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永川中学2015级高三上学期第三次周考数学(理)试题


永川中学 2015 级高三上学期第三次周考数学(理)试题 第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题 (本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 4 个选项中,只 有一项符合题目要求.) 1. 已知 a 是实数, A. ?1

a?i 是纯虚数,则 a =( 1? i
B. 1 C.

)

2

D. ? 2

2.已知 ? , ? 角的终边均在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的() A.充分不必要条件 3.已知 sin 2? ? ? B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? 24 , ? ? ( ? , 0) ,则 sin ? ? cos ? ? ( ) 4 25 1 1 7 7 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 4.若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( ) ? 2? 3? 5? A. B. C. D. 2 3 4 6
2 x ? 2? x 5.函数 f ? x ? ? 是( ) 2
A.偶函数,在 ? 0, ??? 是增函数 C.偶函数,在 ? 0, ??? 是减函数 B.奇函数,在 ? 0, ??? 是增函数 D.奇函数,在 ? 0, ??? 是减函数

6.已知等比数列 {an } 中, a1a2 a3a4 a5 ? 32 ,且 a11 ? 8 ,则 a7 的值为 A. 4 7.已知函数 y ? tan ?x在(? A.0< ? ≤1 B. -4 C. ±4 ) D. ? ≤-1 ( )

? ?

D. ± 2 2

B.-1≤ ? <0

, ) 内是减函数,则( 2 2

C. ? ≥1

8.若使得方程 16 ? x 2 ? x ? m ? 0 有实数解,则实数 m 的取值范围为

A. ? 4 2 ? m ? 4 2
C.? 4 ? m ? 4
A.31 B.32

B.? 4 ? m ? 4 2 D .4 ? m ? 4 2
C.63 D.64

9.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? 10.已知函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时,xf ?( x) ? f (? x) 成立, 若 a ? 3 f ( 3) , b ? (lg 3) f (lg 3) , c ? (log 2 是

1 1 ) f (log 2 ) ,则 a , b , c 的大小关系 4 4

1

B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. a ? c ? b 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题纸上) ? x?2 ? ? 0?, B ? ?y | y ? cos x, x ? A? ,则 A ? B ? ______ 11.设全集 U ? R , A ? ? x | ? x ?1 ? 12.已知 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? ?2012 , __________

A. c ? b ? a

S 2010 S2004 ? ? 6 ,则 S 2013 等于 2010 2004

e2 ex 13.曲线 y ? 在点 (2, ) 处的切线方程为 2 x

_______________

14. 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 点 M 的极坐标为 ? 4 2 ,

? ?

??
4?

? ,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ?


( ? 为参数),则

点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为

15.若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1 | ≤3 成立,则实数 a 的取值范围是 ______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(13 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos ? (1)求 f ? x ? 的单调递减区间; (2)若 sin ? ?

?x ?? ? ? , x? R. ?2 4?

3 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,求 f ? 4? ? ? ? . 5 ?2 ?

2 17.(13 分)设函数 f ( x) ? x ? ax ? b ln x ,曲线 y ? f ( x ) 在点 P(1,0)处的切线斜率为 2.

(1) 求 a,b 的值;(2)证明: f ( x) ? 2 x ? 2 . 18.(13 分) 已知点 A(4,0)、B(0,4)、C( 3 cos? ,3 sin ? ) (1)若 ? ? (0, ? ) ,且 AC ? BC , ,求 ? 的大小;

2 sin 2 ? ? sin 2? (2) AC ? BC ,求 的值. 1 ? tan?
19. (12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 dn 的等差数列,记数列

3 3 a2 ? 1, S3 ? a3 ? 1 。 2 2

{

8 n 40 1 ? 成立的正整数 n 的最大值。 } 的前 n 项和为 Tn ,求使得 Tn ? n ?1 5 5? 3 27 dn
2

20, (12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? 2 x (I)若函数 g ( x) ?

1 3 4 x ? x 2 [ f ?( x) ? 2 x ? ? m] 在区间(1,3)上不是单调函数, 3 x 1 f ( x) ? ax 2 ? x 的 图 像 恒 在 直 线 2

求 m 的取值范围; ( II ) 若 在 区 间 ( 1 , + ∞ ) 上 , 函 数 h( x) ?

y ? 2ax( x ? R) 的下方,求实数 a 的取值范围。
2Sn 1 2 2 ? a ? n ? n ? n ? 1 a ? 1, n S ?a ? 3 3 , n ? N* . 21、 (12 分) 设数列 n 的前 n 项和为 n .已知 1
(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

3

理科数学参考答案 一 选择题 1-5 B D B C B 6-10 A B B C B 二 填空题 11-15: (cos 2,1] ; 0; e2 x ? 4 y ? 0 ; 5 ? 2 ; ? 2 ≤ a ≤4 三、解答题 16(13 分)

17(13 分)解:由题设,y=f(x)在点 P(1,0)处切线的斜率为 2. ∴?
?f(1)=1+a=0, ? ?a=-1, ? 解之得? ………………………………6 分 ? ? ?f′(1)=1+2a+b=2, ?b=3,

因此实数 a,b 的值分别为-1 和 3. 2 (2)证明 f(x)=x-x +3ln x(x>0). 2 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x +3ln x, 3 (x-1)(2x+3) 则 g′(x)=-1-2x+ =- .

x

x

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. ∴g(x)在 (0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减. ∴g(x)在 x=1 处有最大值 g(1)=0, ∴f(x)-(2x-2)≤0,即 f(x)≤2x-2,得证………………………………13 分
2 2 18(13 分)解:(1)由已知得 (3 cos ? ? 4) ? 9 sin ? ?

9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2
4

则 sin ? ? cos ? ,

因为 ? ?(0,? ) ,所以 ? ?

?
4

(2)由 (3 cos? ? 4) ? 3 cos? ? 3 sin ? ? (3 sin ? ? 4) ? 0 得 sin ? ? cos ? ? 平方得 sin 2? ? ?

3 , 4

7 , 16

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? ? cos? ? sin 2? ? ? 1 ? tan? sin ? ? cos? 16
19. (12 分)解: (1)由条件得 a3 ? S3 ? S 2 ? 2分

3 3 a3 ? a2 ,得到 a3 ? 3a2 ? 公比 q ? 3 , 2 2

9 a1 ? 1 ,即 a1 ? 2 ,因此数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? 3n?1 ;4 分 2 (2)由(1)知 an?1 ? 2 ? 3n , an ? 2 ? 3n?1 ;因为 an?1 ? an ? (n ? 1)dn ,
所以 a1 ? 3a1 ?

4 ? 3n ?1 1 n ?1 ,所以 5分 ? n ?1 dn 4 ? 3n?1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? 令 Tn ? ① ? ? ? ? ,则 Tn ? 0 1 2 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n ?1 d1 d 2 d3 dn 1 2 3 3 n ?1 Tn ? ? ? ? ? ② 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 2 2 1 1 1 n ?1 ? ? ? ? ? ①-②得: Tn ? 7分 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1 1 (1 ? n ?1 ) 15 2n ? 5 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 3 ?Tn ? ? 10 分 ? ? ?3 ? ? ? n n 1 16 16 ? 3n ?1 2 4 4?3 8 8?3 1? 3 8 n 40 3 1 40 n ?1 ? ? ,3 ? 27, n ? 4 , 所以 Tn ? ,即 ? n ?1 n ?1 5 5? 3 27 2 2?3 27 8 n 40 ? 所以,使 Tn ? 成立的正整数 n 的最大值为 4。 12 分 n ?1 5 5? 3 27 1 3 4 1 3 2 2 20. (12 分)解析: (I) g ( x) ? x ? x [ f ?( x) ? 2 x ? ? m] = x ? (m ? 2) x ? 2 x 3 x 3
所以 d n ? ∴ g ?( x ) = x ? 2(m ? 2) x ? 2
2

∵ g ( x) 在区间(1,3)上不是单调函数,且 g ?(0) ? ?2 ? 0

∴?

? g ?(1) ? 0 ? g ?(3) ? 0

…………………………………………7 分

5

3 ? m?? ? ? 2 ∴? ?m ? ? 19 ? 6 ?

故 m 的取值范围是( ?

19 3 ,? ) 6 2

1 f ( x) ? ax 2 ? x 的 图 像 恒 在 直 线 2 1 2 y ? 2ax( x ? R) 的下方等价于对任意 x ?(1,+∞) ,不等式 (a ? ) x ? ln x ? 2ax ? 0 恒 2
( II ) 若 在 区 间 ( 1 , + ∞ ) 上 , 函 数 h( x) ? 成立 设 ? ( x) ? (a ? ) x ? ln x ? 2ax , x ?(1,+∞)
2

1 2

1 1 = ( x ? 1)( 2a ? 1 ? ) ……………………9 分 x x 1 当 x ?(1,+∞)时, x ? 1 ? 0 , 0 ? ? 1 x 1 ①若 2a ? 1 ≤0,即 a ≤ , ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在区间 [ 1,+∞)为减函数, 2 1 1 则当任意 x ?(1,+∞)时, ? ( x) < ? (1) = a ? ? 2 a = ? ? a , 2 2 1 1 1 2 1 只需 ? ? a ≤0,即当 ? ≤ a ≤ 时, ? ( x) ? (a ? ) x ? ln x ? 2ax ? 0 恒成立。…11 2 2 2 2
则 ? ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? 分 ②若 0< 2a ? 1 <1,即

1 1 ? a ? 1 时,令 ? ?( x) ? ( x ? 1)( 2a ? 1 ? ) =0 2 x 1 1 1 ? 1 , 函数 ? ( x) 在区间(1, 得x ? )为减函数, ( ,+∞)为增函 2a ? 1 2a ? 1 2a ? 1
1 ) ,+∞) ,不合题意 2a ? 1
………………………………12 分

数, 则 ? ( x) ? ( ? (

③若 2a ? 1 ≥1,即当 a ≥1 时, ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在区间(1,+∞)为增函数 则 ? ( x) ? ( ? (1) ,+∞) ,不合题意 综上可知当 ? ………………………………13 分

1 1 2 1 ≤ a ≤ 时, ? ( x) ? (a ? ) x ? ln x ? 2ax ? 0 恒成立 2 2 2 1 1 1 2 即当 ? ≤ a ≤ 时,在区间(1,+∞)上,函数 h( x) ? f ( x) ? ax ? x 的图像恒在直 2 2 2
线 y ? 2ax( x ? R) 的下方

1 2 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? 3 3 ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 21、(12 分) (Ⅰ) 依题意,

6

1 2 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n 3 3 , (Ⅱ) 当 n ? 2 时,
2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ? 1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3
1 2 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? ? 3 3

两式相减得

2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ?

整理得

? n ?1? an ? nan?1 ? n ? n ?1?

an ?1 an a2 a1 ? ?1 ? ?1 1 ,即 n ? 1 n ,又 2

? an ? an a1 ?1 ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? ? 故数列 ? n ? 是首项为 1 , 公差为 1 的等差数列 , 所以 n , 所以

an ? n2 .
1 7 1 1 1 5 7 ?1? ? ? 1? ? ? a 4 ;当 n ? 2 时, a1 a2 4 4 4; (Ⅲ) 当 n ? 1 时, 1

当 n ? 3 时, 此
1 1 ? ? a1 a2
? 1? 1 ? 4

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 4 ? 2 3? ?3 4? 1? ? 1 ?? ? ? n ? 1 n? ?
1 2

?
?

1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? an 4 3 4
n ? ? n ?

?

2

1 1 ? ? a a2 n 1 综上,对一切正整数 ,有

?

1 7 ? an 4 .

7


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