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北师大版数学选修1-1教案:第2章-椭圆-第二课时参考学案


2.1.2

椭圆的简单性质

学习目标:1 掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义 2 通过对椭圆标准方程的讨论, 理解在解析几何中是怎样用代数方法

研究几何问题的。 3 初步利用椭圆的几何性质解决问题。

学习重点:椭圆的几何性质 学习难点:椭圆的几何性质的探讨以及 a,b,c,e 的关系 思想方法:数形结合的方法、分类讨论的思想 一 、复习 1 、椭圆的定义 __________ __________ __________ __________ __________ __ 2 、椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上时: __________ _______ ,焦点在 y 轴上时: __________ 3、椭圆中 a,b,c 的关系是 __________ _________ 二 、新授课 探究一 观察椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的形状, a2 b2

你能从图形上看出它的范围吗?它具有怎样的对 称性?椭圆上哪些点比较特殊? 1 、对称性 (1)从图形上看,椭圆关于 _________ , __________ , __________ 对称 (2)在椭圆的标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 a2 b2

① 把 x 换成-x 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称 ②把 y 换成-y 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称 ③把 x 换成-x,同时把 y 换成-y 方程不变,说明图形关于 __________ 对称,因此
__________ __ 是椭圆的对称轴,_________ 是椭圆的对称中心,椭圆的对称

中心叫做 __________ _ 范围 : 2 、 (1)从图形上看,椭圆上点的横坐标的范围是 __________ _______ 。 椭圆上点的纵坐标的范围是 __________ __________ .。 (2)由椭圆的标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 知 a2 b2

x2 y2 ? x ? ① 2 ____ 1,即 ____ ____ ;② 2 ____ 1;即 ____ ? y ? ___ a b

因此

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 位于直线 __________ 和 __________ 围成的矩形里。 a2 b2

3 、顶点 (1)椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有 ______ 个交点,分别为:

A1 (

,

)

A2 (

,

)

B1 (

,

)

B2 (

,

)

(2)线段 A1 A2 叫做椭圆的 _______ ,其长度为 __________ 线段 B1 B2 叫做椭圆的 ________ ,其长度为 __________ a 和 b 分别叫做椭圆的 ________ 和 __________ _ 及时反馈: (1) 椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 16 的长轴长是: ________ 短轴长是; _______ 焦距是:
_______ 焦点坐标是: __________ 顶点坐标是: __________

(2) 在下列方程表示的曲线中,关于 x, y 轴都对称的是 A. x 2 ? y C. x 2 ? 4 y 2 ? 5x 探究二 B. x 2 ? 2xy ? y ? 0 D. 9x 2 ? y 2 ? 4





圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较接近于圆,用

什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢? 4 、椭圆的离心率

(1) 定义:__________ __________ __________ 叫做椭圆的离心率, 用 ____ 表示, 即 ______? ______ (2)由于 a>c>0,所以离心率 e 的取值范围是 __________ ___ (3) 若 e 越接近 1, 则 c 越接近 a, 从而 b ? a 2 ? c 2 越 ____ , 因而椭圆越 _______ . 若 e 越接近 0,则 c 越接近 0,从而 b ? a 2 ? c 2 越 ____ ,因而椭圆越接近 于 _______ . 及时反馈:下列两个椭圆中,哪一个更接近于圆?

4 x 2 ? 9 y 2 ? 36



x2 y2 ? ?1 25 20

下面把焦点在 x 轴和在 y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较: 标准 方程 图形
x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2

范围 对称 性 顶点 坐标 焦点 坐标 轴长 短轴长 __________ _ ,长轴长 __________ _______ . 离心 率 三、综合跃升 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)一焦点坐标为(-3,0) ,一顶点坐标为(0,5);
3 (2)长轴长等于 20,离心率为 。 5

例 2 .若椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,求 k 的值. 2 k ?8 9

四、小结 自测题: 1 椭圆
x2 y2 ? ? 1 上点 p(x,y)的横坐标的范围为 __________ ___ 25 9
x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 上,下列在椭圆上的点有 a2 b2

2 若点 p(2,4)在椭圆 (1) p ( -2, 4 )

(2) p ( -4, 2 ) (3) p ( -2, -4 )

(4) p ( 2, -4 )

3 求中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴、短轴的长分别为 8 和 6 的椭圆方程

4 写出椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 16 的长轴长,短轴长,离心率,顶点和焦点坐标


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