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数列2教师版 - 副本


2015-2016 学年高三数学限时练
考试范围:数列与等差数列 命题人:李志娜 审核人:李萌 考试时间:2015.9.8 ) D、 a n = 3n+3 1.数列 2,5, 2 2,11 的一个通项公式是( A、 a n = 3n-3 【答案】B 【解析】试题分析:根据题意,由于数列 B、 a n = 3n-1 C、 a n = 3n+1

2,5, 2 2,11 的 前 几 项 可 以 变 形 为

2,5,8,11, ,被开方数构成了以 2 为首项,公差为 3 的等差数列,故可知其通项
公式是 a n = 3n-1 ,选 B. 考点:数列的通项公式 点评:解决的关键是对于已知中各个项的变换规律,由于否是偶次根号下的数,那么可 知数字构成了等差数列,属于基础题。 2.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 【答案】C 【解析】 试题分析: (B)21 (C)28 )

(D)35

? a3 ? a4 ? a5 ? 12 ?3a4 ? 12 ?a4 ? 4 ? a1 ? ? ? a7 ?
考点:等差数列性质

7 ? a1 ? a7 ? ? 7a4 ? 28 2

点评:等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 3.设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项的和为( A.128 【答案】C 【解析】 试题分析: S8 ? B.80 C.64 D.56 )

8(a1 ? a8 ) 8(a2 ? a7 ) ? ? 4 ? (3 ? 13) ? 64 . 2 2
2

考点:等差数列的前 n 项和,等差数列的性质. 4.在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 a n ?1 - a n ( ) A -2 【答案】A 【解析】 B 0 C 1 + a n-1 =0(n≥2) ,则 S 2 n -1 -4n= D 2

试题分析:因为 a n ?1 - a n

2

+ a n-1 =0,所以 a n ?1 + a n-1 =a n
2

2

,又因为数列是等差数列,

所以 a n ?1 + a n-1 =2a n ,所以 a n

=2a n ,因为该数列各项都不为零,所以 a n =2,所以

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S 2 n -1 -4n=-2. 考点:本小题主要考查等差数列的性质和应用。 点评:解决此小题的关键是灵活应用等差数列的性质得出 a n =2,等差数列的性质是高 考中一个热点问题,要给予充分的重视. 5.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a9 ?

?
3

,则 cos( a3 ? a7 ) 的值为(



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

【答案】A 【解析】 试题分析:由等差数列性质可知 a1 ? a9 ? a3 ? a7 ? 考点:等差数列性质 6.在数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , 2an?1 ? 2an ? 1 ,则 a101 的值为( A.49 【答案】D B.50 C.51 ) D.52

?
3

? cos ? a3 ? a7 ? ? cos

?
3

?

1 2

因为2an ?1 ? 2an ? 1, an ?1 ? an ?
【解析】

1 ? d 所以为等差数列, 2

a101 ? a1 ? (101 ? 1)

1 ? 52。 2


7.等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 ,若 an ? 298 ,则 n ? ( (A) 99 【答案】B 【解析】 (B) 100 (C) 101

(D) 102

试题分析:因为 a1 ? 1 , d ? 3 ,所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? 1 ? 3? n ?1? ? 3n ? 2 ,所以

an ? 3n ? 2 ? 298 ? n ? 100 .故选 B.
考点:等差数列的通项公式 8.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3 10 1 3 1 8

S3 1 S ? ,则 6 ? ( S6 3 S12
D. 1 9



A.

B.

C.

【答案】A 【解析】 试题分析:若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 也是等差 数列;所以 S3 , S 6 ? S 3 , S9 ? S 6 ,? 也是等差数列,由

S3 1 ? 可设 S 3 ? t ,则 S6 ? 3t , S6 3

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于是可得 t ,3t ? t ? 2t ,3t ,4t ,?,即 S12 ? t ? 2t ? 3t ? 4t ? 10t ,所以 考点:本小题主要考查等差数列前 n 项和的性质.

3t 3 S6 ? . ? S12 10 t 10

9.等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn





a Sn 2n ,则 5 ( ? b5 Tn 3n ? 1



A.

2 3

B.

9 14

C.

20 31

D.

7 9

【答案】B 【解析】本题考查等差数列的性质,前 n 项和公式及推理能力. 在等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? 2k , (m, n, k ? N ), 则 am ? an ? 2ak ;

9(a1 ? a9 ) a5 2a5 a1 ? a9 S 2?9 9 2 ? ? ? ? 9 ? ? . 故选 B b5 2b5 b1 ? b9 9(b1 ? b9 ) T9 3 ? 9 ? 1 14 2
10 . 等 差 数 列 {an } 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 (a1006 ?1)3 ? 2013(a1006 ? 1) ? 1,

(a1008 ?1)3 ? 2013(a1008 ?1) ? ?1, 则(
A. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 C. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006 【答案】B 【解析】

) B. S2013 ? 2013, a1008 ? a1006 D. S2013 ? ?2013, a1008 ? a1006

试题分析:因为 (a1006 ?1)3 ? 2013(a1006 ?1) ? 1, (a1008 ?1)3 ? 2013(a1008 ?1) ? ?1, 两式相 加得

(a1006 ? a1008 ? 2) (?a1006 ? 1? ? ?a1006 ? 1??a1008 ? 1? ? ?a1008 ? 1? ? 2013 )?0
2 2

, 故

a1008 ? a1006 ? 2
所 以 S 2013 ?

a1006 ? a1008 ? 2013? 2013 , 又 两 式 相 减 , 易 得 a1006 ? 1 ? 0 , 2

a1008 ? 1 ? 0 ,故 a1006 ? a1008 ,选 B.
考点:等差数列 点评:本题多项式为载体考查等差数列,关键是能结合等式合理变形得出

a1008 ? a1006 ? 2 ,从而求解,属中档题.
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25 11.一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的为 2 ,偶数项的和为 15,则这个数列的
第六项是() A. 3 B. 4 【答案】A C. 5 D.6

【解析】设公差为 d,则由题意可得 5a1+

5? 4 25 5? 4 ×2d= ,5(a1+d)+ ×2d=15, 2 2 2

求出首项 a1 和公差 d 的值,即可得到这个数列的第 6 项. 解:设公差为 d,则由题意可得 5a1+ 解得 a1=

1 1 1 1 ,d= ,∴an= + 2 2 2 2

5? 4 25 5? 4 ×2d= ,5(a1+d)+ ×2d=15, 2 2 2 n (n-1)= ,n∈N+, 2

∴这个数列的第 6 项是 3, 故答案为 A.

12. 在数列 ?an ? 中,an ? 0 , 且满足 a n ? A.递增等比数列 C.递减数列 【答案】B 【解析】解:因为 a n ?

?1? 3a n?1 (n ? 2) , 则数列 ? ? 是 ( 3 ? 2a n ?1 ? an ?



B.递增等差数列 D.以上均不对

3a n ?1 1 2 1 1 ? ? ? ?{ } 是递增等差数列,选 B 3 ? 2a n ?1 a n 3 a n ?1 an


13.设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为 2,则 d 等于( A.1 B.2 【答案】C 【解析】 试题分析: C.±1 D.±2

解析: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的平均数为

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a3 ,它们的方差为 5

1 2 ? 2(a1 ? a3 ) 2 ? 2(a2 ? a3 ) 2 ? ? ? 2 , 即 2d ? 2 , ∴ d ? ?1 ,故选 C. 5?
考点:等差数列的性质,方差的计算公式。 点评:简单题,等差数列中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq 。 14.下面 4 个结论中,正确结论的个数是( )

① 若 数 列 ?a n ? 是 等 差 数 列 , 且 am ? an ? as ? at (m、n、s、t ? N*) , 则

m? n ? s ?t;
②若 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项的和,则 S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 成等差数列; ③若 S n 是等比数列 ?a n ? 的前 n 项的和,则 S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 成等比数列; ④若 S n 是等比数列 ?a n ? 的前 n 项的和,且 S n ? Aq ? B ; (其中 A、B 是非零常数,
n

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n ? N *) ,则 A ? B 为零.
A.4 【答案】C 【解析】 B.3 C.2 D.1

S n,S 2n ? S n,S3n ? S 2n 试题分析: ①不正确, 当数列为常数列时可能不正确, ②正确,
由通项公式展开即可证明,③不正确,若数列为摆动数列 ?1,1, ?1,1? 时, Sn 有可能为 0,不构成等比数列,③由等比数列前 n 项和公式可知正确 考点:等差等比数列性质 15 . 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, 前 n 项 和 为 Sn , 且 点 P(an , an?1)(n ? N * ) 在 直 线

x ? y ? 1 ? 0 上,则
A.
2n n ?1

1 1 1 1 =( ? ? ??? S1 S2 S3 Sn
C.
n( n ? 1) 2



B.

2 n(n ? 1)

D.

n 2(n ? 1)

【答案】A 【解析】解:因为数列的首项为 1,且有

a n ? a n ?1 ? 1 ? 0 ? a n ?1 ? a n ? 1 ?an ? n ? Sn ? ? (1 ? n)n 1 1 1 ? ? 2( ? ) 2 Sn n n ?1

1 1 1 1 2n ? ?? ? ? 2(1 ? )? S1 S2 Sn n ?1 n ?1
( )

16.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2n ,那么 a2003 的值是 A. 2003
2

B. 2002 ? 2001 D. 2003 ? 2004

C. 2003 ? 2002 【答案】C

【解析】? an?1 ? an ? 2n,?an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?? (an ? an?1 )

? 0 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? n(n ? 1) , 所 以 a2003 ? 2003(2003 ?1) ? 2003 ? 2002 ,
故应选 C. 17.数列 ?an ?中, an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,且 a10 ? 8 ,则 a4 ? ( )

A.

1 81

B. ?

80 81

C.

1 27

D. ?

26 27

【答案】 B 【解析】由 an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,得 an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) , an ? 1 ? (a10 ? 1)3n?10

? an ? 3n?8 ? 1, a 4 ? 3?4 ? 1 ? ?

80 . 81

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18.数列 ?an ?满足 an+an+1 = 值为( A. )

1 (n≥1,n ? N),a2=1,Sn 是 ?an ?的前 n 项的和,则 S21 的 2
C.6 D.10

9 2

11 2

【答案】A.

1 1 1 1 及 a2=1,得数列前几项为 ? ,1,? ,1,? ,1, ? ,知数列为周期 2 2 2 2 1 1 9 数列,周期为 2,故得 S21= ? 10 ? (? ) ? ,故选 A 2 2 2
【解析】由 an+an+1=

19.已知数列{an}满足 an = nk (n∈N ,0 < k < 1),下面说法正确的是( ①当 k ? ②当
1 时,数列{an}为递减数列; 2

n

*

)

1 ? k ? 1 时,数列{an}不一定有最大项; 2 1 时,数列{an}为递减数列; 2

③当 0 ? k ? ④当

k 为正整数时,数列{an}必有两项相等的最大项. 1? k

A.①② 【答案】C 【解析】

B.②④

C.③④

D.②③

试题分析: 选项①: 当k ?

1 1 n 1 1 1 时,an ? n ? ( ) , 有 a1 ? ,a2 ? 2 ? ? , 则 a1 ? a2 , 2 2 2 4 2

即数列 {an } 不是递减数列,故①错误;

an?1 (n ? 1) ? k n?1 k (n ? 1) 1 k (n ? 1) ? 2k ,所 选项②:当 ? k ? 1 时, ,因为 k ? ? ? n 2 n an n?k n
以数列 {an } 可有最大项,故②错误; 选项③:当 0 ? k ?

a (n ? 1) ? k 1 时, n?1 ? 2 an n?kn

n ?1

?

k (n ? 1) n ? 1 ? ? 1,所以 an?1 ? an , n 2n

即数列 {an } 是递减数列,故③正确;

an?1 (n ? 1) ? k n?1 k (n ? 1) k 1 1 选项④: , 当 为正整数时,1 ? k ? ; 当 k ? 时, ? ? n 1? k 2 2 an n?k n
a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ??? ; 当
1 k m ? k ?1 时 , 令 ? m? N? , 解 得 k ? , 2 1? k 1? m

an?1 m(n ? 1) ,数列 {an } 必有两项相等的最大项,故④正确. ? an n(1 ? m)
所以正确的选项为③④. 考点:数列的函数特征.
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20.已知 an ?

3 (n ? N ? ), 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,即 2n ? 5
)

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则使 Sn ? 0 的 n 的最大值为 (
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

【答案】C 【解析】本题考查函数与数列的关系、数列、对称等知识。 因 为 函 数 f ( x) ?

3 5 图 象 关 于 点 P ( ,0 ) 成 中 心 对 称 , 故 ? 2 2x ? 5 x ? 5 2 5 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 , 即 S4 ? 0 , 由 图 像 易 知 f ( x) 在 ( ,?? ) 上 单 调 递 减 , 且 2

3 2

a5 ? a6 ? ? ? an ? 0 ,所以 n 的最大值为 4.

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