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(精华讲义)数学人教版高二-选修2-1导数及其应用


导数及其应用复习讲义 一、知识复习: 1. 导数的定义: 设 x 0 是函数 y ? f ( x ) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,则函数值 y 也引起相应的增量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ;比值 ?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 称为函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率; ? ?x ?x 如果极限 lim ?x?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在, 则称函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 y ? f ( x ) ? lim ? x ? 0 ?x ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x 在 x 0 处的导数。 f ? x ? 在点 x 0 处的导数记作 y ? x ? x 0 ? f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 2 导数的几何意义: (求函数在某点处的切线方程) 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率,也就是说, 曲线 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x 0 ) ,切线方程为 y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ). 3.基本常见函数的导数: ① C ? ? 0; (C 为常数) ③ (sin x)? ? cos x ; ⑤ (e )? ? e ; x x ② x ? ?? ? nx n n ?1 ; ④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑥ (a )? ? a ln a ; x x ⑦ ? ln x ?? ? 1 ; x ⑧ ? l o g a x ?? ? 1 log a e . x 二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cf ( x)) ? Cf ( x). ( C 为常数) ' ' 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平 ? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? 方: ? ? g ? x ? ? 0? 。 ? ? 2 g x ? ? ? ? ? g ? x? ? ? ? 2.复合函数的导数 ? ?( x) . 形如 y ? f [? ( x)] 的函数称为复合函数。法则: f ?[? ( x)] ? f ?( ? )? 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)设函数 y ? f ( x) 在某个区间 ( a, b) 可导, ' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数。 ' (2)如

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