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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 函数图象重难点分析讲解素材 北师大版必修4


函数图象重难点分析
用“五点法”画函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,及函数 y ? A sin x , y ? sin ? x ,

y ? A sin ? x 的图像与正弦曲线 y ? sin x 的联系,参变数 A, ? 对图像的影响是本课的重
点. 弄清函数 y ? A sin(? x ? ? ) 与 y ? si

n x 图像的关系, 特别是 ? 和 ? 对图形的影响是本 课学生的一个难点. 克服难点的办法,是要让学生弄清: (1)在函数 y ? A sin(? x ? ? ) 中, A , ? , ? 对函数性质所起的作用; (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像是通过怎样的方法由正弦曲线变化而得到,

A , ? , ? 三个参数在图像变换中起什么作用.
本节运用了对图像的三种变换: 振幅变换,是由 A 的变化引起的; 周期变换,是由 ? 的变化引起的; 相位变换(也叫沿 x 轴方向的平移变换) :是由 ? 的变化引起的. 将函数 y ? sin x 图像与各点的横坐标不变, 纵坐扩大到原来的 2 倍, 得到 y ? 2 sin x 的 图像,将 y ? sin x 图像上各点的纵标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,得到 y ? sin

x 的图 2

像.在这里,学生往往弄不明白为什么沿 y 轴“扩大到 2 倍”是乘以 2,沿 x 轴“扩大到 2 倍”却是除以 2?函数图像在横纵两个坐标轴上的拉伸为什么不一致.也弄不明白

y ? sin x ? b与y ? sin(x ? ? ) 在横纵两轴的平移究竟是什么样子.
其实这些问题在学生们学习了坐标轴的变换及曲线与方程的关系后很容易理解. 我们可 以通过“点变换”去认识“线变换”. (1) y ? sin x 的图像与 y ? A sin x 的图像上横坐标相同的相应两点 P( x, y1 ) 与

Q( x, y) 之间的关系要满足 y ? Ay1 , 可见, 将 y ? sin x 图像点横坐标不变, 纵坐标伸长 (A>1)
或压缩(A<1)到原来的 A 倍,变成了 y ? A sin x 的图像.

1

(2) y ? sin x 的图像与 y ? sin ?x 的图像纵坐标相同的相应两点 P(x1 , y) 和

Q( x, y) ,之间的关系要满足 ?x ? x1 ,即

x?

1 x1 ,因此,将 y ? sin x 图像上各点的 ? 1 倍,就变成了 y ? sin ?x 的 ?

纵坐标不变,横坐标压缩 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的 图像.

可以用类似的方法解释为什么 ? ? 0 时,把 y ? sin x 的图像向左平移 ? 个单位得到

y ? sin(x ? ? ) 的图像,而 ? ? 0 时,要把 y ? sin x 的图像向右平移 ? 个单位得到

y ? sin(x ? ? ) 的图像.
在图像变换的教学中,要教给学生利用观察、对比、分析找出变换的规律,弄清变换的 原因,理解变换的过程,而不能死记变换的结论.特别要掌握“变换”中的辩证观点:由点 变换认识线变换. “五点法”作图,是作函数的静态图,在学习初期对了解函数图像的形状有益,继续学 习时,必须从国家的变换角度研究图像间的关系,也就是要教给学生在运动变化中,寻找变 量间的对应关系的方法.

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