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平面与平面垂直的性质


复习两个平面垂直的定义,判定 什么是两个平面互相垂直? 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直. 如何判定两个平面互相垂直? 第一种方法根据定义,判定两个平面所成的 二面角是直二面角; 第二种方法是根据判定定理,判定其中一个 平面内有一条直线垂直于另一个平面.

两个平面垂直的性质 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂 直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另一个平面.

已知:
求证:

分析:我们要证明直线AB与平面β 垂直,只需证明 AB与β 内两条相交直线垂直即可,引导学生找出在 β 内适合题意的直线是解决本题的关键。

引导过程:AB现在垂直β 内的直线CD,即只需再 找出一条与CD相交的直线即可,题目中的二面角 是直角这个条件要用起来。

证明:在平面β内引直线BE⊥CD,则∠ABE是二 面角α-CD-β的平面角.

∵α⊥β,∴AB⊥BE.
又∵AB⊥CD, ∴AB⊥β. 本题小结:从性质定理可以得出,把面面垂直的问 题转化为线面垂直的问题.

两个平面垂直的结论

如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面 内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面 内.

例1 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上的动点, 过动点C的直线VC垂直圆O所在的平面,D、E分别 是VA、VC的中点。直线DE与平面VBC有什么关系? 试说明理由。

解:由VC垂直于圆O所在平面, 知VC⊥AC,VC⊥BC, 即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角。 由∠ACB是直径的圆周角,知∠ACB=900, 因此,平面VAC⊥平面VBC。 由DE是ΔVAC两边中点的连线, 知DE∥AC, 故DE⊥VC。 由两个平面垂直的性质定理,得 直线DE与平面VBC垂直。

例2.矩形ABCD中, AD=2,AB=1,现沿对角线AC折成 直二面角D-AC-B,求折起后BD长度.

练习 1. 求证:AC⊥DE。 2. 已知

总结

本节课我们学习了两个平面垂直的性质和该性
质的应用,以及同一法的推广。如何正确理解和规 范使用两个平面垂直的性质是本节课的关键。


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