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1.2.1任意角的三角函数.ppt


1.2.1任意角的三角函数

初中:在直角三角形中锐角A 的三角函数定义:
a BC ? sin A ? c AB
AC b ? cos A ? AB c
BC a tan A ? ? AC b
A
B

c
b

a
C

上述定义只限于直角三角形中的锐角, 而现在角的定义已经拓广到任意角.

如:

2? sin ?? 3 cos? ? ? tan(?

?
3

)??

任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义

正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义

思考:如何定义任意角的三角函数?

新课

导入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : MP b s in? ? ? OM ? a
OP r

MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos? ? OP


M

?
O

M?

x

M ?P? ? OP ? ? OM ? OP ?

MP tan? ? OM

M ?P? ? OM ?

一、任意角的三角函数的定义 1: 设?是一个任意角 ?的终边上任意一点 P ( x, y ) ,
P( x, y )(除端点外), 它与原点的距离是r (r ? x ? y ? 0), 那么:
2 2

y

r
?
O

x

y y (1)比值 叫做?的正弦, 记为sin ? ,即sin ? ? r r x x (2)比值 叫做?的余弦, 记为cos? ,即cos? ? r r y y (3)比值 叫做?的正切, 记为 tan? ,即 tan? ? x x

一、任意角的三角函数的定义 2: 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交
于点P(x,y)则: y 叫α 的正弦
y

sin α ? y
x叫α的余弦

P ( x, y)
O

cos? ? x

x

y 叫α的正切 x y tan ? ?
x

一、任意角的三角函数的定义:
思考:对于一个任意给定的角α ,按照上述定义, 对应的sinα ,cosα ,tanα 的值是否存在?是否 惟一? y

α 的终边 P(x,y)

O

x

三角函数的定义域:
三角函数 定义域

y ? sin ?

R R

y ? cos?

y ? tan?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

说明

(1) sin ? , cos ? , tan ? 分别叫做角?的正弦函数、余弦函数、 正切函数.以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

例题

例1:已知角?的终边经过点P0 (?3,?4), 求角?的正弦、余弦、正切值 .

例题
变式1:已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0),求角α

的正弦、余弦、正切值.

例题
变式2:已知角α的终边经过点P(2a,-3a),求角α的正弦、 余弦、正切值.

例题

5? 例2:求 的正弦、余弦、正切值 . 3

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα tanα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 ?1 0 1 0 不存在 0

3? 2

2?

例题

例3:已知角?终边在直线y ? 3 x上, 求角?的各个三角函数值.

练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D ) A.sin α=0 B.sin α=1 C.sin α=-1 D.sin α=± 1 2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )

A.4 3 C. ? 4 3

B. ? 4 3 D. 3

三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号:
上正下负横为0

y 1?、正弦函数值 sin ? ? r y

y

第一象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第二象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第三象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r y 第四象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r x 第二象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第三象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第四象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r

x 2 ?、余弦函数值 cos ? ? r x

左负右正纵为0

y

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第二象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x y 第三象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第四象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x

y 3?、正切函数值 tan ? ? y x

交叉正负

y

o

x

y

y

y

o

x

o

x

o

x

sin ?、 ? csc

cos?、 ? sec

tan ?、 ? cot

规律: “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”

“一全二正弦,三切四余弦”

例题

例1、确定下列三角函数值的符号: ? ?? ?1? cos 250 ???????????????????? 2 ? sin ? ? ? ? 4? 11 0 ? 3? tan ? ?672 ??????????????? 4 ? tan ? 3
0

练习:课本21页

3,4

例题

例2、求证角? 为第三象限角的充分必要条件 ?sin ? ? 0 是? ? tan ? ? 0

练习:课本21页

5(1)(3)

? 如果两个角的终边相同,那么这两个角
的同一三角函数值有何关系?

y

P( x, y)
1

?
o

x

M

终边相同的角的同一三角函数值相等:
?sin ?? ? k ? 3600 ? ? sin ? ? ? 公式一 ?????cos ?? ? k ? 3600 ? ? cos ? , ? k ? Z ? ? ? 0 ? tan ?? ? k ? 360 ? ? tan ? ?

公式一的作用:
把求任意角的三角函数值转化为求 00到3600角的三角函数值。

例题

例3、求下列三角函数的值: 9 ?1? sin1480 10 '?????????????????? 2 ? cos ? 4 ? 11 ? ? 3? tan ? ? ? ???????????????? ? 6 ?
0

练习:课本21页

6

三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆 交于点P.过点P作x轴 α的 P 终边 的垂线,垂足为M.
y
A(1,0 ) x

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|

【思考】为了去掉
上述等式中的绝对值 符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方 向,使它们的取值与点 P的坐标一致?

(Ⅱ)
y

(Ⅰ)
y

M O
α的 P 终边

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅲ)

(Ⅳ)

α的 终边

【定义】有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.

当角α的终边不在坐 标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y;
当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有 向线段MP叫角α的正 弦线

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ)
y

(Ⅰ)
y

M O
α的 P 终边

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅲ)

(Ⅳ)

α的 终边

当角α的终边不在坐 标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定:

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
y
A(1,0 ) x

当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x.

α的 终边 P

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ)
y

(Ⅰ)
y

O OM=x=cosα 有 向线段OM叫角α的余弦 P α的 终边 线 (Ⅲ)

M

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅳ)

α的 终边

MP AT y tan ? ? ? ? AT ? OM OA x

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O T

T α的

终边

过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线
终边

MO

A(1,0 M ) x

(Ⅱ)
y T
A(1,0 ) x

(Ⅰ)
y M A(1,0 ) x P T

M O
α的 P

O

(Ⅲ)

(Ⅳ)

α的 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

MO

T

例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 1 (2) sin ? ? ; ⑴ sin ? ? ; 2 2 ?角的终边
y 1

P
-1
O -1

1 y? 2
x

M1

5? [ ? 2k? , ? 2k? ] 6 6

?

(k ? Z )

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?2?cos? ? 2
-1

y
1

? 3
1
1 x? 2

O

x

? 5? ? ? 2k? ? ,2k? ? ??k ? Z ?-1 ? 3 3 ? ?

5? 3

1 变式: 写出满足条件 ? ≤cosα< 2 2? 的集合. y

3 的角α 2

3

1

? 6
x

-1

O -1

1

4? 3

11? 6

? |2k? ? ? <α≤ 2?k? ? 2? ,或 ?? ,2k? ? 2? ? ? 2k? ? 4? ,2k? ? 11? )?k ? Z ? (2k? ? 6 3 3 11? 6 3 ??4? ? 6 2k? ? ? 2k? ? ,k ? Z ? ≤α<
3 6

课堂

练习

1.已知?是第三象限且cos ? 0 ,问 是第几象 2 2 限角?

?

?

2.若θ在第四象限,试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号

课堂

练习

3 .若lg(sin??tan?)有意义,则?是( C ) A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴

4. 已知?的终边过点(3a-9,a+2),且cos?<0, sin?>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。

课堂

练习

5.利用单位圆中的三角函数线,确定下列各角的 取值范围: (1)sinα <cosα ;

归纳

总结

1. 内容总结: (1)三角函数的概念. (2)三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 (3)诱导公式一. (4)三角函数线 2 .方法总结:

运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.


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