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2015届高考数学(理)二轮复习专题综合检测试题: 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量


高考数学专题:三角函数、解三角形、平面向量
一、选择题 1.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = 3 ,则 cos 2α =________. 3

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b=5c,C=2B, 则 cos C=________. 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 45°,则 A=________. 4.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. 5.设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则 6. 设 0≤x<2π , 且 3,b= 2,B=

a,b

=________.

1-sin 2x=sin x-cos x, 则 x 的取值范围是________.

→=λ AB →,→ →, 7.已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足AP AQ=(1-λ )AC 3 →·→ λ ∈R,若BQ CP=- ,则λ =________. 2 →+→ 8.设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB FC=________. 9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c) =ab,则角 C=________. 10. 已知向量 a 与 b 的夹角为 60°, 且 a=(-2, -6), |b|= 10, 则 a·b=____. 11.当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π )取得最大值时,x=____. 12. 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是________. 三、解答题
? ?? 3 ? 13.已知 tan ? ? x ? ? ? ( ? x ? ).
? 4? 4
4 2

(Ⅰ)求 tan x 的值;

(Ⅱ)求
1

sin 2 x ? 2sin 2 x 的值. cos 2 x

? ? ? 14.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ? 0? 和? , 1? . ? , ?3 ? ?2 ?

?

?

(Ⅰ)求实数 a 和 b 的值; (Ⅱ)若 x ? [0,? ] ,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值 .

2 15.在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 已知 tan A ? tanC ?

3(tan A ? tanC ? 1) ,

且 b ? , S?ABC ?

7 2

3 3 . 2

, 4 , 6

求: (I)角 B;

(II)a + c 的值.

is Bs o c 16、 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 分别所对的边为 a, b, c , 且n
?A B C 的面积为 4 3 .:

A ?n is

As o c

B ?n is 2C ,

(Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)若 a ? 2 ,求边长 c.

17.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsin A. (1)求角 B 的大小;(2)若 a=3 3,c=5,求△ABC 的面积及 b.

2

18.已知函数 f(x)=

(sin x-cos x)sin 2x . sin x (2)求 f(x)的单调递增区间.

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期;

19、设函数 f ( x) ? p ? q ,其中向量 p ? ?sin x,cos x ? sin x? , q ? ? 2cos x,cos x ? sin x ? , x ? R . (I)求 f ( ) 的值及函数 f ( x) 的最大值; (II)求函数 f ( x) 的单调递增区间.
3

?

20. 函数 f(x)=6cos2

ωx + 3cosω x-3(ω >0)在一个周期内的图象如图所示, 2

A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?,求 f(x0+1)的值. 5 ? 3 3?

→·→ →·→ 21.在△ABC 中,已知AB AC=3BA BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

3

? π ? 22.已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?. ? 3 ?

(1)求实数 a 的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间.

? ? x ? x ? 23.已知向量 m=?2cos ,1?,n=?sin ,1?(x∈R),设函数 f(x)=m·n-1. 2 ? 2 ? ? ?

(1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角三角形 ABC 的三个内角分别为 A,B, 5 3 C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C)的值. 13 5

24、在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的三条边分别是 a、b、c,且满足 b2 ? ac . (Ⅰ)求证: 0 ? B ?
?
3 1 ? sin 2 B (Ⅱ)求函数 y ? 的值域. sin B ? cos B



4


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