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射影定理


射影定理
射影定理,又称“欧几里德定理”,由古希腊著名数学家、《几何原本》作 者欧几里得提出。内容是:指在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边 射影的比例中项, 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中 项。 概述图中,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的高,则有射影定 理如下: CD?=AD·DB,AC?=AD·AB,BC?=BD·AB,AC·BC=AB·CD。 目录 1 定理介绍
? 定理解释 ? 定理提出者简介

2 直角三角形射影定理
? 证法一 ? 证法二

3 任意三角形射影定理
? 内容 ? 定理证明

4 欧几里得面积射影定理
? 定理内容 ? 证明思路

1 定理介绍
定理解释 所谓射影,就是正投影。直角三角形或任意三角形中的射影定理(又叫欧几 里德(Euclid)定理):[1] 直角三角形中,斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每 一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1] 定理提出者简介

欧几里得(希腊文:Ε υ κ λ ε ι δ η ? ,公元前 325 年—公元前 265 年), 古希腊数学家,被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前 323 年-公 元前 283 年)时期的亚历山大里亚。 他最著名的著作 《几何原本》 是欧洲数学的基础, 总结了平面几何五大公设, 被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲 线、球面几何学及数论的作品。[2]

2 直角三角形射影定理编辑
证法一 可以只用勾股定理来证明。 ①CD^2=AD×BD;②AC^2=AD×AB;③BC^2=BD×AB;④AC×BC=AB×CD 证明:①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2 ∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2 ∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=2AD×BD ∴CD^2=AD×BD ②∵CD^2=AD×BD(已证) ∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2 ∴AC^2=AD×(BD+AD) ∴AC^2=AD×AB ③∵BC^2=DC^2+BD^2 且 DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)×BD=AB×BD ∴BC^2=AB×BD ④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴AC×BC=AB×CD 证法二 用三角函数证明

直角三角形中的射影定理 由等积法可知:AB×BC=BD×AC 在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中,tan∠BAD=BD/AD=BC/AB

故 AB×BC=BD×AC 两边各除以 tan∠BAD 得:AB2=AD×AC 同理可得 BC?=CD·CA 在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中 tan∠BAD=BD/AD, cot∠BCD=CD/BD 又∵tan∠BAD=cot∠BCD 故 BD/AD=CD/BD 得 BD2=AD×CD

3 任意三角形射影定理
内容 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”: △ABC 的三角是 A、B、C,它们所对的边分别是 a、b、c,则有 a=b·cosC+c·cosB, b=c·cosA+a·cosC, c=a·cosB+b·cosA。 注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c 在 a 上的射影分别为 b·cosC、 c·cosB,故名射影定理。 定理证明 证明 1:设点 A 在直线 BC 上的射影为点 D 则 AB、AC 在直线 BC 上的射影分别为 BD、CD 且 BD=c·cosB,CD=b·cosC ∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余 证明 2:使用正弦定理证明

证法①b=asinB/sinA,



c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。 证法②∵在△ABC 中 ∴sinA=sin(180°-A) sinA=sin(B+C);

根据正弦定理,可得 。 同理可证其余。

4 欧几里得面积射影定理
定理内容 欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的 面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即 COSθ =S 射影/S 原)。”

(平面多边形及其射影的面积分别是 在平面所成的二面角为 ) 证明思路



,它们所

因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的, 又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度(三角形中称 高)的比。 那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形,并 使斜边和一直角边垂直于棱(即原多边形图的平面和射影平面的交线),则三角

形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比。将此 比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。


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