单 Tn?1 ? Tn ? ? ? ? ? ? 0, 2n ? 1 2 ? 1n? 2 2 ? n ? ?1 n ? 1 n 2
调递增????????????????????2 分

1 ??Tn ?min ? T1 ? 1 ,要使不等式恒成立,只要 1 ? log 3 ?1 ? 2a ? ,??1 分 2 1 1? 2 a? 0 ? 0 ? a ? , 1 ? 2a ? a 2 ,? 0 ? a ? 2 ? 1 , 2 所以,使不等式对于任意正整数恒成立的 a 的取值范围是 0, 2 ? 1 . ????2 分

?

?

8


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