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空间角与距离求法(高二)


空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点,也是学生学习的难点,更是高考的必考点 . 新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推 理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点, 也是学习的难点, 更是高考的必考点.我们在复习 时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) a, b 是空间两个非零向量,过空间任意一点 O ,作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB 叫做 向量 a 与向量 b 的夹角,记作 ? a, b ? ,并规定 0? ?? a, b ?? 180? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b (2) 空间两个非零向量 a, b 的夹角公式: cos ? a, b ?? ? ? . | a |?|b | (3) 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z 2 ) 则 | a |? ? ? ? ? x12 ? y12 ? z12 , | b |? 2 2 2 x2 ? y2 ? z2 , ? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2 . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义: 已知两条异面直线 a 和 b , 经过空间任一点 O 作直线 a ? // a, b? // b, 我们把 a ? 与 b? 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角(或夹角). ? ? (2) 范围: 异面直线 a 和 b 所成的角为 ? : 0 ? ? ? 90 , 则 cos ? ? 0 . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线 a 和 b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形 (有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若 由边角关系求得为钝角 时,注意取其补角为异面直线所成的角. .. ▲② 向量法: 若 a 和 b 分别是异面直线 a 和 b 的方向向量,则 ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b | a ?b | ? |? ? ? . cos? ?| cos ? a, b ?|?| ? | a |?|b | | a |?|b | ? 说明: ① 其中 ? ? < a, b >或 180 ? < a, b > ; ? ? ? ? A ② 在计算 a ? b 时可用向量分解或坐标进行运算. ? ? O 三、直线与平面所成的角 B ? (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平 1 ? 面内,那么就说直线和平面所成的角是 0 的角. (2) 范围: 直线 m 是平面 ? 的斜线,它们所成的角为 ? : 0 ? ? ? 90 . ? ? ? (3) 求法: ▲① 直接法: 根据定义作出(有时利用面面垂直的性质定理来作)直线 m 与平面 ? 所成的角; 常常通过解直角三角形来求角. m n 难点: 通常不容易作出直线 m 与平面 ? 所成的角;或难解三角形. ? ? ▲② 法向量法: 直线 m 的方向向量为 m ,平面 ? 的法向量为 n ,则 ? ? ?

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