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甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(文)专题训练:中档大题保分练(四)Word版含答案


(推荐时间:50 分钟) π? π 2π? 1. 已知函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间? 在区间? ?0,3?上单调递增, ?3 , 3 ? 上单调递减;如图,四边形 OACB 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A, 4ω -cos B-cos C sin B+sin C 3 B,C 的对边,且满足 = . sin A cos A (1)证明:b+c=2a; (2)若 b=c,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形 OACB 面积的最大值. 2π 4π 3 (1)证明 由题意知: = ,解得:ω= , ω 3 2 ∵ sin B+sin C 2-cos B-cos C = , sin A cos A ∴sin Bcos A+sin Ccos A =2sin A-cos Bsin A-cos Csin A, ∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A =2sin A, ∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A, ∴sin C+sin B=2sin A?b+c=2a. (2)解 因为 b+c=2a,b=c,所以 a=b=c, 所以△ABC 为等边三角形, 1 3 SOACB=S△OAB+S△ABC= OA· OBsin θ+ AB2 2 4 =sin θ+ 3 (OA2+OB2-2OA· OBcos θ) 4 π? 5 3 5 3 =sin θ- 3cos θ+ =2sin? ?θ-3?+ 4 , 4 π 2π π - , ?, ∵θ∈(0,π),∴θ- ∈? 3 ? 3 3? π π 5π 当且仅当 θ- = ,即 θ= 时取最大值, 3 2 6 5 3 SOACB 的最大值为 2+ . 4 2. 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 s 与 18 s 之间,将测试结果按如下 方式分成五组:第一组[13,14),第二组[14,15),?,第五组[17,18),下图是按上述分组 方法得到的频率分布直方图. 第 1 页 共 5 页 (1)若成绩大于或等于 14 s 且小于 16 s 认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的 人数; (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率. 解 (1)由频率分布直方图知,成绩在[14,16)内的人数为: 50×0.16+50×0.38=27, 所以该班成绩良好的人数为 27. (2)由频率分布直方图知,成绩在[13,14)的有 50×0.06=3(人),设为 x,y,z; 成绩在[17,18)的有 50×0. 08=4(人),设为 A,B,C,D, 设取出的两个成绩为 m,n,若 m,n∈[13,14)时, 有 xy,xz,yz3 种情况; 若 m,n∈[17,18)时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD6 种情况; 若 m,n 分别在[13,14)和[17,18)内时, A x y z 共有 12 种情况. 所以基本事件总数为 21 种,事件“|m-n|>1”所包含的基本事件有 12 种. 所以 P(|m-n|>1)= 12 4 = . 21 7 xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD 3. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,AB=2,BC= 2, 且侧面 PAB 是正三角形, 平面 PAB⊥平面 ABCD, E 是棱 PA 的中 点. (1)求证:PC∥平面 EBD; (2)求三棱锥

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