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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-6


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)已知△ABC 中,a= 2、b= 3、B=60° ,那么角 A 等于 ( ) A.135° C.45° [答案] C a b [解析] 由正弦定理得,sinA=sinB, asinB 2sin60° 2 sinA= b = =2, 3 又∵a<b,∴A<B,故 A=45° ,选 C. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边长分

别为 a、b、c,已知 A π =3,a= 3,b=1,则 c 等于( A.1 C. 3-1 [答案] B a b 3 1 [解析] 解法 1:由正弦定理sinA=sinB得, π=sinB, sin3 1 ∴sinB=2,故 B=30° 或 150° . 由 a>b 得 A>B,∴B=30° . 故 C=90° ,由勾股定理得 c=2,选 B. ) B.2 D. 3 B.90° D.30°

π 解法 2:由余弦定理知,3=c2+1-2ccos3, 即 c2-c-2=0,∴c=2 或-1(舍去). 2.(文)(2014· 莲塘一中质检)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边 分别为 a、b、c,若 a=1,c=4 2,B=45° ,则 sinC 等于( 4 A.41 4 C.25 [答案] B [解析] 依题意得 b= a2+c2-2accosB=5, c b csinB 4 2sin45° 4 又sinC=sinB,所以 sinC= b = =5,选 B. 5 (理)在△ABC 中, a、 b、 c 分别是三内角 A、 B、 C 的对边, 且 sin2A -sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角 C 等于( π A.6 5π C. 6 [答案] B [解析] 由正弦定理得 a2-c2=(a-b)· b=ab-b2, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cosC= 2ab =2, π ∵0<C<π,∴C=3. 3.(文)(2013· 浙江调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a, b, c.若 sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0, 则 tanA 的值是( 3 A. 3 3 B.- 3 ) π B.3 2π D. 3 ) 4 B.5 4 41 D. 41 )

C. 3 [答案] D

D.- 3

[解析] 依题意及正弦定理可得,b2+c2-a2=-bc,则由余弦定 b2+c2-a2 -bc 1 2π 理得 cosA= 2bc = 2bc =-2,又 0<A<π,所以 A= 3 ,tanA= 2π tan 3 =- 3,选 D. (理)(2013· 浙江宁波十校联考)在△ABC 中,a2tanB=b2tanA,则角 A 与角 B 的关系是( A.A=B C.A=B 或 A+B=90° [答案] C [解析] 由已知条件 a2tanB=b2tanA?sin2A=sin2B,因为 A,B 为三角形内角,所以有 2A=2B 或 2A+2B=180° ,即 A=B 或 A+B =90° .学生容易错选 D,即 A=B 且 A+B=90° . 4.(2013· 合肥二检)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、 c b、c,若b<cosA,则△ABC 为( A.钝角三角形 C.锐角三角形 [答案] A [解析] sinC 依 题 意 得 sinB <cosA , sinC<sinBcosA , 所 以 sin(A + ) B.直角三角形 D.等边三角形 ) B.A+B=90° D.A=B 且 A+B=90°

B)<sinBcosA,即 sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0. 又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形,选 A. 5.(文)(2013· 浙江五校第二次联考)若△ABC 的内角 A,B,C 对 边分别为 a,b,c,且 a=1,∠B=45° ,S△ABC=2,则 b=( )

A.5 C. 41 [答案] A

B.25 D.5 2

1 [解析] 解法 1:由 S△ABC=2acsin45° =2?c=4 2, 再由余弦定理可得 b=5. 解法 2:作三角形 ABC 中 AB 边上的高 CD, 2 在 Rt△BDC 中求得高 CD= 2 ,结合面积求得 7 2 AB=4 2,AD= 2 ,从而 b= AD2+CD2=5. (理)(2013· 呼和浩特第一次统考)在△ABC 中, 如果 sinA= 3sinC, B=30° ,角 B 所对的边长 b=2,则△ABC 的面积为( A.4 [答案] C [解析] 据正弦定理将角化边得 a= 3c,再由余弦定理得 c2+ 1 ( 3c)2-2 3c2cos30° =4,解得 c=2,故 S△ABC=2×2×2 3×sin30° = 3. 6.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、 b、c 成等差数列,∠B=30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 [答案] C 1 1 [解析] 2acsinB=2,∴ac=2, 又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, B.3+ 3 D.2+ 3 ) B.1 C. 3 D.2 )

由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= 二、填空题

3+ 3 3 .

7.(2014· 弋阳一中月考)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶 sinA+sinC x2 y2 点 A(-1,0),C(1,0),顶点 B 在椭圆 4 + 3 =1 上,则 sinB 的值 为________. [答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 sinB = AC =2. 8.(2014· 江西四校联考)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长 π 分别为 a、b、c,已知 c=3,C=3,a=2b,则 b 的值为________. [答案] 3

[解析] 依题意及余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 9=(2b)2 π +b2-2×2b×bcos3,解得 b2=3,∴b= 3. 9.(文)(2012· 石家庄质检)在△ABC 中,∠A=60° ,BC=2,AC 2 6 = 3 ,则∠B=________. [答案] 45° BC AC [解析] 利用正弦定理可知:sinA=sinB, 2 6 3 2 2 即sin60° =sinB,∴sinB= 2 , 2 6 ∵2> 3 ,∴BC>AC,∴∠A>∠B,∴∠B=45° .

(理)(2012· 北京西城区期末)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对 π 边分别为 a、b、c.若 b= 5,B=4,tanC=2,则 c=________. [答案] 2 2 sin2C+cos2C=1 [解析]

? 4 2 5 ??sin2C=5?sinC= 5 .由正弦定 sinC tanC=2?cosC=2?

b c sinC 理,得sinB=sinC,∴c=sinB×b=2 2. 三、解答题 10.(文)(2012· 浙江文,18)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c,且 bsinA= 3acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a、c 的值. a b [解析] (1)由 bsinA= 3acosB 及sinA=sinB得, sinB= 3cosB, π 所以 tanB= 3,因为 0<B<π,所以 B=3. a c (2)由 sinC=2sinA 及sinA=sinC得,c=2a.① 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得, 9=a2+c2-ac.② 由①、②得 a= 3,c=2 3. [点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识,同 时考查运算求解能力. (理)(2013· 浙江省名校联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分

cosA-3cosC 3c-a 别为 a,b,c.已知 = b . cosB sinC (1)求sinA的值; (2)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. a b c [解析] (1)由正弦定理,设sinA=sinB=sinC=k, 3c-a 3ksinC-ksinA 3sinC-sinA 则 b = = , ksinB sinB cosA-3cosC 3sinC-sinA 所以 = , cosB sinB 即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C). sinC 又 A+B+C=π,所以 sinC=3sinA,因此sinA=3. sinC (2)由sinA=3 得 c=3a.
? ?a+c>b 由题意知? 2 2 2 ,又 b=10, ?a +c <b ?

5 所以2<a< 10. 能力拓展提升 一、选择题 π 11.(文)(2013· 东北三省四市二联)若满足条件 AB= 3,C=3的 三角形 ABC 有两个,则边长 BC 的取值范围是( A.(1, 2) C.( 3,2) [答案] C B.( 2, 3) D.( 2,2) )

[解析]

3 解法一:若满足条件的三角形有两个,则 2 =

BC AB sinC<sinA<1,又因为sinA=sinC=2,故 BC=2sinA, 所以 3<BC<2,故选 C. π 解法二:由条件知,BCsin3< 3<BC,∴ 3<BC<2. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2, b=2 2,且三角形有两解,则角 A 的取值范围是( π? ? A.?0,4?
? ? ? ?π 3π? C.?4, 4 ? ? ?π π? B.?4,2? ? ? ? ?π π? D.?4,3? ?

)

[答案] A [解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2, 2 ∴sinA< 2 , π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A<4. 12.(文)(2013· 浙江金丽衢十二校二联)在△ABC 中,a,b,c 分 别为三个内角 A, B, C 所对的边, 且 b2+c2=a2+ 3bc, 则 2sinBcosC -sin(B-C)的值为( 3 A. 3 2 C. 2 [答案] D b2+c2-a2 3bc 3 [解析] 利用余弦定理,得 cosA= 2bc = 2bc = 2 ,又 A ) 3 B. 2 1 D.2

π 5π ∈(0,π),所以 A=6,B+C= 6 , 所以 2sinBcosC-sin(B-C)=sinBcosC+cosBsinC 1 =sin(B+C)=2. (理)(2013· 浙江稽阳联谊学校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对 的边分别为 a,b,c,若 b2+c2-a2= 3bc 且 b= 3a,则△ABC 不 . 可能 是( .. ) B.钝角三角形 D.锐角三角形 A.等腰三角形 C.直角三角形 [答案] D b2+c2-a2 3 π [解析] 由 cosA= 2bc = 2 ,可得 A=6,又由 b= 3a 可 b sinB 3 π 2π π 得a=sinA=2sinB= 3,可得 sinB= 2 ,得 B=3或 B= 3 ,若 B=3, 2π π 则△ABC 为直角三角形;若 B= 3 ,C=6=A,则△ABC 为钝角三角 形且为等腰三角形,由此可知△ABC 不可能为锐角三角形,故应选 D. → → → → 13.(2014· 大城一中月考)在△ABC 中,AC· AB=|AC-AB|=3, 则△ABC 面积的最大值为( A. 21 21 C. 2 [答案] B → → → [解析] 设角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,∵AC· AB=|AC ) 3 21 B. 4 D.3 21

→ b2+c2-a2 9 3cosA -AB|=3, ∴bccosA=a=3.又 cosA= 2bc ≥1-2bc=1- 2 , 2 21 1 3 3 ∴cosA≥5,∴0<sinA≤ 5 ,∴△ABC 的面积 S=2bcsinA=2tanA≤2 21 3 21 3 21 × 2 = 4 ,故△ABC 面积的最大值为 4 . 二、填空题 14.(文)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则∠A 的大小为________. π [答案] 6 π [解析] ∵sinB+cosB= 2sin(B+4)= 2, π ∴sin(B+4)=1, π ∵0<B<π,∴B=4, 2 2× 2 b a asinB 1 ∵sinB=sinA,∴sinA= b = 2 =2, π ∵a<b,∴A<B,∴A=6. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,且满 A 2 5 → → 足 cos 2 = 5 ,AB· AC=3,则△ABC 的面积为________. [答案] 2 A 3 4 [解析] 依题意得 cosA=2cos2 2 -1=5, ∴sinA= 1-cos2A=5, → → 1 ∵ AB · AC = AB· AC· cosA = 3 ,∴ AB· AC = 5 ,∴△ ABC 的面积 S = 2

AB· AC· sinA=2. 15.在△ABC 中,C=60° ,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边, a b 则 + =________. b+c c+a [答案] 1 [解析] ∵C=60° ,∴a2+b2-c2=ab, ∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), ∴ a b + =1. b+c a+c

三、解答题 16.(文)已知 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角, 向量 m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),且 m· n=sin2C. (1)求角 C 的大小; → → → (2)若 sinA、sinC、sinB 成等差数列,且CA· (AB-AC)=18,求边 c 的长. [解析] (1)m· n=sinA· cosB+sinB· cosA=sin(A+B). 在△ABC 中,由于 sin(A+B)=sinC. ∴m· n=sinC. 又∵m· n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 1 π 又 sinC≠0,所以 cosC=2.而 0<C<π,因此 C=3. (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. → → → → → ∵CA· (AB-AC)=18,∴CA· CB=18.

1 即 abcosC=18,由(1)知,cosC=2,所以 ab=36. 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab. ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36.∴c=6. 3 (理)(2013· 江西省七校联考)已知在△ABC 中,C=2A,cosA=4, → → 且 2BA· CB=-27. (1)求 cosB 的值; (2)求 AC 的长度. 1 [解析] (1)∵C=2A,∴cosC=cos2A=2cos2A-1=8, 3 7 7 ∴sinC= 8 ,sinA= 4 . ∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC 7 3 7 3 1 9 = 4 × 8 -4×8=16. AB BC 3 (2)∵sinC=sinA,∴AB=2BC. → → 9 ∵2BA· CB=-27,cosB=16, → → ∴|BA||CB|=24, ∴BC2=16,AB=6, ∴AC= BC2+AB2-2BC· AB· cosB = 9 16+36-2×4×6×16=5.

考纲要求 掌握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题. 补充说明 1.求解三角形中的三角函数问题的技巧 解三角形问题的两重性:①作为三角形问题,它必须要用到三角 形的内角和定理,正弦、余弦定理及其有关三角形的性质,及时进行 边角转化,有利于发现解题的思路:②它毕竟是三角变换,只是角的 范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意 “三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决 的突破口. 2.在解斜三角形的问题中,有时所给问题在一个多边形中,需 将多边形分割成三角形,有时在同一个图形中有几个三角形,解题时 要先分析条件,将已知和待求量归结到一个可解的三角形中,如果不 能归到同一个三角形中,则应看待求量需要在哪个三角形中解决,这 个三角形中的哪个量与已知条件所在的三角形共用, 先解可解的三角 形求出这个量或建立方程求解. 备选习题 1.(2013· 杭州第二次质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 15 3 为 a, b, c, 若△ABC 的面积为 4 , b+c=8, A=120° , 则 a=( A.7 C.5 [答案] A [ 解析 ] 1 1 3 3 由已知条件可得 S △ ABC = 2 bcsinA = 2 bc× 2 = 4 bc = B.3 3 D.3 )

15 3 2 2 ,得 bc = 15 ,又由 b + c = 8 可得 a = b + c -2bccosA = 4

?b+c?2-2bc+bc= 64-15=7,故应选 A. 2. (2013· 沈阳二中四模)在△ABC 中, A=120° , b=1, 面积为 3, 则 b-c-a =( sinB-sinC-sinA 2 39 A. 3 C.2 7 [答案] C 1 1 [解析] ∵S=2bcsinA=2csin120° = 3,∴c=4, ∴a= b2+c2-2bccosA= ∴ 1 17+8×2= 21, ) 39 B. 3 D.4 7

b-c-a a 21 =sinA= =2 7,故应选 C. sinB-sinC-sinA 3 2

5 4 3.在△ABC 中,sinA=13,cosB=5,则 cosC=________. 33 [答案] -65 4 [解析] 由 cosB=5得, 3 5 sinB=5>13=sinA, 12 ∴b>a,即 B>A,∴A 为锐角,∴cosA=13, ∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 5 3 12 4 33 =13×5-13×5=-65. 4.(2012· 天津文,16)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别 2 是 a,b,c.已知 a=2,c= 2,cosA=- 4 .

(1)求 sinC 和 b 的值; π (2)求 cos(2A+3)的值. 2 [分析] (1)由 cosA=- 4 及 0<A<π, sin2A+cos2A=1 可求 sinA, 再由正弦定理求 sinC,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,可求 b 的 值. (2)由(1)知道 sinA, cosA, 用正弦、 余弦二倍角公式求 sin2A, cos2A, π 展开 cos(2A+3)代入即可. [解析] (1)在△ABC 中, 2 14 由 cosA=- 4 ,可得 sinA= 4 . a c 7 又由sinA=sinC及 a=2,c= 2,可得 sinC= 4 . 由 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+b-2=0, 因为 b>0,故解得 b=1. 7 所以 sinC= 4 ,b=1. 2 14 (2)由 cosA=- 4 ,sinA= 4 得, 3 cos2A=2cos2A-1=-4, 7 sin2A=2sinAcosA=- 4 . π π π 所以,cos(2A+3)=cos2Acos3-sin2Asin3 = -3+ 21 . 8

5.(2012· 新课标全国文)已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、 B、C 的对边,c= 3asinC-ccosA.

(1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b、c. [分析] (1)已知 c= 3asinC-ccosA,求角 A,注意到等式中的 三项都含有 c 或 sinC, 故可用正弦定理化边为角, 约去 sinC(sinC≠0) 得到角 A 的关系式,再结合 0<A<π,求出角 A. (2)可结合角 A 的值,选择合适的△ABC 的面积公式,建立关于 b、c 的方程组,解得 b、c 的值.已知 a 和 S△ABC 及角 A,可选择面积 1 公式 S△ABC=2bcsinA,再结合余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,建立 b 与 c 的方程组解之. [解析] (1)由 c= 3asinC-ccosA 及正弦定理得, 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. π 1 由于 sinC≠0,所以 sin(A-6)=2. π 又 0<A<π,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsinA= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. [点评] 本题考查解三角形的有关知识,该类问题在已知条件中 如果涉及到边角关系时,经常考虑边角互化,另外还要注意三角形面 积公式的合理选择.


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