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四川省双流中学2016届高三数学3月月考试题 理


四川省双流中学 2016-2017 学年高三(下)3 月月考试题 数学(理工农医类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每个小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x| x2 ? x ? 2 ? 0} , B={x | x ? 1, x ? Z } ,则 A ? B ? ( A. )

??1,1?

B.

??1, 2?

C.

??1,0?
)

D.

?0,1?

2.在复平面上,复数 A. 第一象限

2?i 的共轭复数对应的点在( i
B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 )

? ? ? ? ? ? ? ? 3.设 a, b 为两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a 与 b 共线”的(
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 设 a、b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,则下面四个命题中错误 的是 .. ( ) A. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? B. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

C. 若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? D. 若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?

1 2 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2 ,且一个焦点与抛物线 y ? x 的焦点相同,则此双 m n 8 曲线的方程为( )
5.设双曲线 A.

x2 ? y2 ? 1 3

B. y ?
2

x2 ?1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 4

D.

y 2 x2 ? ?1 12 4
)

6.某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 xy 的最大值为( A. 32 B. 32 7 C. 64 D. 64 7

第示 6 题图 7. 如 图 所 的 程 序 框 图 中 , 若

第 7 题图

1

f ( x) ? x2 ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 4 ,且 h ? x ? ? m 恒成立,则 m 的最大值是(
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0

)

8.为了缓解二诊备考压力, 双流中学高三某 6 个班级从双流区“棠湖公园”等 6 个不同的景 点中任意选取一个进行春游活动,其中 1 班、 2 班不去同一景点且均不去“棠湖公园”的不 同的安排方式有多少种(
2 4 A. A5 6

)
2 4 B. C5 6 2 4 C. A5 A4 2 4 D. C5 A4

9. 如 图 , M ? xM , yM ? , N ? xN , yN ? , 分 别 是 函 数

f ? x ? ? Asin ? ωx ? φ? ( A ? 0 , ? ? 0 )的图象与两
条直线 l1 : y ? m , l2 : y ? ?m ( A ? m ? 0 )的两个交 点,记 S ? xN ? xM ,则 S ? m? 图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

10. 已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? ,图象关于 y 轴对称,且当 x ? 0 时,

f ?? x? ?

f ? x? 4af ? a ? 1? 恒 成 立 , 设 a ?1 , 则 实 数 P ? , M ?2 af 2 a , a ?1 x

?

?

? 4a ? N ? ? a ? 1? f ? ? 的大小关系为( ? a ?1 ?
A. P ? M ? N B. P ? M ? N

) C. M ? P ? N D. M ? P ? N

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

?y ? x ? 11.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
12. (2 x ?



1 6 ) 的展开式中常数项为 2x



x

1

2

3

4

5 2

13.在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P ,则 使点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率 是 .

f ? x?

4

1

3

5

2

14.已知函数 f ? x ? 由右表定义:若 a1 ? 5 ,

an ?1 ? f ? an ? ? n ? N ? ? ,则 a2016 ?



x2 y 2 ? ?1 上 , 点 P 满 足 15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 已 知 点 A 在 椭 圆 25 9

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? λ ? 1? OA ? λ ? R ? ,且 OA ? OP ? 72 ,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值
为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, 且 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列. (1)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? ? n ? 2? log2 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

17. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? (cosC , sin

??

? ?? ? C n ? (sin , cos C ) ,且 m / / n . 2 (1)求角 C 的大小;
2 2 2 (2)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值.

C ) , 2

18.某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果 如下表: 日销售量 天数 频率

1

1.5
25

2

10

15

0.2

a

b

若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立. (1)求 5 天中该种商品恰好有两天的销售量为 1.5 吨的概率; (2)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, X 表示该种商品某两天销售利润的和(单位:

3

千元) ,求 X 的分布列和数学期望. 19.如图,已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , B1C ? AC1 . (1)求 AA1 的长. (2)在线段 BB1 存在点 P ,使得二面角 P ? AC 1 ? A 大小的余弦值为 A1 B1

BP 3 ,求 的值. BB1 3
C1

P B

A C

20.已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P (1, ) ,离心率为 . 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ,

S ,求当 S 取最大值时直线 l 的方程,并求出最大值. 记 ?F 1MN 的内切圆的面积为

21.已知二次函数 r ? x ? ? ax ? ? 2a ?1? x ? b ( a , b 为常数, a ? R, a ? 0, b ? R )的一个零
2

点是 2 ?

1 .函数 g ? x ? ? ln x ,设函数 f ? x ? ? r ? x ? ? g ? x ? . a

(1)求 b 的值,当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调增区间; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 在区间 ? ,1? 上的最小值; (3)记函数 y ? f ? x ? 图象为曲线 C ,设点 A? x1 , y1 ?,B ? x2 , y2 ? 是曲线 C 上不同的两点, 点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N .判断曲线 C 在点 N 处的 切线是否平行于直线 AB ?并说明理由.

?1 ? ?2 ?

4

双流中学高三 3 月月考数学(理科)参考答案 题号 答案 11、 3 1 C 2 A 12、 ?20 3 D 4 D 13、 1 ? 5 B 6 C 14、 4 7 B 8 A 15、 15 9 C 10 A

3π 6

16.解(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,? 2a1 , a3 ,3a2 成等差数列,

1 ?2a1 ? 3a2 ? 2a3 , 2a1 ? 3a1q ? 2a1q2 , ? 2q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? ? , 2

? q ? 0 ,? q ? 2

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 。 ??6 分
? 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?

(2)?bn ? ? n ? 2? log2 an ? n ? n ? 2?

?Tn ?

1 1 1 1 ? ??? ? b1 b2 bn?1 bn

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1? ? 1 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ? 2 n ? ? n ?1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ? ?
? 1? 1 1 1 ? 3 2n ? 3 1? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 2 ? n ? 3n ? 2?
??12 分

17 解: (1)∵ m / / n

??

?

∴ cos C ? sin
2

2

C ?0 2

∴ cos C ?
2

1 ? cos C ?0 2

??3 分

2 整理得: 2cos C ? cos C ? 1 ? 0 ,解得: cos C ?

∵ C ? (0, ? ) (2)∵ C ?
2 2

∴C ?

?
3
∴ c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

1 或 cos C ? ?1 2
??6 分

?

?

3 3 2 2 2 2 2 ∵ a ? 2b ? c ∴ a ? 2b ? a ? b ? ab ∵ b ? 0 ∴ a ? 3b ∴ c ? 7b ??9 分 2 sin A 7b ? b2 ? 9b2 1 ? ?3 3 ??12 分 ∴ cos A ? ∵ A ? (0, ? ) ∴ tan A ? ?? 2 cos A 2 7b 2 7 25 15 ? 0.5, b ? ? 0.3 , 18.解: (1) a ? 50 50
依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 。 设 5 天中该种商品有 Y 天的销售量为 1.5 吨,则 Y ? B ? 5,0.5? , 所以 P ?Y ? 2 ? ? C5 ? 0.5 ? ?1 ? 0.5 ? ?
2 2 3

? a 2 ? b 2 ? ab

5 ? 0.3125 。??6 分 16

5

(2) X 的可能取值为 4,5,6,7,8 ,则

P ? X ? 4? ? 0.22 ? 0.04 ; P ? X ? 5? ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 ; P ? X ? 6? ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37 ; P ? X ? 7? ? 2 ? 0.3? 0.5 ? 0.3 ; P ? X ? 8? ? 0.32 ? 0.09 ,
所以 X 的分布列

X P
所以 E ? X ? ? 6.2 (千元)

4 0.04 ??12 分

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09

19. (1)以 AB, AC, AA1 所在直线为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA1 ? t , 则 A(0, 0, 0) , C1 (0, 4, t ) , B1 (3, 0, t ) , C (0, 4,0) ∴ AC1 ? (0, 4, t ) , B1C ? (?3, 4, ?t )

???? ?

????

???? ? ???? ? B1C ? AC1 ? AC1 ?B1C ? 0 ,即 16 ? t 2 ? 0 ,解得 t ? 4 ,即 AA1 的长为 4 .??5 分
(2)设 P(3,0, m) ,又 A(0, 0, 0) , C (0, 4,0) , A 1 (0,0, 4)

???? ???? , ? AC ? (0,4, ? 4) A1P ? (3,0, m ? 4) ,且 0 ? m ? 4 1
设 n ? ( x, y, z) 为平面 PA1C 的法向量 ∴?

?

? ???? ? ???? ?n ? AC 1 ,n ? A 1P

?4 y ? 4 z ? 0 4?m ,取 z ? 1 ,解得 y ? 1, x ? , 3 ?3x ? (m ? 4) z ? 0
? 4?m ,1,1) 为平面 PA1C 的一个法向量. 3
??9 分

∴n ? (

又知 AB ? (3,0,0) 为平面 A1CA 的一个法向量,则 cos ? n, AB ??

??? ?

? ??? ?

4?m 4?m 2 3? 1 ? 1 ? ( ) 3

∵二面角 P ? AC 1 1 ? A 大小的余弦值为

3 , ∴ 3

4?m 3 , ? 3 4?m 2 3? 1 ? 1 ? ( ) 3
??12 分

解得: m ? 1

?

BP 1 ? BB1 4

9 1 4 c 1 2 20、解: (Ⅰ)由题意得 2 ? 2 ? 1, ? , a ? b2 ? c 2 a b a 2

解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1

6

椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??5 分 4 3

(Ⅱ)设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , ?F 1MN 的内切圆半径为 r ,则

S?F1MN ?

1 1 ( MN ? F1M ? F1 N )?r ? ? 8r ? 4r . 2 2

所以要使 S 取最大值,只需 S?F1MN 最大.

S ?F1MN ?

1 F1 F2 y1 ? y2 ? y1 ? y2 2

设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1

将 x ? ty ? 1 代入

x2 y 2 ? ? 1 可得 (3t 2 ? 4) y2 ? 6ty ? 9 ? 0 (*) 4 3
?6t ? 9 , y1 y2 ? 2 2 3t ? 4 3t ? 4
记 m ? t 2 ? 1 (m ? 1)

? ? ? 0 恒成立,方程(*)恒有解, y1 ? y2 ?
2 S?F1MN ? (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 ?

12 t 2 ? 1 3 ? 4t 2

S?F1MN ?

12m 12 ? 2 3m ? 1 3m ? 1 m

在 ?1, ?? ? 上递减.

当 m ?1 即t ? 0时,(S?F1MN )max ? 3 ,此时 l : x ? 1 21 解: (Ⅰ)由 2 ?

Smax ?

9? ??13 分 16

1 是函数 r( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? b 的零点可求得 b ? 0 . a

f ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 2ax ? 1 ? 0 ,解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 所以 f ( x ) 的单调增区间为 (1, ??) (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? ①当 ? ???????4 分

1 , x2 ? 1 , 2a

1 1 ? 1 ,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, 2a 2 1 所以 f ( x ) 在 [ ,1] 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a . 2 1 1 1 ? 1 ,即 ?1 ? a ? ? 时, ②当 ? ? 2 2a 2 1 1 1 f ( x) 在 [ , ? ] 上是减函数,在 [ ? ,1] 上是增函数, 2 2a 2a

7

1 1 ) ? 1? ? ln(?2a) . 2a 4a 1 1 1 ? ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 [ ,1] 上是增函数, ③当 ? 2 2a 2 1 1 3 所以 f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ? a ? ln 2 . 2 2 4
所以 f ( x ) 的最小值为 f ( ?

综上,函数 f ( x ) 在 [ ,1] 上的最小值 [f(x)]max

1 2

?1 3 a ? ?1 ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a ), ? 1 ? a ? ? , 2 ? 4a 1 ? ? ?a?0 ?1 ? a, 2 ?
x1 ? x2 , 2

???????9 分 (Ⅲ)设 M ( x0 , y0 ) ,则点 N 的横坐标为 x0 ? 直线 AB 的斜率 k1 ?

y2 ? y1 1 ? [a( x12 ? x2 2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ] x2 ? x1 x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 ], x1 ? x2 1 x0

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

曲线 C 在点 N 处的切线斜率 k2 ? f ?( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a ) ?

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

2 , x1 ? x2

假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB ,则 k1 ? k2 , 即

ln x2 ? ln x1 2 , ?? x1 ? x2 x1 ? x2
2(

x2 ? 1) x2 2(x 2 ? x1 ) x1 2(t ? 1) x ? ? 所以 ln ,不妨设 x1 ? x2 , 2 ? t ? 1 ,则 ln t ? , x 1? t x1 x1 ? x2 x1 1? 2 x1
令 g (t ) ? ln t ?

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1)2 (t ? 1) , g ?(t ) ? ? ? ? 0, 1? t t (1 ? t )2 t (1 ? t )2
2(t ? 1) 不成立, 1? t

所以 g (t ) 在 (1, ??) 上是增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? 0 ,即 ln t ? 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB .

????????14 分

8


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