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24 平面向量的数量积


【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业24 第三节 平面向量的数量积 1.(2010 年高考江西卷)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a- b|=________. 解析:|a-b|2=a2-2a· b+b2=1-2×1×2cos60° +22=3. 答案: 3 → → 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC等于________. → → → → → → → |AC| → 2 解析:AB· AC=|AB|· |AC|· cos∠A=|AB|· |AC|· =|AC| =16. → |AB| 答案:16 → → 3. (2011 年启东中学高三检测)如图, 设单位向量 a, b 的夹角为 60° , 则AB· CD=________. 1 → → 解析:∵a· b= ,AB=3a-4b,CD=-4a-3b, 2 7 → → ∴AB· CD=-12a2+7a· b+12b2= . 2 7 答案: 2 → → → → 4.在△ABC 中,若AB· AC=AB· CB=4,则边 AB 的长等于________. →→ →→ →→ →→ → → → →→ → 解析:∵AB· AC=AB· CB=4,∴AB· AC+AB· CB=8,AB· (AC+CB)=8,即AB· AB=8,|AB|=2 2. 答案:2 2 3 5.设向量 a,b 满足:|a|=1,a· b= ,|a+b|=2 2,则|b|=________. 2 解析:∵|a+b|=2 2,∴|a+b|2=a2+2a· b+b2=8. 3 又∵|a|=1,a· b= ,∴b2=4,|b|=2. 2 答案:2 6.(2011 年常州高三质检)在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是________. → → → → → → → → → → ①AB-AC=BC ②AB+BC+CA=0 ③若(AB+AC)· (AB-AC)=0,则△ABC 为等腰 → → 三角形 ④若AB· BC>0,则△ABC 为锐角三角形 → → → → → 解析:在△ABC 中,AB-AC=CB,①错误;若AB· BC>0,则∠B 是钝角,△ABC 是钝 角三角形,④错误. 答案:②③ 7.(2010 年高考北京卷改编)a,b 为非零向量.“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a) 为一次函数”的________条件. 解析:f(x)=x2a· b+(b2-a2)x-a· b 为一次函数?a⊥b 且|a|≠|b|. 答案:必要而不充分 8. (2011 年苏州调研)如图所示,在△ABC 中,∠BAC=120° , → → AB=2,AC=1,D 是边 BC 上一点(包括端点),则AD· BC的取值 范围是________. → → → → → → → → → → → → 解析: 设BD=λBC(0≤λ≤1), BC=AC-AB, AD=AB+BD=AB+λBC=(1-λ)AB+λAC, → → → → → → → → → → → → ∴AD· BC=[(1-λ)AB+λAC]· (AC-AB)=λAC2-(1-λ)AB2+(1-2λ)AB· AC.又∵AC2=1,AB → → → → → → 2=4,AB· AC=-1,故AD· BC=λ-4(1-λ)-(1-2λ)=7λ-5,由于 0≤λ≤1,故AD· BC的取

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值范围是[-5,2]. 答案:[-5,2] 9.已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). π (1)若 x= ,求向量 a、c 的夹角; 6 π 9π (2)当 x∈[ , ]时,求函数 f(x)=2a· b+1 的最大值. 2 8 π 解:(1)当 x= 时, 6 a· c cos〈a,c〉= |a|· |c| -cos x = cos2x+sin2x× ?-1?2+02 π 5π =-cos x=-cos =cos . 6 6 5π ∵0≤〈a,c〉≤π,∴〈a,c〉= . 6 (2)f(x)=2a· b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1 =2sin xcos x-(2cos2x-1) =sin 2x-cos2x π = 2sin(2x- ), 4 π 9π π 3π ∵x∈[ , ],∴2x- ∈[ ,2π], 2 8 4 4 π 2 故 sin(2x- )∈[-1, ], 4 2 π 3π π ∴当 2x- = ,即 x= 时,f(x)max=1. 4 4 2 10.(2011 年无锡质检) 如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 → → → AB 上的一点,OP=x· OA+y· OB. → → (1)若BP=PA,求 x,y 的值; → → → → → → (2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA与OB的夹角为 60° → → 时,求OP· AB的值. → → 解:(1)因为BP=PA, → → → → → → → 所以BO+OP=PO+OA,即 2OP=OB+OA, 1 1 → 1→ 1→ 所以OP= OA+ OB,即 x= ,y= . 2 2 2 2 → → (2)因为BP=3PA, → → → → → → → 所以BO+OP=3PO+3OA,即 4OP=OB+3OA, → 3→ 1→ 所以OP= OA+ OB, 4 4 3 1 所以 x= ,y= . 4 4 → → ?3 → 1 → ? → → OP· AB=?4OA+4OB?· (OB-OA) 1→ → 3→ → 1→ → = OB· OB- OA· OA+ OA· OB 4 4 2

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1 3 1 1 = ×22- ×42+ ×4×2× =-9. 4 4 2 2 11.(探究选做)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a-c)cosB =bcosC. (1)求角 B 的大小; 12 ? π? (2)设 m=(cosA,cos2A),n=? n 取最小值时,求 tan? ?- 5 ,1?,且 m· ?A-4?的值. 解:(1)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得: (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinA· cosB-sinC· cosB=sinBcosC, 化为:2sinA· cosB=sinC· cosB+sinBcosC, ∴2sinA· cosB=sin(B+C). ∵在△ABC 中,∴sin(B+C)=sinA, 1 π ∴2sinA· cosB=sinA,得 cosB= ,∴B= . 2 3 12 (2)∵m· n=- cosA+cos2A, 5 12 ∴m· n=- cosA+2cos2A-1, 5 3 2 43 cosA- ? - ,得到: ∴m· n=2? 5? 25 ? 3 当 cosA= 时,m· n 取最小值. 5 4 4 ∴sinA= ,∴tanA= . 5 3 4 -1 3 π tan A - 1 1 A- ?= ∴tan? = = . ? 4? 1+tanA 4 7 1+ 3

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