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空间几何量的计算.知识框架


空间几何量的计算

模块框架

高考要求
要求层 次 B 重难点 ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义,并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理. ◆公理 1:如果一条直线上的两点 在一个平面内,那么这条直线上所有的 点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的 三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面 有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两 条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行,那么这两 个角相等或互补. ② 以立体几何的上述定义、 公理和 定理为出发点,认识和理解空间中线面

空间线、面的位置关系

空间中的线 面关系 公理 1, 公理 2, 公理 3, 公理 4,定理* A

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平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行,那么该直线与此平面 平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线 与另一个平面都平行,那么这两个平面 平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直,那么该直线与此平 面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行, 经过该直线的任一个平面与此平面相 交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平 面内垂直于它们交线的直线与另一个平 面垂直. ③ 能运用公理、 定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题. *公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

知识内容
1.集合的语言: 我们把空间看做点的集合,即把点看成空间中的基本元素,将直线与平面看做空间的子 集,这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系: 点 A 在直线 l 上,记作: A ∈ l ;点 A 不在直线 l 上,记作 A ? l ; 点 A 在平面 α 内,记作: A ∈ α ;点 A 不在平面 α 内,记作 A ? α ; 直线 l 在平面 α 内(即直线上每一个点都在平面 α 内) ,记作 l ? α ; 直线 l 不在平面 α 内(即直线上存在不在平面 α 内的点) ,记作 l ? α ; 直线 l 和 m 相交于点 A ,记作 l I m = { A} ,简记为 l I m = A ; 平面 α 与平面 β 相交于直线 a ,记作 α I β = a . 2.平面的三个公理:

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⑴ 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所 有的点都在这个平面内. 图形语言表述:如右图:
A

α

B

l

符号语言表述: A ∈ l , B ∈ l , A ∈ α , B ∈ α ? l ? α ⑵ 公理二:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面, 也可以简单地说成,不共线的三点确定一个平面. 图形语言表述:如右图,
A B

α

C

符号语言表述: A, B, C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 α , 使 A ∈α , B ∈α , C ∈α . ⑶ 公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线. 图形语言表述:如右图:

α

A a

β

符号语言表述: A ∈ α I β ? α I β = a, A ∈ a . 如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条公共直线叫做两个平面 的交线. 3.平面基本性质的推论: 推论 1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 4.共面:如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内,那么我们说它们共面. <教师备案>1.公理1反映了直线与平面的位置关系,由此公理我们知道如果一条直线与一 个平面有公共点,那公共点要么只有一个,要么直线上所有点都是公共点,即 直线在平面内. 2.公理2可以用来确定平面,只要有不在同一条直线上的三点,便可以得到一 个确定的平面, 后面的三个推论都是由这个公理得到的. 要强调这三点必须不 共线,否则有无数多个平面经过它们. 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面. 3. 公理3反应了两个平面的位置关系, 两个平面 (一般都指两个不重合的平面) 只要有公共点,它们的交集就是一条公共直线.此公理可以用来证明点共线或 点在直线上,可以从后面的例题中看到. 4.平面基本性质的三个公理是不需要证明的,后面的三个推论都可以由这三个 公理得到.推论1与2直接在直线上取点,利用公理1与2便可得到结论,推 论3是由平行的定义得到存在性的,再由公理2保证唯一性.

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线线关系与线面平行
1.平行线:在同一个平面内不相交的两条直线. 平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 公理4(空间平行线的传递性) :平行于同一条直线的两条直线互相平行; 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 相等. 2.空间中两直线的位置关系: ⑴共面直线:平行直线与相交直线; ⑵异面直线:不同在任一平面内的两条直线. 3.空间四边形:顺次连结不共面的四点所构成的图形. 这四个点叫做空间四边形的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连 结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线. 如右图中的空间四边形 ABCD ,它有四条边 AB, BC , CD, DA ,两条对角线 AC , BD . 其中 AB, CD ; AC , BD ; AD, BC 是三对异面直线.
A

B

D

C

4.直线与平面的位置关系: ⑴直线 l 在平面 α 内:直线上所有的点都在平面内,记作 l ? α ,如图⑴; ⑵直线 l 与平面 α 相交:直线与平面有一个公共点 A ;记作 l I α = A ,如图⑵; ⑶直线 l 与平面 α 平行:直线与平面没有公共点,记作 l / /α ,如图⑶.
l l A l

α
( 1)

α
( 2)

α
( 3)

5. 直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 符号语言表述: l ? α , m ? α , l / / m ? l / /α . 图象语言表述:如右图:
l

α

m

6.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行. 符号语言表述: l / /α , l ? β , α I β = m ? l / / m . 图象语言表述:如右图:

4

β α

l m

<教师备案>1.画线面平行时,常常把直线画成与平面的一条边平行; 2.等角定理证明: 已知:如图所示, ∠BAC 和 ∠B ′A′C ′ 的边 AB / / A′B ′ , AC / / A′C ′ ,且射线 AB 与 A′B′ 同向,射线 AC 与 A′C ′ 同向. 求证: ∠BAC = ∠B′A′C ′ 证明:对于 ∠BAC 和 ∠B′A′C ′ 在同一平面内的情形,在初中几何中已经证明, 下面证明两个角不在同一平面内的情形. 分 别 在 ∠BAC 的 两 边 和 ∠B′A′C ′ 的 两 边 上 截 取 线 段 AD、AE 和 A′D′、A′E ′ , AD = A′D ′, AE = A′E ′ , 使 因为 AD / / A ' D ' , 所以 AA′D′D 是 平行四边形 所以 AA′/ /DD′ . 同理可得 AA′/ /EE ′ ,因此 DD′/ /EE ′ . 所以 DD′E ′E 是平行四边形. 因此 DE = D ′E ′ . 于是 ?ADE ? ?A′D′E ′ . 所以 ∠BAC = ∠B′A′C ′ .
E' A' C' D' B'

E A

C D B

3.根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念:过空间一点作两异面直线 的平行线,得到两条相交直线,这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面 直线成的角. π 异面直线所成角的范围是 (0, ] 2 4.线面平行判定定理( l ? α , m ? α , l / / m ? l / /α ) ,即线线平面,则线面平行. 要证明这个定理可以考虑用反证法,因为线线平行( l / / m ) ,所以它们可以 确定一个平面 β , β 与已知平面 α 的交线恰为 m ,若线面不平行,则线面相 交于一点,此点必在两个平面的交线 m 上,从而得到 l 与 m 相交,与已知矛 盾. 5.线面平行性质定理,即线面平行,则线线平行,这平行的定义立即可得(共 面且无交点) .

面面平行的判定与性质
1.两个平面的位置关系 ⑴两个平面 α , β 平行:没有公共点,记为 α / / β ; 画两个平行平面时,一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行,如右图:

5

⑵两个平面 α , β 相交,有一条交线, α I β = l . 2.两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面, 那么这 两个平面平行. 符号语言表述: a ? α , b ? α , a I b = A, a / / β , b / / β ? α / / β . 推论: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线, 则这两个 平面平行. 3.两个平面平行的性质定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号语言表述: α / / β , α I γ = a, β I γ = b ? a / / b . 图象语言表述:如右图:
γ α
a

β

b

<教师备案>1.画两个平面相交时,可以先画出交线,再补充其它, 平面被遮住的部分画成虚线或不画. 如右图所示:

2.面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到,如果满足定理条件的 两个平面相交,则这两条相交直线都平行于平面的交线,与过直线外一点只 能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾.故这两个平面不相交,是平行平 面. 3.面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到. 4.在证明线面平行,线线平行和面面平行的题时,常常遇到平行关系的转化, 要灵活运用两个性质定理与两个判定定理,证明要求的结论. 由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容, 因此在出题时经常会有所结合, 本板块 专门就平行知识的题目类型归纳, 更综合的题目会在第十一讲中详细讲解. 由于线面与面面 问题之间都是互相转化的,因此本板块中的面面平行题目较少,多数都为线面平行问题.本 板块题目多采用两种方法,事实上就是两种思路证明线面平行,一种方法线线平行 ? 线面 平行,另一种方法是面面平行 ? 线面平行.
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线面垂直
1.线线垂直:如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称 这两条直线互相垂直.由定义知,垂直有相交垂直和异面垂直. 2.直线与平面垂直: ⑴概念:如果一条直线和一个平面相交于点 O ,并且和这个平面内过交点的任何直线都垂 直,则称这条直线与这个平面互相垂直. 这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫垂足. 垂线上任意一点到垂足间的线段, 叫做这个点到这个平面的垂线段. 垂线段的长度叫做这个 点到平面的距离. 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 画直线与平面垂直时,通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直,如右图.
l

α

直线 l 与平面 α 互相垂直,记作 l ⊥ α . ⑵线面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个 平面垂直. 推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面. ⑶线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. <教师备案>1.如果定义了异面直线所成角,则异面垂直即异面直线所 成角为 90° . 2.线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题,转化 为只需证明与两条相交直线垂直这个问题,从而大大简化了线面垂直的判 断.
A

α

C

m

B n D E A'

β

要证明判定定理,只能用定义, 若 AA ' ⊥ m, AA ' ⊥ n, m I n = B , m, n ? α ,要证 AA ' ⊥ α , 在平面 α 内任选一条直线 g ,去证 AA ' ⊥ g ,结合右图,通过全等三角形的 证明可得到,从而得到判定定理,具体的证法略. 3.线面垂直的性质定理,可以用同一法证明, 如图:

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m' l m

α

A

β

a B

直线 l ⊥ α , m ⊥ α ,若直线 l , m 不平行,则过直线 l 与平面 α 的交点 B 作直线 m '/ / l , 从而有 m ' ⊥ α . 又相交直线 m, m ' 可以确定一个平面 β , α I β = a , 记 则因为 m, m ' 都垂直于平面 α ,故 m, m ' 都垂直于交线 a .这与在一个平面内, 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故 m, m ' 重合, m / / l ,性质定理得证. 由同一法还可以证明:过一点与已知平面垂直的直线只有一条.

点面距离与线面角 (一)主要方法:
本板块所学内容为点面距离与线面角, 求点面距离有两种方法, 首先可以通过直接法作面的 垂线,其次可以通过体积法转化,或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离;线 面角问题属于线面关系的一种,是线面垂直与面面垂直定理的应用. 1.点、斜线、斜线段及射影 ⑴点在直线上的射影自点 A 向直线 l 引垂线,垂足 A1 叫做点 A 在直线 l 上的射影.点 A 到垂 足的距离叫点到直线的距离. ⑵点在平面内的射影自点 A 向平面 α 引垂线,垂足 A1 叫做点 A 在平面 α 内的射影,这点和 垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离. ⑶斜线在平面内的射影一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直, 这条直线叫做这个 平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,斜线上一点和斜足间的线段,叫做这点到平面的 斜线段. 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面内 的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影. 2.直线和平面所成的角 直线和平面所成的角,应分三种情况: ⑴直线和平面斜交时,线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角; ⑵直线和平面垂直时,直线和平面所成的角的大小为 90o ; ⑶直线和平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角的大小为 0o . 显然,直线和平面所成的角的范围为 ?0o ,90o ? . ? ? 由此可见,一条直线和一个平面斜交,它们所成的角的度量问题(空间问题) ,是通过斜线 在平面内的射影转化成两条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的. 具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似,有如下的环节: ⑴作——作出斜线与射影所成的角; ⑵证——论证所作(或找到)的角就是要求的角; ⑶算——常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三 角形)求出角. 在求直线和平面所成的角时, 垂线段是其中最重要的元素, 它可起到联系各线段的纽带作用

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