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函数奇偶性 教师版


辅导教案
授课主题 函数奇偶性和周期性 1、 正确理解函数奇偶性和周期性的概念 教学目的 2、 掌握判断函数奇偶性和周期性的方法 3、 能利用函数奇偶性和周期性解决一些函数问题。 教学内容

一、知识点梳理 函数的奇偶性
1、定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇 函数,又是偶函数。 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则 ○ -x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。

2、函数奇偶性的性质: ①奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称; ②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,偶函数在关于原点对称的区 间上若有单调性,则其单调性恰恰相反; ③若奇函数的定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 ; ④设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2、判断函数奇偶性的方法: (1)定义法 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;
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若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (2)利用函数图象法 若函数 f ( x) 图象关于原点呈中心对称,则 f ( x) 为奇函数;若函数 f ( x) 图象关于 y 轴呈轴对称,则
f ( x) 为偶函数。

(3)利用函数奇偶性的性质 ①函数 f ( x), g ( x) 是奇 (或偶) 函数, 复合函数 F ( x) ? f ? g ( x)? , 若 f ( x), g ( x) 中有一个是偶函数, 则 F ( x) 为偶函数;只有 f ( x), g ( x) 同时为奇函数, F ( x) 才为奇函数。 ②函数 f ( x), g ( x) 是奇(或偶)函数,复合函数 F ( x) = f ( x) ? g ( x) ,若 f ( x), g ( x) 同时为奇或偶函数,F ( x) 为偶函数,若 f ( x), g ( x) 中一个为奇函数,另一个为偶函数,则 F ( x) 为奇函数。 (4)利用点的变换 设点 ( x, y ) 满足方程 y ? f ( x) , 若点 ( ? x, y ) 也满足方程 y ? f ( x) , 则 y ? f ( x) 为偶函数; 若点 ( ? x, ? y ) 也满足方程 y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 为奇函数。

函数的周期性
1、定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周 期函数; T T 2、性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ? ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 2 2 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为 3、若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期; 若 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)则 f(x)的图象以 x=a 为对称轴,应注意二者的区别
T |? |



4.若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b, (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个周期
证明:设P( x, y )为y ? f ( x)图像上任一点,则y ? f ( x), 且P( x, y )关于直线x ? a对称的点Q(2a ? x, y )也在图像上,y ? f (2a - x). ? f ( x) ? f (2a - x) 同理f ( x) ? f (2b - x) ①, ②.

? f ( x) ? f (2a - x) ? f [2b - (2a - x)] ? f [2(b - a) ? x], 2(b - a)为周期。

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5.若函数 f(x)图象有两个对称中心(a,0) , (b,0) (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个周期。

6.若函数 f(x)有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0) (a<b),则 4(b-a)是 f(x)的周期。

证明:由已知f ( x) ? f (2a ? x), f ( x) ? ? f (2b ? x).
? f ( x ) ? f (2a ? x ) ? ? f [2b ? (2a ? x)] ? ? f [2(b ? a ) ? x ] ? ? f [2a ? 2(b ? a ) ? x] ? ? f [2(2a ? b) ? x] ? f [2b ? 2(2a ? b) ? x] ? f [4(b ? a ) ? x ] ? 周期为4(b ? a ).

三、典型例题讲解 考点一 判断函数的奇偶性
例 1、讨论下述函数的奇偶性:
16 x ? 1 ? 2 x (1) f ( x) ? ; 2x ?1n( x ? 1 ? x )( x ? 0) ? (2) f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ; ? ?1n( 1 ? x ? ? x )( x ? 0)

(3) f ( x) ? 1og 2 ( 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? 1);

解: (1)方法一: 函数定义域为 R, f (? x) ? ∴f(x)为偶函数 方法二:先化简: f ( x) ?
16x ? 1 ? 1 ? 4 x ? 4 ? x ? 1 ,显然 f ( x) 为偶函数 x 4

16? x ? 1 ? 2 ? x 1 1 ? 16x 16x ? 1 ? 2 x x x ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? f ( x) , 2?x 16x 4x 2x

从这可以看出,化简后再解决要容易得多。 (2)须要分两段讨论: ①设
x ? 0,? ? x ? 0, ? f (? x) ? 1n( 1 ? x ? x ) ? 1n 1 ? ?1n( x ? 1 ? x ) ? ? f ( x); x ?1 ? x

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②设
x ? 0,? ? x ? 0, ? f (? x) ? 1n( ? x ? 1 ? ? x ) ? 1n 1 ? ?1n( 1 ? x ? ? x ) ? ? f ( x) 1? x ? ? x

③当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f(-x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数;
2 ? ?1 ? x ? 0 ? x 2 ? 1 ,∴函数的定义域为 x ? ?1 , (3)? ? 2 ? ?x ? 1 ? 0

∴f(x)=log21=0(x=±1) ,即 f(x)的图象由两个点 A(-1,0)与 B(1,0)组成,这两点既关于 y 轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数; 【方法总结】判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若 函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变) 。 例 2、设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=-|f(x)|;②y=xf(x2) ; ③y=-f(-x) ;④y=f(x)-f(-x) 。必为奇函数的有___ __ 2 2 答案:②④;解析:y=(-x)f[ (-x) ]=-xf(x )=-y;y=f(-x)-f(x)=-y。 点评:该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。

考点二 奇偶性的应用
例 3、若函数 f ( x) ? A、
x 为奇函数,则 a =( (2 x ? 1)( x ? a)



1 2 3 B、 C、 D、1 2 3 4 例 4、已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。 解:由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑: ①若 x∈[-2,0],-x∈[0,2], ∵f(x)为偶函数, ∴当 x∈[-2,0]时,f(x)= f(-x)=-2x-1,

②若 x∈[-4,-2 ) , ∴4+ x∈[0,2 ) , ∵f(2+x)+ f(2-x), ∴f(x)= f(4-x), ∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7;

?2 x ? 7 综上, f ( x) ? ? ??2 x ? 1
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(?4 ? x ? 2) . (?2 ? x ? 0)

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考点三 函数的周期性
例 5、已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ??0, 2? 时,

f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为(



方法总结:求周期函数解析式时,关键是利用 f(x+T)= f(x)将问题转化到已知区间上的解析式问题 例 6. 设 f ( x) 是定义在 (??,??) 上,以 2 为周期的周期函数,且 f ( x) 为偶函数,在区间 [2, 3] 上,
f ( x) = ? 2( x ? 3) 2 ? 4 ,则 x ? [0,2]时, f ( x) =

??2( x ? 1) 2 ? 4 (0 ? x ? 1) ? f ( x) ? ? ; 2 ? ??2( x ? 1) ? 4 (?1 ? x ? 0)

例 7.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。

①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ②求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; ③求 y ? f ( x) 在 [4,9] 上的解析式。 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数, ∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数, ∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) ,

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∴ f (1) ? f (4) ? 0 。 ②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 , ∴a ? 2, ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) 。 ③∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数, ∴ f (0) ? 0 , 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数, ∴可设 f ( x) ? kx(0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2)2 ? 5 ? ?3 , ∴ k ? ?3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x , 从而当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?3x ,故 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? ?3x 。 ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ?1 ? x ? 5 ? 1 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? ?3( x ? 5) ? ?3x ? 15 。 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2]2 ? 5 ? 2( x ? 7)2 ? 5

??3x ? 15, 4 ? x ? 6 ∴ f ( x) ? ? 。 2 ?2( x ? 7) ? 5, 6 ? x ? 9
点评:该题属于普通函数周期性应用的题目,周期性是函数的图像特征,要将其转化成数字特征。

四、 当堂练习
1、 f ( x) ?

a2 ? x2 (常数a ? 0); 判断奇偶性; | x ? a | ?a

∵x2≤a2, ∴要分 a >0 与 a <0 两类讨论,

??a ? x ? a ①当 a >0 时, ? ? 函数的定义域为[ ? a,0) ? (0, a], ?| x ? a |? a
?| x ? a |? 0,? f ( x) ? a2 ? x2 ,∴当 a >0 时,f(x)为奇函数; x

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②当 a <0 时, a ? x ? ? a ? 函数的定义域为[a, ?a]
a2 ? x2 a a ? x ? a ? 0,? f ( x) ? , 取定义域内关于原点对称的两点x1 ? , x2 ? ? , ? x ? 2a 2 2

a a 3 3 ? f ( ) ? f (? ) ? ? ? 0,?当a ? 0时, f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数. 2 2 5 3

2、判断 f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 的奇偶性 1? x

3、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=____ _。 答案:-1;解:因为 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x) ,设 x <0,所以 f(x)=-f(-x)=-f(1-x) ,所以 f(-2)=-log33=-1。

? ?? 4、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数,又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期为 ? ,且当 x ? ?0, ? 时, ? 2?
5 f ( x) ? sin x ,则 f ( ? ) 的值为 3

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五、 课后作业 1、 判断下列函数的奇偶性.

?1? f ? x ?=lg

1? x ; 1? x

? 2 ? f ? x ?=( x-1)

1? x ; 1? x

? 3 ? f ? x ?= ? ? ?
【解析】 ?1?由

? x 2 ? x( x ? 0) ? ? x ? x( x ? 0)
2



? 4 ? f ? x ?=

1 1 - . 2 ?1 2
x

1? x ? 0,得-1 ? x ? 1, 1? x 故f ? x ?的定义域关于原点对称. 又f (-x)=lg 1? x 1 ? x -1 =lg( ) 1? x 1? x

=-lg

1? x =-f ? x ?, 1? x 故原函数是奇函数. 1? x ? 0,得-1 ? x ? 1,定义域不 ? 2 ?由 1? x 关于原点对称,故原函数是非奇非偶函数.

0) ? (0,+?), ? 3? f ? x ?的定义域为(-?, 它关于原点对称. 又当x ? 0时,f ? x ?=x 2+x,则当x ? 0时,-x ? 0, 故f (-x)=x 2-x=f ? x ?; 当x ? 0时,f ? x ?=x 2-x,则当x ? 0时,-x ? 0, 故f (-x)=x 2+x=f ? x ?. 故原函数是偶函数.

? 4 ?因为f ? x ?的定义域为R,且f (-x)
= 1 1 2x 1 1 1 ? ? - = - x =-f ? x ?, x x 2 ?1 2 1 ? 2 2 2 2 ?1 故原函数是奇函数.

5 2、设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = 2

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3、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (1) =

4、设 g ( x) 是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) f ( x) ? x ? g ( x) 在区间[3,4]上的值域为[-2,5], 则 f ( x) 在区间[-10,10]上的值域为

5、已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=1 对称, (1) 求 f(0)的值; (2) 求证:函数 f(x)为周期函数; (3) 若 f(x)=x(0<x ? 1),求 x ? R,f(x)的解析式,并画出满足条件的函数 f(x)至少一个周期 的图象。

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