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指数函数(1)根式


2.1.1

指数与指数幂的运算

第一课时

根式

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值)年平 均增长率可望达到7.3%.那么在2010年, 我国的GDP可望为2000年的多少倍? 1.07310

2.当生物死亡后,它机体内原有的碳14会 按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减 为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根 据 此规律,人们获得了生物体内碳 14含量P与死 t
亡年数t之间的关系 ,那么当生物 体死亡了1万年后,它体内碳14的含量为多 少? 10000
? 1 ? 5730 ? ? ?2?

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

知识探究(一):方根的概念
思考1:4的平方根是什么?任何一个实数都 有平方根吗?一个数的平方根有几个?

思考2:-27的立方根是什么?任何一个实数都 有立方根吗?一个数的立方根有几个?
思考3:一般地,实常数a的平方根、立方根是 什么概念?

思考4:如果x4=a,x5=a,x6=a,参照上面 的说法,这里的x分别叫什么名称? 思考5:推广到一般情形,a的n次方根是一个 什么概念?试给出其定义. 一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方 根,其中n>1且n∈N.

知识探究(二):根式的概念 思考1:-8的立方根,16的4次方根,32的5次 方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立 方根分别是什么数?怎样表示? 思考2:设a为实常数,则关于x的方程 x3=a, x5=a分别有解吗?有几个解? 思考3:一般地,当n为奇数时,实数a的n次方 根存在吗?有几个?

思考4:设a为实常数,则关于x的方程 x4=a, x6=a分别有解吗?有几个解? 思考5:一般地,当n为偶数时,实数a的n次方 根存在吗?有几个?

思考6:我们把式子 n a (n ? N , n ? 1)叫做根式, 其中n叫做根指数,a叫做被开方数.那么, a的n次方根用根式怎么分类表示?

当n是奇数时,a的n次方根为

n

a.

当n是偶数时,若a>0,则a的n次方根为

? a;
n

若a=0,则a的n次方根为0;
若a<0,则a的n次方根不存在.

知识探究(三):根式的性质
思考1: ( 2) , ( ?2) , ( 2) 分别等于什么?一般 地 ( n a )n 等于什么? n n
3 3 5 5 4 4

( a) ? a

思考2: (?2) , 2 , 2 , (?2) 分别等于什么? n n 一般地 等于什么? a
3 3 5 5 4 4 4 4

当n是奇数时 a ? a ; 当n是偶数时 a ?| a |
n n

n

n

思考3:对任意实数a,b,等式

n

a ? b ? ab
n n

成立吗 ?

理论迁移

例1 求下列各式的值
(1) ?64 ;
3
2

(2)
4

( ?2)

4

; (3) ( ?8) ;
3 3

(4) (?10) ; (5)

(3 ? ? ) 4 ;

(6) 8 (a ? 1)8 .

例2
(1)

化简下列各式
5?2 6 ?
4

9;

2 2 3 3 ( a ? 1) ? (1 ? a ) ? (1 ? a ) (2)

.

n 练习: m 1.已知函数 的定义域为R,则下列给 出的n, m中,不能取的一对值是( C ) A.n=3,m=7B.n=2,m=4C.n=4,m=3D.n=3,m=4

y? x

2.下列命题中,错误的是( n A. ( x ) ? x ?n为奇数? B. ( n x )n ? x ?n为偶数?
n

C

)

C.
D.

n

n

x ? x ?n为偶数? n x ? x ?n为奇数?
n


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