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2015年高考试题数学文(新课标1卷)解析版



2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷) 文数
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A (A) 5 【答案】D 【解析】 试题分析:由条件知,当 n=2 时,3n+2=8,当 n=4 时,3n+2=14,故 A∩B={8,14},故选 D. 考点:集合运算 2、已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? (A) (?7, ?4) 【答案】A (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)
[来源:学优高考网]

B 中的元素个数为

(B)4

(C)3

(D)2

考点:向量运算 3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i 【答案】C 【解析】 试题分析:∴ ( z ? 1)i ? 1 ? i ,∴z= 考点:复数运算 4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中任 取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A) 【答案】C 【解析】 (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

1 ? 2i (1 ? 2i)( ?i) ? ? 2 ? i ,故选 C. i ?i 2

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

试题分析:从 1,2,3,4,5 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数只有 3,4,5,故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种,故所求概率为 考点:古典概型 5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (A) 3 【答案】B (B) 6 (C) 9 (D) 12

1 ,故选 C. 10

[来源:学优高考网 gkstk]

1 ,E 的右焦点与抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点重合, A, B 是 C 2

考点:抛物线性质;椭圆标准方程与性质 6、 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米 堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周 率约为 3,估算出堆放的米有( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

【答案】B 【解析】
1 16 1 1 16 2 320 ?8 =r ? , 试题分析: 设圆锥底面半径为 r, 则 ? 2? 3 r 所以米堆的体积为 ? ? 3 ? ( ) ? 5 = , 4 3 4 3 3 9 320 故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 9
考点:本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 7、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( )

(A) 【答案】B 【解析】

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

试 题 分 析 : ∵ 公 差 d ? 1 , S8 ? 4S4 , ∴ 8a1 ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) , 解 得 a1 = ,∴ 2 2 2

a1 0 ? a 1 ? 9d ?

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

考点:等差数列通项公式及前 n 项和公式 8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( )

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 【答案】D 【解析】
(A) ( k? ?

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 ( x? ) 令 试题分析:由五点作图知, ? , 解 得 ?=? , ? = , 所 以 f ( x ) ? c o s? , 5 3 ? 4 4 ? ? +? ? ? ?4 2
4 k ? Z ,故选 D. 2 k? ? ? x ?

?

? 2 k? ? ? , k ? Z , 解得 2 k ?

1 3 3 1 k ?Z , 2k ? ) < x < 2k ? , 故单调减区间为 ( 2k ? , , 4 4 4 4

考点:三角函数图像与性质 9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12

【答案】C

考点:程序框图 10、已知函数 f ( x ) ? ? (A) ? 【答案】A 【解析】 试题分析:∵ f (a) ? ?3 ,∴当 a ? 1 时, f (a) ? 2
a ?1

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1
(B) ?

,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? (C) ?

7 4

5 4

3 4

(D) ?

1 4

? 2 ? ?3 ,则 2a ?1 ? ?1,此等式显然不成立,

当 a ? 1 时, ? log2 (a ? 1) ? ?3 ,解得 a ? 7 , ∴ f (6 ? a) ? f (?1) = 2
?1?1

7 ? 2 ? ? ,故选 A. 4

考点:分段函数求值;指数函数与对数函数图像与性质 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯 视图如图所示,若该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( )

(A) 1 (C) 4

(B) 2 (D) 8

【答案】B 【解析】 试题分析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r, 1 2 2 2 2 圆柱的高为 2r,其表面积为 ? 4? r ? ? r ? 2r ? ? r ? 2r ? 2r = 5? r ? 4r =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 2
B. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式 12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2 (A) ?1 【答案】C 【解析】 试题分析:设 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,它关于直线 y ? ? x 对称为( ? y , ? x ) ,由已知知 ( ? y, ? x ) 在函数 y ? 2
x?a x?a

的图像关于直线 y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( ) (D) 4

(B) 1

(C) 2

的图像上, ∴ ?x ? 2

? y?a

, 解得 y ? ? log2 (? x) ? a , 即 f ( x) ? ? log2 (? x) ? a ,

∴ f (?2) ? f (?4) ? ? log2 2 ? a ? log2 4 ? a ? 1 ,解得 a ? 2 ,故选 C. 考点:函数对称;对数的定义与运算 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
[来源:学优高考网 gkstk]

13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? 【答案】6 【解析】 试题分析:∵ a1 ? 2, an?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴ Sn ?

.

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. 1? 2

考点:等比数列定义与前 n 项和公式 14. 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则
3

?

?

a?

.

【答案】1 【解析】 试题分析:∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 1 ,∴ f ?(1) ? 3a ? 1 ,即切线斜率 k ? 3a ? 1 , 又∵ f (1) ? a ? 2 ,∴切点为(1, a ? 2 ) ,∵切线过(2,7) ,∴ 考点:利用导数的几何意义求函数的切线;常见函数的导数;

a?2?7 ? 3a ? 1 ,解得 a ? 1. 1? 2

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
【答案】4 【解析】



试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : 3x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,当直线 l :z=3x+y 过点 A 时,z 取最大值,由 ?

? x ? y ? 2=0 解得 A(1,1) ,∴z=3x+y 的最大值为 4. ? x ? 2 y ? 1=0

考点:简单线性规划解法

16. 已知 F 是双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8


?

?

,当 ?APF 周长最小时,

该三角形的面积为 【答案】 12 6
[来源:学优高考网]

考点:双曲线的定义;直线与双曲线的位置关系;最值问题 三、解答题
2 17. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. 【答案】 (I) 【解析】
2 试题分析: (I)先由正弦定理将 sin B ? 2sin A sin C 化为变得关系,结合条件 a ? b ,用其中一边把另外

1 (II)1 4

两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值; (II)由(I)知 b = 2ac ,根据勾股定理和即可求出

2

c,从而求出 ?ABC 的面积. 试题解析: (I)由题设及正弦定理可得 b = 2ac . 又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 由余弦定理可得 cos B =
2 2

a 2 + c 2 - b2 1 = . 2ac 4

(II)由(1)知 b = 2ac .
2 2 2 因为 B = 90°,由勾股定理得 a + c = b .

故 a + c = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以 D ABC 的面积为 1. 考点:正弦定理;余弦定理;运算求解能力 18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

2

2

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

【答案】 (I)见解析(II) 3+2 5

试题解析: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED

(II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120°,可得 AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ^ EC,所以在 Rt DAEC 中,可得 EG=

3 x. 2 2 x. 2 6 3 6 .故 x =2 x = 24 3

由 BE ^ 平面 ABCD,知 D EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ?BE 从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 D EAC 的面积为 3, D EAD 的面积与 D ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 .

1 1 3 2

考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理能力;运算求 解能力

19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y (单位: t) 和年利润 z (单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2, 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

,8?

x
46.6

y
56.3

w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (wi ? w)2
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

n

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1,



w =

1 8

?w
i ?1

n

i

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方 程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,……,(un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最小 二乘估计分别为:

?=

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

, ? =v ? ? u

2

【答案】 (Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型(Ⅱ) y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数; (Ⅱ)令 w ?

x ,先求出建立 y

关于 w 的线性回归方程,即可 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)(ⅰ)利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量 y 的预报值,再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值; (ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知, 年利润 z 的预报值, 列出关于 x 的方程, 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费 用.

考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 20. (本小题满分 12 分)已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N
2 2

两点. (I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 【答案】 (I) 琪 【解析】 试题分析: (I)设出直线 l 的方程,利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式,即可求出 k 的取 值范围; (II)设 M( x1 , y1 ), N( x2 , y2 ) ,将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程,利用韦达 定理将 x1 x2 , y1 y2 用 k 表示出来, 利用平面向量数量积的坐标公式及 OM ? ON ? 12 列出关于 k 方程, 解出 k,

骣 4- 7 4+ 7 (II)2 琪 3 , 3 桫

即可求出|MN|. 试题解析: (I)由题设,可知直线 l 的方程为 y = kx +1 .

因为 l 与 C 交于两点,所以

| 2k - 3 +1| 1+k 2

<1.

解得

4- 7 4+ 7 . <k < 3 3
骣 4- 7 4+ 7 . 琪 3 , 3 桫

所以 k 的取值范围是 琪

(II)设 M( x1 , y1 ), N( x2 , y2 ) . 将 y = kx +1 代入方程 x - 2 所以 x1 + x2 =

(

) +( y - 3)

2

2

= 1 ,整理得 (1 + k 2 ) x2 -4(k +1) x + 7 = 0 ,

4(k +1) 7 , x1 x2 = . 2 1+k 1+k 2 x1 x2 + y1 y 2 = 1 + k 2 x1 x2 + k ( x1 + x2 ) +1 =

OM ?ON
由题设可得

(

)

4k (1 + k ) +8 , 1+k 2

4k (1 + k ) + 8=12 ,解得 k =1,所以 l 的方程为 y = x +1 . 1+k 2

故圆心在直线 l 上,所以 | MN |= 2 . 考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想;运算求解能力 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

( x) 没有零点;当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一零点.(II)见解析 【答案】 (I)当 a ? 0 时, f ?
【解析】 试题分析: (I)先求出导函数,分 a ? 0 与 a > 0 考虑 f ? ? x ? 的单调性及性质,即可判断出零点个数; (II)

( x) 在 0, 由(I)可设 f ? +?

(

) 的唯一零点为 x ,根据 f ? ? x? 的正负,即可判定函数的图像与性质,求出函
0

2 ,即证明了所证不等式. a a ( x)=2e 2 x - ( x > 0) . 试题解析: (I) f ( x ) 的定义域为 ( 0, +? ) , f ? x
数的最小值,即可证明其最小值不小于 2a +a ln

当 a ? 0 时, f ? ( x) > 0 , f ? ( x) 没有零点; 当 a > 0 时,因为 e 单调递增, 2x

a 单调递增,所以 f ? ( x) 在 ( 0, +? x

) 单调递增.又 f ?(a) > 0 ,当 b 满足

0 <b <

a 1 且 b < 时, f ? (b) < 0 ,故当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一零点. 4 4

(II)由(I) ,可设 f ? ( x) 在 0, +?

(

) 的唯一零点为 x ,当 x ? ( 0,x ) 时, f ?( x) < 0 ;
0

0

当 x 违 x0, +

(

) 时, f ?( x) > 0 . ) ( ) 单调递增,所以当 x = x 时, f ( x) 取得最小值,最小值为
0

故 f ( x ) 在 0,x0 单调递减,在 x0, +?

(

f ( x0 ) .
由于 2e
2 x0

-

a a 2 2 =0 ,所以 f ( x0 )= + 2ax0 + a ln ? 2a a ln . x0 2 x0 a a
2 . a

[来源:gkstk.Com]

故当 a > 0 时, f ( x ) ? 2a a ln

考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式; 运算求解能力. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是 O 直径,AC 是 O 切线,BC 交 O 与点 E.

(I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是

O 切线;

(II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)60° 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由圆的切线性质及圆周角定理知, AE⊥BC, AC⊥AB, 由直角三角形中线性质知 DE=DC, OE=OB, 利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°, 即∠OED=90°, 所以 DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ) 设 CE=1,由 OA ? 3CE 得,AB= 2 3 ,设 AE= x ,由勾股定理得 BE ? 12 ? x2 ,由直角三角形射影定理可得 AE ? CE BE ,列
2

出关于 x 的方程,解出 x ,即可求出∠ACB 的大小. 试题解析: (Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线. ……5 分

(Ⅱ)设 CE=1,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x2 , 由射影定理可得, AE ? CE BE ,
2

∴ x2 ? 12 ? x2 ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°.

……10 分

考点:圆的切线判定与性质;圆周角定理;直角三角形射影定理 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
2 2

极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4 1 【答案】 (Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ) 2 【解析】
(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 试题分析: (Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)将将 ? =

? 代入 4

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求出 C2 MN 的面积.
试题解析: (Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,
2 ∴ C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .……5 分

(Ⅱ)将 ? =

2 ? 2 代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 = 2 2 , ?2 = 2 , 4

|MN|= ?1 - ?2 = 2 , 因为 C2 的半径为 1,则 C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

考点:直角坐标方程与极坐标互化;直线与圆的位置关系 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) {x |

2 ? x ? 2} (Ⅱ) (2,+∞) 3

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A( 以△ABC 的面积为 由题设得

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) ,C (a, a+1) ,所 3

2 ( a ? 1) 2 . 3

2 ( a ? 1) 2 >6,解得 a ? 2 . 3

所以 a 的取值范围为(2,+∞). ……10 分 考点:含绝对值不等式解法;分段函数;一元二次不等式解法


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