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一次函数知识要点及例题解析讲课


一次函数知识要点及例题解析
[基础知识精要] 在生动活泼的数学世界里,我们总会发现两个量之间存在着对应关系,函数就是对应关 系的产物,学好函数知识熟练掌握数形结合的思想,对研究物理、化学等学科有着极其重要 意义,今天我引大家进入丰富多彩的函数(function)迷宫! 1.知识结构 确定一次函数表达式

一次函数的图像 函数 一次函数 一次函数图像的应用 2.有关概念 2.1 函数(function)定义: 设在一个变化过程中,有两个变量 x 与 y, 如果给定一个 x 值, 相应就确定了一个 y 的值, .. 就说 y 是 x 的函数.x 是自变量,y 是因变量. 要理解函数的概念需要注意两点: 第一,自变量 x 必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是: 1.整式,x 取一切实数; 2.分式,x 取分母不为零的数; 3.二次根式,x 取使被开方数为非负数的数,三次根式,则 x 取一切实数; 4. 实际问题则根据实际需要来确定. 第二.函数关系是变量 x 与 y 的一种特殊对应关系 (呈现方式可以是表达式、 图象或表格) , 而且对自变量 x 的每一个值,因变量 y 都有唯一的值与它对应.所谓“唯一”就是有一个且 只有一个. 2.2 一次函数(linear function)定义: 函数 y ? kx ? b ( k ? 0 , k , b 是常数)叫一次函数.特别地当 b ? 0 时, y ? kx ( k ? 0 )叫 正比例函数. 2. 3 一次函数的图象(graph):
b 一次函数的图象是一条直线.一般画两点 A( 0, b ),B (? , 0) ,然后经过这两点作直线 .. k

即可; 性质:
-1-

直线 y ? kx ? b ,在直角坐标系中的位置由常数 k 、 b 的符号决定, 当 k ? 0, b ? 0 时,经过一、二、三象限; 当 k ? 0, b ? 0 时,经过一、三、四象限; 当 k ? 0, b ? 0 时,经过一、二、四象限; 当 k ? 0, b ? 0 时,经过二、三、四象限. 当 k>0 时, y 随着 x 的增大而增大; 当 k<0 时, y 随着 x 的增大而减小, 增减性与 b 无关.这里 k 的值可以决定直线倾斜的方向,b 的值可以决定直线与 y 轴相交 的交点的位置. [重难点突破] 一次函数的重点是概念、图象和性质.一次函数是最基本函数.学习一次函数后,对研 究函数的基本方法有了初步的认识.可以推动反比例函数和二次函数甚至高中各类函数的学 习.难点是学习一次函数时,要注意与一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组的 联系,在学习图象时,要与几何知识相联系. 1.如何掌握一次函数的概念、图象和性质. [例题 1] 已知: y ? (m ? 3) xm ?8 ? m ?1 是一次函数,求 m 的值.
2

解后反思: 1 ○一次函数 y ? kx ? b 中: k ≠0,自变量 x 的最高次项的次数为 1. 2 ○易错点:忽视 m ? 3 ? 0 这一限制条件而出错. 变式:一次函数 y ? kx ? b 中,如何确定函数值的增减性?如果把本题改为

y ? (m ? 2) xm ?8 ? m ?1 是一次函数,且 y 随着 x 的增大而减小,请你求 m 的值。
2

-2-

[例题 2] 已知, 直线 y ? (k ? 1) x ? b 与 y ? 3x ? 2 平行, 且过点 (1, , -2) 请问直线 y ? bx ? k 不经过哪个象限?

解后反思: 1 ○直线 y= k1 x + b1 与直线 y= k2 x ? b2 平行,即 k1 ? k2 ,反之亦然; 2 ○直线 y ? kx ? b 经过点( m, n ) ,或点( m, n )在直线上,则 x ? m, y ? n 满足关系式
y ? kx ? b ,就是 n ? km ? b .

3 ○题中直线 y ? ?5x ? 4 中, k ? ?5 ? 0, b ? ?4 ? 0 .
4 ○易错点:本题提到的直线有三条,要搞清是对哪条直线提出问题;另外,有的同学审

题粗心易回答成经过的象限. [例题 3] 如图所示,已知直线 l 交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 A,求: (1) y 与 x 的函数关系式; (2) ? AOB 的周长和面积;

-3-

解后反思:
1 ○确定一次函数的表达式,就是求待定系数 k , b .一般已知直线上两双不同对应值,

可以得到两个方程,求出 k , b .
2 ○第二小题,是涉及函数与几何的综合题,根据勾股定理、三角形有关性质等知识,运

用数形结合的思想求得.
3 ○易错点:用坐标表达线段长度时,要注意加绝对值符号,如 P(0,-7) ,则 OP=|-7|=7

变式:如果本题改为直线 y ? ?kx ? 2 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,且 ? AOB 的面积为 3,求 k 的值.

初二数学一次函数知识点总结
1、函数:*判断 Y 是否为 X 的函数,只要看 X 取值确定时,Y 是否有唯一确定的值与之对应 例: (1)下列关系式中, y 不是 x 的函数的有 个 ① y ? 2x ② y ? ?x ? 2 ③y?

2 x

④ y ? x2

⑤ y2 ? x

⑥ y ?x ( y

⑦ y ? ? 2010x )

(2)下列各图给出了变量 x 与 y 之间的函数是: y y y

o

x

o

x

o C

x

o D

x

B A 2、确定自变量 x 取值范围的方法: (2)关系式有分母时,分母不等于零;

(1)关系式为整式时,自变量 x 的取值范围为全体实数; (3)关系式含有根号时,被开方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,自变量 x 的取值范围还要和实际情况相符合,使之有意义。 例: (1)函数 y= x ? 2 自变量 x 的取值范围是 函数 y ? ,y? ;y?

1 自变量 x 的取值范围是 x?2

x?2 自变量 x 的取值范围是 x?3

x?3 x?2

自变量 x 的取值范围是

-4-

函数 y= x ? 3 ? ?x ? 3? 自变量 x 的取值范围是
0

(2)拖拉机的油箱装油 56 千克,犁地平均每小时耗油 6 千克,则油箱剩油量 q (千克)与时间 t (小 时)之间的关系是 ,自变量 t 的取值范围是 (3) 已知等腰三角形周长为 20,写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式(x 为自变量),并写出自变量取值范 围,画出函数图象.

4、正比例函数及性质 正比例函数一般形式:y=kx (k 不为零)其中 k 叫做比例系数.① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b=0 ①解析式:y=kx(k 是常数,k≠0)②必过点: (0,0)(1,k)③走向和增减性:k>0 时,图像经过一、 、 三象限,k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0 时,?图像经过二、四象限,y 随 x 增大而减小。 ④倾斜度:|k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴 例: (1)图象经过(1,2)的正比例函数的表达式为___ ___ (2) y ? ?m ? 3?x m 若
2

?8

则 ? 2 ? 3n 是正比例函数, m ?

,n ? ,n



y o

y=k1x y=k2x x y=k3x

若 y ? ?m ? 3?x m

2

?8

? 2 ? 3n 是一次函数,则 m ?

(3)函数 y=(k-1)x,y 随 x 增大而减小,则 k 的范围是 (4)如图所示: k1 , k 2 , k 3 的大小关系是 5、一次函数及性质 一次函数一般形式:y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零

②x 指数为 1 ③ b 取任意实数

(1)解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0)(2)必过点: (0,b)和(-

b ,0) k

(3)走向: k>0,图象经过第一、三象限; k<0,图象经过第二、四象限 b>0,图象与 y 轴交点在 x 轴上方;b<0,图象与 y 轴交点在 x 轴下方

?k ? 0 ? 直线经过第一、二、三象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第一、三、四象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第一、二、四象限 ? ?b ? 0 ?k ? 0 ? 直线经过第二、三、四象限 ? ?b ? 0
-5-

(4)增减性: k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小. (5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于 y 轴;|k|越小,图象越接近于 x 轴. (6)图像的平移: 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位. 例: (1)已知一次函数 y ? (a ? 1) x ? b 的图象如图所示,那么 a 的取值范围 是 , b 的取值范围是 与坐标轴围成的三角形面积为

y

O

x

(2)函数 y=2x+6 与 x 轴的交点坐标是_______,与 y 轴的交点坐标是__ ___ (3)点 A( x1 , y1 )和点 B( x 2 , y2 )在同一直线 y ? kx ? b 上,且 k ? 0 .若 x1 ? x2 ,则 y1 , y2 的 关系是 (4)将直线 y=3x 向下平移 5 个单位,得到直线 ;直线 y=-x-5 如何平移,得到直线 y=-x )

(5)函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是(

A.

B.

C.

D. )

(6)若直线 y ? ? x ? a 和直线 y ? x ? b 的交点坐标为( m ,8 ),则 a ? b ? ____________. (7)已知函数 y=3x+1,当自变量增加 m 时,相应的函数值增加( A.3m+1 B.3m C.m D.3m-1

(8)已知 A?8,0? 及在第一象限的动点 P?x, y ? ,且 x ? y ? 10 ,设 ?OPA 的面积为 S ①求 S 关于 x 的函数解析式; ②求 x 的取值范围; ③求 S =12 时 P 点坐标 ④画出函数 S 图象

6、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系 (1)两直线平行:k1=k2 且 b1 ? b2 (2)两直线相交于 y 轴同一点:k1 ? k2 且 b1 ? b2 值分别为 ( ) B、 k =3, b =3 C、 k = ? 2 , b =3 D、 k =2, b =3

例:已知一次函数 y ? kx ? b与直线y ? 3x ? 2 平行,与直线 y ? 2 x ? 3 相交于 y 轴上一点,则 k 、 b 的 A、 k =3, b =2

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)设; (2)找; (3)代;

(4)还原

例:暑假期间,小明和父母一起开车到距家 200 千米的景点旅游.出发前,汽车油箱内储油 45 升;当行驶 150 千米时,发现油箱剩余油量为 30 升. (1)已知油箱内余油量 y(升)是行驶路程 x(千米)的一次函数,求 y 与 x 的函数关系式; (2)当油箱中余油量少于 3 升时,汽车将自动报警.如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到
-6-

家?请说明理由.

8、一元一次方程与一次函数的关系 例:已知 ax ? b ? 0 的解是 2,则 y ? ax ? b 与 x 轴的交点坐标是 9、一次函数与一元一次不等式的关系 例:①已知一次函数 y=-2x-6。 (1)当 x=-4 时,则 y= , 当 y=-2 时,则 x= ; (2)画出函数图象; (3)不等式-2x-6>0 解集是_____, 不等式-2x-6<0 解集是_____; (4)如果 y 的取值范围-4≤y≤2,则 x 的取值范围__________; (5)如果 x 的取值范围-3≤x≤3,则 y 的最大值是________,最小值是_______. ②如图,一次函数 y ? kx ? b 的图像经过 A、B 两点,则 kx ? b ? 0 解集是【 A. x ? 0 B. x ? 3 C. x ? 2 D. ? 3 ? x ? 2 】

y B(0,2) O x

10、一次函数与二元一次方程组 例:(1)若直线 y=3x+4 和直线 y=-2x-6 交于点 A,则点 A 的坐标__

A (- 3 ,0)
__ y

(2) 一次函数 y1 ? kx ? b 与 y2 ? x ? a 的图象如图,则下列结论① k ? 0 ;②

y2 ? x ? a
O 3 x

a ? 0 ;③当 x ? 3 时, y1 ? y2 中,正确的个数是(
A.0 B.1 C.2 D.3



y1 ? kx ? b

(3)如图,直线 y1=kx+b 过点 A(0,2) ,且与直线 y2=mx 交于点 P(1,m) ,则不等式组 mx>kx+b>mx-2 的解集是______________. 专题训练: 1.已知直线 y=2x+m 不经过第二象限,那么实数 m 的取值范围 是 _. 直线 y=kx+b 经过一、二、四象限,则直线 y=-bx+k 不经过 第_ ___象限. 直线 y ? ?m ? 1?x ? ?m ? 3? 与 y 轴交于 x 轴上方,则实数 m 的取值 范围是 _ 2.一次函数 y=kx+b 的图象经过 P(1,0)和 Q(0,1)两点,则 k= ,b= . 2 3.正比例函数的图象与直线 y= x+4 平行,则该正比例函数的解析式为 ____ 3 3 4.函数 y= x 的图象是一条过原点(0,0)及点(2, )的直线,这条直线经过第 2 y 随 x 的增大而 .
-7-

. _____象限,

5.已知一次函数 y= 6.把直线 y= -

1 x+2 当 x= 2 平移

时,y=0;当 x

时 y>0; 当 x

时 y<0.

3 x -2 向 2

个单位,得到直线 y= -

3 (x+4) 2

1 7.一次函数 y=kx+b 过点(-2,5),且它的图象与 y 轴的交点和直线 y=- x+3 与 y 轴的交点关于 x 轴对 2 称,那么一次函数的解析式是 . 8. 直线 y=kx+b 经过点(0,3),且与两坐标轴构成的直角三角形的面积是 6,则其解析式为 . 9.一次函数 y ? kx ? b ,当 ? 3 ? x ? 1 时,对应的 y 值为 1 ? y ? 9 ,则函数解析式为 10. 在边长为 2 的正方形 ABCD 的边 BC 上,有一点 P 从 B 点运动到 C 点,设 PB=x,四边形 APCD 的面积 为 y,写出 y 与自变量 x 的函数关系式,并且在直角坐标系中画出它的图象.

11. 已知一次函数 y= (1)求△ABC 的面积.

3 1 x+m 和 y=- x+n 的图象交于点 A(-2,0)且与 y 轴的交点分别为 B、C 两点, 2 2 3 1 x+m 的函数值小于直线 y=- x+n 的函数值 2 2

(2)观察图像,请写出当 x 为何值时,直线 y=

12.已知:一次函数的图象经过点(2,1)和点(-1,-3) . (1)求此一次函数的解析式; (2)求此一次函数与 x 轴、y? 轴的交点坐标以及该函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积; (3)若一条直线与此一次函数图象相交于(-2,a)点,且与 y 轴交点的纵坐标是 5,? 求这条直线的解 析式; (4)求这两条直线与 x 轴所围成的三角形面积.

y
, 13.如图:在平面直角坐标系中 A?1,6? B?? 1,2?
-8-

A B o x

(1)在 y 轴上找一点 C ,使 AC ? BC 最短,求点 C 的坐标 (2)在 x 轴上找一点 D ,使 AD ? BD 最短,求点 D 的坐标

巩固练习

一、选择题: 1.已知 y 与 x+3 成正比例,并且 x=1 时,y=8,那么 y 与 x 之间的函数关系式为( ) (A)y=8x (B)y=2x+6 (C)y=8x+6 (D)y=5x+3

2.若直线 y=kx+b 经过一、二、四象限,则直线 y=bx+k 不经过( ) (A)一象限 (B)二象限 (C)三象限 (D)四象限

3.直线 y=-2x+4 与两坐标轴围成的三角形的面积是( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)16 之间的函数解 量均为 2kg 时,

4. 若甲、 乙两弹簧的长度 y (cm) 与所挂物体质量 x (kg) 析式分别为 y=k1x+a1 和 y=k2x+a2,如图,所挂物体质
-9-

甲弹簧长为 y1,乙弹簧长为 y2,则 y1 与 y2 的大小关系为( ) (A)y1>y2 (C)y1<y2 (B)y1=y2 (D)不能确定

5.设 b>a,将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内,?则有一组 a,b 的取值, 使得下列 4 个图中的一个为正确的是( )

6.若直线 y=kx+b 经过一、二、四象限,则直线 y=bx+k 不经过第( )象限. (A)一 (B)二 (C)三 (D)四

7.一次函数 y=kx+2 经过点(1,1) ,那么这个一次函数( ) (A)y 随 x 的增大而增大 (C)图像经过原点 (B)y 随 x 的增大而减小 (D)图像不经过第二象限

8.无论 m 为何实数,直线 y=x+2m 与 y=-x+4 的交点不可能在( ) (A)第一象限 9.要得到 y=(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

3 3 x-4 的图像,可把直线 y=- x( ) . 2 2
(B)向右平移 4 个单位 (D)向下平移 4 个单位

(A)向左平移 4 个单位 (C)向上平移 4 个单位

10.若函数 y=(m-5)x+(4m+1)x2(m 为常数)中的 y 与 x 成正比例,则 m 的值为( ) (A)m>-

1 4

(B)m>5

(C)m=-

1 4

(D)m=5

11.若直线 y=3x-1 与 y=x-k 的交点在第四象限,则 k 的取值范围是( ) . (A)k<

1 3

(B)

1 <k<1 3

(C)k>1

(D)k>1 或 k<

1 3

12.过点 P(-1,3)直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5,?这样的直线可以作( ) (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条

13.已知 abc≠0,而且 (A)第一、二象限 (C)第三、四象限

a?b b?c c?a ? ? =p,那么直线 y=px+p 一定通过( ) c a b
(B)第二、三象限 (D)第一、四象限

14.当-1≤x≤2 时,函数 y=ax+6 满足 y<10,则常数 a 的取值范围是( )
- 10 -

(A)-4<a<0 (C)-4<a<2 且 a≠0

(B)0<a<2 (D)-4<a<2

15.在直角坐标系中,已知 A(1,1) ,在 x 轴上确定点 P,使△AOP 为等腰三角形,则符合条件的点 P 共有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个
2

(D)4 个

20.若 k、b 是一元二次方程 x +px-│q│=0 的两个实根(kb≠0) ,在一次函数 y=kx+b 中,y 随 x 的增 大而减小,则一次函数的图像一定经过( ) (A)第 1、2、4 象限 (C)第 2、3、4 象限 二、填空题 1.已知一次函数 y=-6x+1,当-3≤x≤1 时,y 的取值范围是________. 2.已知一次函数 y=(m-2)x+m-3 的图像经过第一,第三,第四象限,则 m 的取值范围是________. 3.某一次函数的图像经过点(-1,2) ,且函数 y 的值随 x 的增大而减小,请你写出一个符合上述条件 的函数关系式:_________. 4.已知直线 y=-2x+m 不经过第三象限,则 m 的取值范围是_________. 5.函数 y=-3x+2 的图像上存在点 P,使得 P?到 x?轴的距离等于 3,?则点 P?的坐标为__________. 6.过点 P(8,2)且与直线 y=x+1 平行的一次函数解析式为_________. 7.y= (B)第 1、2、3 象限 (D)第 1、3、4 象限

2 x 与 y=-2x+3 的图像的交点在第_________象限. 3

三、解答题 1.已知一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A(2,0)与 B(0,4)(1)求一次函数的解析式,并在直角 . 坐标系内画出这个函数的图象; (2)如果(1)中所求的函数 y 的值在-4≤y≤4 范围内,求相应的 y 的值 在什么范围内.

- 11 -

2.已知 y=p+z,这里 p 是一个常数,z 与 x 成正比例,且 x=2 时,y=1;x=3 时,y=-1. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果 x 的取值范围是 1≤x≤4,求 y 的取值范围.

5.已知一次函数的图象,交 x 轴于 A(-6,0) ,交正比例函数的图象于点 B,且点 B?在第三象限,它 的横坐标为-2,△AOB 的面积为 6 平方单位,?求正比例函数和一次函数的解析式.

- 12 -

9.已知:如图一次函数 y=

1 x-3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,过点 C(4,0)作 AB 的垂 2

线交 AB 于点 E,交 y 轴于点 D,求点 D、E 的坐标.
- 13 -

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