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t直线与椭圆的位置关系(2)


直线与椭圆的位置关系
南阳市五中数学组:崔建欣

L/O/G/O

教学目标:让学生掌握直线与椭圆的位置关系,并 能用相关知识解决切线方程,弦长,中点弦,距 离最值及对称等问题 教学重点:本节课的重点是用直线与椭圆位置关系 的有关知识解决切线方程,弦长,中点弦,距 离最值等问题。 教学难点:本节课的教学难点是用直线与椭圆位置 关

系解决椭圆上的点对称问题。

1、点 P?x0 , y0 ?

x2 y2 与椭圆 a 2 ? b 2 ? 1?a ? b ? 0? 的位置关系有三种:

(1)点在椭圆内: (2)点在椭圆上:

x0 y0 ? ?1 2 2 a b x0 y0 ? 2 ?1 2 a b x0 y0 ? ?1 2 2 a b
2 2 2 2

2

2

(3)点在椭圆外:

相切 、 相离 2、直线与椭圆的位置关系有三种: 相交 、

把直线方程代入到椭圆方程中得到一个一元二次方
程,利用判别式来判断直线与椭圆的位置关系:

(1) ? >0,方程有两解,直线与椭圆相交。

(2) ? =0,方程有一解,直线与椭圆相切。
(3) ? <0,方程无解,直线与椭圆相离。

x2 y2 例1、直线y=x+m与椭圆 ? ? 1相切,求m 4 2

?y ? x ? m ? 2 解:由 ? x 得 y2 ?1 ? ? 2 ?4
2 2

x ? 2?x ? m? ? 4 ? 0 2 2 3 x ? 4m x ? 2 m ? 4 ? 0
因为直线和椭圆相切,所以
2

? ? ?4m? ? 4 ? 3? 2m2 ? 4 ? ?8m2 ? 48 ? 0

?

?

m?? 6 解得:

x2 y2 例2、求过点 2 3,1 且与椭圆 ? ? 1相切的直线方程。 16 4 2 2 2 3 1 3 1 解:因为 ? ? ? ? 1 ,所以点在椭圆上,切线 16 4 4 4 只有一条。 设切线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2 3) ,代入椭圆中,得

? ? ?

?

x ? k ( x ? 2 3 ) ? 1 ? 16 ? 0
2

?

x 即:

2

? kx ? 2
2 2

?

? 3k ? 1? ? 16 ? 0
2 2

整理得: ?1? 4k 2 ?x2 ? 16 3k 2 ? 8k x ? 48k 2 ?16 3k ?12 ? 0
? ? 16 3k ? 8k ? 4 1 ? 4k 2 48k 2 ? 16 3k ? 12 ? 0

?

? ?

?

??

?

?

所以 4 3k ? 2k ? 1 ? 4k 2 12 k 2 ? 4 3k ? 3 ? 0
2

?

? ?
2

??

?

整理得 即

48k ? 16 3k ? 4k ? 48k ? 16 3k
4 3 2 4

3

? 12k 2 ? 12k 2 ? 4 3k ? 3 ? 0
3 2

4k 2 ? 4 3k ? 3 ? 0
k??

所以

3 所求直线方程为: y ? 1 ? ? 2 x ? 2 3

?

?

即:

3x ? 2 y ? 8 ? 0

?2 3 ? 解:因为
2

12 3 1 ? ? ? ? 1,所以点在椭圆上,切线只有一条。 16 4 4 4 x2 y2 ? ? 1 ,得 设直线方程为y=kx+m,代入椭圆 16 4 2

2

?

x ? 4?kx ? m? ?16 ? 0 2 2 2 1 ? 4k x ? 8kmx? 4m ? 16 ? 0 2 ? ? ?8km? ? 4 ? ?1 ? 4k 2 ??4m2 ?16? ? 0

?

m2 ? 16k 2 ? 4 ? 0
又点 2 3,1 在直线y=kx+m上,所以2 3k ? m ? 1 由
2 2 ? ?m ? 16k ? 4 ? 0 ? ? ?2 3k ? m ? 1

?

?

?m ? 4 ,得? ? 3 k ? ? ? 2 ?

3 故所求直线方程为 y ? ? 2 x ? 4 ,即: 3x ? 2 y ? 8 ? 0

解:因为 2 2 x ? 4 y ? 16 ? 0 设直线方程为 y - 2 ? k ?x ? 1? , 代入椭圆 得 x2 ? 4?kx ? k ? 2?2 ?16 ? ?1 ? 4k 2 ?x2 ? ?16k ? 8k 2 ?x ? 4k 2 ?16k ? 0

1 4 ? ?1 16 4 ,所以点在椭圆外,切线有两条

由 ? ? 16k ? 8k

?

2 2

? ? 4?1 ? 4k ??4k
2 2 2

2

? 16k ? 0

?

? ? 4k ? 2k 即:

?

2 2

? ? ?1 ? 4k ??k

? 4k ? 0

?

15k 2 ? 4k ? 0 4 所以:k ? ? , k ? 0 15

故所求直线方程为 y ? 2 ? 0或 4 x ? 15y ? 34 ? 0

解:因为1

?1? 4k ?x
2
2

x2 y2 ? ? 1 中,得 设直线方程为y=kx+m,代入到椭圆 16 4
2

16

?

4 ?1 4

,所以点在椭圆外,切线有两条

? 8kmx? 4m2 ?16 ? 0

? ? ?8km? ? 4 ? 1 ? 4k 2 4m2 ?16 ? 0

?

??

?

m2 ? 16k 2 ? 4 ? 0
34 ? m ? ?m ? 2 ? ?m ? 16k ? 4 ? 0 ? 15 由 ?2 ? k ? m ,得? 或 ? ?k ? 0 ? ?k ? ? 4 ? 15 ?
2 2

又点(1,2)在直线上,则2=k+m

所求直线为 y ? 2 ? 0 或 4 x ? 15y ? 34 ? 0

变式:如果把题目中的(1,2)再变为(4,1),怎样来解?
16 1 解:因为16 ? 4 ? 1

?1? 4k ?x ? ?8k ? 32k ?x ? 64k ? 32k ?12 ? 0 由? ? ?8k ? 32k ? ? 4? 1 ? 4k ??64k ? 32k ?12? ? 0 3
2 2 2 2
2 2 2 2

所以点(4,1)在椭圆外,所求切线有两条 x2 y2 设直线方程为y-1=k(x-4),代入椭圆 ? ? 1 中得到 16 4 2 2 x ? 4 kx ? 4k ?1 ?16 ? 0 ,整理,得

?

?

得 k ??

所求直线为3x+8y-20=0 当直线与X轴垂直是即x=4也与椭圆相切 故所求直线方程为x-4=0或3x+8y-20=0

8

1 解:因为 16 ? ? 1 所以点(4,1)在椭圆外,所求切线有两条 16 4

设直线方程为y=kx+m,代入到椭圆

?

x 2 ? 4?kx ? m? ?16 ? 0 ,整理,得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx? 4m2 ?16 ? 0
2

x2 y2 ? ?1 16 4

,得

?

? ? ?

? 4 1 ? 4k 2 4m2 ?16 ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 ? 0 又点(4,1)在 y=kx+m上得1=4k+m 5
2

?8km?
2

?

??

?

又直线x=4也相切

?m ? 16k ? 4 ? 0 ?? ?1 ? 4k ? m
2

解得

? m? ? ? 2 ? ?k ? ? 3 ? 8 ?

,直线为3x+8y-20=0

故所求直线为x-4=0或3x+8y-20=0

16 1 解:因为16 ? 4 ? 1

?m


?

所以点(4,1)在椭圆外,所求切线有两条 x2 y2 设直线方程为x-4=m(y-1)代入椭圆 ? ? 1 中得到 16 4 2 2 my? m ? 4 ? 4 y ?16 ? 0 ,整理,得
2

? 4 y ? 2m ? 8m y ? m ? 8m ? 0
2 2 2

由??

? 8m ? 4 m2 ? 4 m2 ? 8m ? 0 8 2 3m ? 8m ? 0 ,则m ? ? 或m=0
2

?2m

?

?

?

?

2

?

?

??

?

故所求直线方程为x-4=0或3x+8y-20=0

3

16 1 解:因为16 ? 4 ? 1

所以点(4,1)在椭圆外,所求切线有两条 x2 y2 设直线方程为x=my+n, 代入椭圆 ? ? 1中得到 16 4 2 2 (my ? n) ? 4 y ?16 ? 0 ,整理,得
2 2 2

(m ? 4) y ? 2mny? n ?16 ? 0

? ? (2mn)2 ? 4(m2 ? 4)(n2 ?16) ? 0

?4m ? n ? 16 ? 0 m ? 0 ?m ? ? 4=m+n? ? 解得? ? 或? 3 ? ? ?4 ? m ? n ?n ? 4 ? 20
? ? n? 3

,又点(4,1)在直线x=my+n上 ,得 4m2 ? n2 ? 16 ? 0 8 2 2 ?

故所求直线方程为x-4=0或3x+8y-20=0

变式训练2:点P(x,y)在
y?2 解:设 x ? 3 ? k

x2 y?2 ? y 2 ? ,则 1 的取值范围是 x ?3 4



,则y-2=k(x-3),画图如下

y
P(3,2)


y?2 ? k 在A点处取的最小值, 有图可知 x?3 A

在B点处取的最大值 把y-2=k(x-3)代入 x2 ? y 2 ? 1 ,得

?4k

4

F1

0

F2

2

由 ? ? ?24k 2 ? 16k ? ? 4?4k 2 ? 1??36k 2 ? 24k ? 12? ? 0 ,得
2

? 1 x 2 ? 24k 2 ? 16k x ? 36k 2 ? 24k ? 12 ? 0

?

?

?

B

x

6 ? 21 k? 5

,所以k的取值范围为

? 6 ? 21 6 ? 21 ? , ? ? 5 5 ? ?

y?2 y ?3 把 改为 ,则取值范围是 。 x ?3 x ?1 P ( ?1,3) 解:设 y ? 3 ? k ,则y-3=k(x+1),画图如下● y
y ?3 ? k 从A点处开始增大,垂直时,斜率不存在 有图可知 x ?1
x ?1

然后从垂直位置 开始增大到B点处 A 把y-3=k(x+1)代入 F1 x2 ,得 ? y2 ? 1

B

0

F2

x

?4k

? ? ? 由? ? ?8k ? 24k ? ? 4?4k
2

4

? 1 x 2 ? 8k 2 ? 24k x ? 4k 2 ? 24k ? 32 ? 0
2 2 2

? 1 4k 2 ? 24k ? 32 ? 0 ,得

??

?

3 ? 33 k? 3

? 3 ? 33 ? ? 3 ? 33 ? ? ? , ?? ? ? ? , ? ,所以k的取值范围为 ? ? ? 3 3 ? ? ? ?

1、直线与椭圆相切,消元后的一元二次方程判别式 等于0. 2、求椭圆切线时先确定点和椭圆的位置关系:点在 椭圆上切线有一条;点在椭圆外切线有两条,若 求出只有一个斜率,则另一条直线的斜率不存在。 3、设直线方程的时候,要看斜率的情况。若斜率一 定存在,可设为y=kx+m或 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ;若斜 率不为零,可设为x=my+n或 x ? x0 ? m( y ? y0 ) 。 y? y 4、求 x ? x 型的取值范围,要联想斜率,并能用直线和 椭圆相切来解决。
0 0

2 x 例3:求椭圆 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x-y+4=0 的距离的最小值. 8 x? y?4?0

解:画草图如下,与 x ? y ? 4 ? 0平行的一条直线 上的点到 x ? y ? 4 ? 0 的距离都相等。 由平移可知在A点时取得最小值,此时,直线 x ? y ? m ? 0与椭圆相切 把 x ? y ? m ? 0代入椭圆,得

y

x? y?m?0

x ? 8?x ? m? ? 8 ? 0 即: 9 x 2 ? 16mx? 8m2 ? 8 ? 0
2 2

A

F1
2

0

F2



? ? (16m) ? 4 ? 9 ? (8m ? 8) ? 0
2
2
4?3 12 ? ?? 1?
2

B

x

得 m ? 9 ? 0 ,m=3或m=-3 显然当m=3时,直线x-y+3=0与椭圆切于点A 此时,点A到直线x-y+4=0的距离最小,最小值 为

?

2 2

三角中有 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,仿照这个可以把圆的方程

x ?y
2

2

? x ? cos? ? 1 写成 ? (α为参数)。 ? y ? sin ?

同理 : x

2

? y2 ? r

? x ? r cos? 即 ? (ɑ为参数) ? y ? r sin ?

?x ? cos? ? x y ? 2 2 r 2 可变为 ( ) ? ( ) ? 1 写成 ? y r r ? ? sin ? ? ?r

?x ? cos? ? 2 2 ?a x y 仿照上边的可把椭圆 2 ? 2 ? 1 写成 ? a b ? y ? sin ? ? ? x ? a cos? ?b 即 ? (ɑ为参数) y ? b sin ? ?

解:设椭圆上一点P(x,y),且x ? 2 2 cos? , y ? sin ? 则点P 到直线x-y+4=0的距离为
d? 2 2 cos? ? sin ? ? 4 1 ?1
2 2

?

3 cos?? ? ? ? ? 4 2

当 cos?? ? ? ? ? ?1 时,距离d有最小值,最小值为 d=

?3? 4 2

2 ? 2

所以椭圆上的点到直线x-y+4=0的距离的最小值为

? x ? a cos? 点评:椭圆的参数方程为 ? (ɑ为参数) ? y ? b sin ?

2 2

添加例题:P为圆x ? y ? 16上一点,过P向X轴引垂 线,垂足为M,求PM中点Q的轨迹方程。
2 2

解:画图如下,设P点为(x,y)则x=4cosɑ,y=4sinɑ 可得,M(4cosɑ,0) 因为Q是PM的中点,得到Q的坐标为 x=4cosɑ,y=2sinɑ
? x ? 4 cos? ?Q点的参数方程为 (?为参数) ? ? y ? 2 sin ?
化为一般方程是
x2 y2 ? ?1 16 4

y
Q ●

P

M 0M

x

解:画图如下,设P点为 可得,M (x0 , y0) (x0 ,0) 设Q点坐标为(x,y), 因为Q是PM的中点,
x0 ? x0 ? x ? ? x0 ? ? 2 所以 ? ? y ? y0 ? 0 ? y0 ? 2 2 ?
即 x0

y
Q ●

P

M 0M

x

x2 y2 所以 x ? (2 y) ? 16,即 16 ? 4 ? 1 x2 y2 ? ?1 所求Q点的轨迹方程为 16 4
2 2

? x, y0

? 2 y ,因P在圆上,故 xo ? y0 ? 16
2 2

x2 y2 例4:求直线y=2x+1被椭圆 4 ? 2 ? 1 截得弦长. 2 2 x y 解:把直线y=2x+1代入到椭圆 ? ? ,得 1 4 2

设直线和椭圆的交点为
8 ? x ? x ? ? 则 ? ? 1 2 9 ? ?x x ? ? 2 1 2 ? 9 ?

x 2 ? 2?2x ? 1? ? 4 ? 0 9 x 2 ? 8x ? 2 ? 0
2

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?

所以 AB ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2
2 2

?
2

?1 ? k ??x ? x ?
2 1 2

2

?

?1 ? 2 ??x ? x ?
2 1

所得弦长为

2 170 9

2 170 ? 5[(x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 9

x2 5 2 2 变式:直线x+2y+m=0 被椭圆 ? y ? 1 截得的弦长为 ,求实数m的值。 3 2 x2 解:把直线x=-2y-m代入到椭圆 ? y 2 ? 1中得到 2 2 2 2

?? 2 y ? m?


,整理,得 6 y ? 4my ? m ? 2 ? 0 ? 2 y2 ? 2 ? 0

设直线和椭圆的交点为A

?x1, y1 ?和B?x2 , y2 ?

2 m2 ? 2 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 3 6

AB ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2 2

2

?

?1 ? 2 ?? y ? y ?
2 1 2

2

? (1 ? 22 )[? y1 ? y2 ?
解得

m ? ?1

80 10m 2 5 2 ? 4 y1 y2 ] ? ? ? 9 3 3

所以m 的值为

?1

1、弦长公式的两种形式:

1 AB ? (1 ? k )(x1 ? x2 ) 或者 AB ? (1 ? 2 )( y1 ? y2 ) 2 k
2 2

2、弦长公式做选择题或者填空题的时候可以直 接用,做解答题的时候要用两点间的距离公 式 AB ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? 推导一下。
2 2

例5:椭圆

x2 y2 ? ?1 16 4

的弦AB被点P(2,1)平分,求弦

AB所在的直线方程
x2 y2 解:设直线AB的方程为y - 1 = k(x - 2)代入椭圆 16 ? 4 ? 1 ,得

x2 ? 4(kx ? 2k ? 1)2 ?16 ? 0
即 (1 ? 4k
2

) x2 ? (8k ?16k 2 ) x ? 16k 2 ?16k ?12 ? 0

8k ? 16k 2 ?4 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 4k 1 解得 k ? ? 2
所以直线方程为 y ? 1 ? ?

故弦AB所在直线为

x + 2y - 4 = 0

1 ?x ? 2? ,即 x + 2y - 4 = 0 2

解:设 A?x1 , y1 ?B?x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 由A,B在椭圆上,可得

? x12 y12 ?1 ? ? ? 16 4 2 2 2 2 ? 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? ?0 ? x2 ? y 2 ? 1 ,则 16 4 ? 4 ? 16 ? x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? 即 ? ?0 16 4 y1 ? y2 1 ?? 因为 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 ,所以 x1 ? x2 2
1 1 ,则 y - 1 = - ? x ? 2 ? 2 2 弦AB所在直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0

即k = -

1、求中点弦的问题,就是求直线的斜率k。常用方 法是把直线设出来,代入到椭圆中得到一个关 于x或关于y的一元二次方程,用中点坐标公式 x ? x ? 2x 或y ? y ? 2 y 求出k
1 2 0 1 2 0

2、方法二是用“设而不求”的方法,把点A和B的 坐标 设出来,都代入椭圆方程,得到得两个方程相减 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ? 0 后再用中点坐标公式 ? y1 ? y2 ? 2 y,不求坐标直

接求出斜率k得到直线方程

x2 y2 ym ? ? 1上存在两点A、B关于直线 y ? 4 x ? 例6、椭圆 4 3
对称,求实m的取值范围。 解:作简图如右图
y?? 1 x?n 4

A

P?0

B

x

因为A、B关于直线 y 线

x y 1 ? ? 1 ,得 x ? n ,代入椭圆 4 4 3 2 13 2 ? 1 ? 2 3x ? 4? ? x ? n ? ? 12 ? 0 ,即 x ? 2nx ? 4n 2 ? 12 ? 0 ? 4 ? 4 13 13 13 2 ? ? ?2n ? ? 4 ? ? ?4n 2 ? 12 ? ? 0 ,得 ? ?n? 4 2 2
设AB直线方程为 y ? ?

x ? m 上。 y ? 4 x ? m 垂直且AB中点P在直线y ? 4 2 2

? 4x ? m

y ? 4x ? m 对称,所以直线AB与直

8 设A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y2 ?, 则x1 ? x 2 ? n 13 1 所以P点的横坐标为 x p ? 4 n ,代入直线 y ? ? x ? n 得
12 P点纵坐标为 y p ? n 13 13
4

点P在直线 y

13 即 n ? ? m 代入到 ? 13 ? n ? 13 ,得 ? 13 ? ? 13 m ? 13 4 2 2 2 4 2
?? 2 13 2 13 ,所求m的取值范围是 2 13 2 13 ?m? (? , ) 13 13 13 13

12 4 n ? 4 ? n?m 上,所以 ? 4x ? m 13 13

点评:1、点关于直线对称问题有两个结论: (1)两点连线与已知直线垂直(斜率之积为-1)。 (2)两点的中点在已知直线上 2、直线代入到椭圆后所得的一元二次方程有两个实根 判别式大于0,得到一个不等式,这是求范围的重 要环节。

解:

所以

? x12 y12 ?1 ? ? 2 2 ? 4 3 x y 设A?x1 , y1 ?B?x2 , y2 ?, AB中点P?xP , yP ?代入到椭圆 ? ? 1, 得 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 4 3 ? 3 ? 4 2 2 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? 0x1 ? x2 x1 ? x2 ? y1 ? y2 y1 ? y2 ? 0 4 3

? ,即

??
4

? ?

??
3

?

因为AB关于y=4x+m对称,所AB得斜率为 y1 ? y2 1 ? - ,所以 即 x1 ? x2 4

y1 ? y2 ? 3?x1 ? x2 ?,即 yP ? 3xP ? ?

1 4

又点P在直线y=4x+m,即 ? ? xP ? m 联立??,得 ? 2 ? yP ? 3m m 2 ?3m ? 13 2 ? m ?1 因为点P在椭圆内部,所以 ? 得 ? 2 13 ? m ? 2 13
13 13 4 3 4

2 13 2 13 , ) m的取值范围是 (? 13 13

变式训练:
2 x 椭圆C: ? y 2 ? 1(a ? 0) 的焦点在x轴上,且椭圆上的点到焦 a2 点的最短距离为 3 ? 2 。

(1)求椭圆方程 (2)若 l :y=kx+m(k≠0)与椭圆交于M、N,且线段MN的垂

直平分线恒过A(0,-1),求m的取值范围。
2 2 ? a ? c ?1 ? ? 解:(1)由题意知: ,解得a ? ? 3? 2 ?a ? c 2

? 3, c ? 2

所求的椭圆方程为

x ? y2 ? 1 3

接上页变式题解答
x2 2 (2)把y=kx+m代入椭圆 ? y ? 1 ,得到 3

(1 ? 3k )x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 即:
2 2 2

x ? 3(kx ? m) ? 3 ? 0
2 2

? ? (6km)2 ? 4(1 ? 3k2 )(3m2 ? 3) ? 0
即m 2 ? 3k 2 ? 1 ? 0 ……? 6km 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),则x1 ? x2 ? ? 2

m 所以 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 3k 2 ? 1
所以MN中点坐标为 P ( ? 3km , 2
m ) 2 3k ? 1 3k ? 1

3k ? 1

1 因为MN的垂直平分线过点A(-1,0),设其斜率为 - , k

接上页变式题解答
直线方程为y= -

把 ?代入?,得m
所以0<m<2
2

m ? 2 3k ? 1 3k 2 ? 1 2m ? 1 2 ……? k ? 3 2

1 (x+1),点P在该直线上,得 k 3m - 2m ,即 ?1 ?1

3k 2 ? 1

? 2m ? 0

2m ? 1 又k ? ? 0, 得 3 1 m? 2 所以m的取值范围为 (0, 1 ) ? ( 1 ,2) 2 2

本节课主要学习了直线和椭圆位置关系的应用,有 以下几个方面:

1、相离时求椭圆上点到直线的距离的最值
y ? y0 2、相切时求切线方程及 x ? x 0

型的求解

3、相交时求弦长、中点弦方程、点对称问题

? x ? a cos? ??为参数? 4、椭圆的参数方程? ? y ? b sin?

谢谢


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