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高中数学北师大版选修2-2学案:2.2.1 导数的概念+2.2 导数的几何意义 Word版含解析


§ 2

导数的概念及其几何意义 2.1 2.2 导数的概念

导数的几何意义

1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点) 3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 函数 f(x)在 x=x0 处的导数

阅读教材 P32“例 1”以上部分,完成下列问题. 函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率称为函数 y=f(x)在 x0 点的导数,通常用符 号 f′(x0)表示,记作 f′(x0)= lim
Δx→0

f(x1)-f(x0) f(x0+Δ x)-f(x0) = lim _ . x1-x0 Δx
Δx→0

设函数 y=f(x)可导,则 lim
Δx→0

f(1+Δ x)-f(1) 等于( Δx B.3f′(1) D.以上都不对

)

A.f′(1) 1 C.3f′(1) 【解析】 【答案】 教材整理 2

由 f(x)在 x=1 处的导数的定义知,应选 A. A 导数的几何意义

阅读教材 P34~P36,完成下列问题.

函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.

抛物线 y=x2+4 在点(-2,8)处的切线方程为________________. 【解析】 因为 y′= lim
Δx→0

(x+Δx)2+4-(x2+4) Δx

= lim (2x+Δx)=2x,
Δx→0

所以 k=-4, 故所求切线方程为 4x+y=0. 【答案】 4x+y=0 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 求函数在某点处的导数 (1)若 lim
Δx→0

f(x0+Δ x)-f(x0) =k, Δx )

则 lim
Δx→0

f(x0+2· Δ x)-f(x0) 等于( Δx B.k

A.2k

1 C.2k

D.以上都不是

(2)函数 y= x在 x=1 处的导数是________. (3)求函数 y=2x2+4x 在 x=3 处的导数. 【精彩点拨】 【自主解答】 根据导数的概念求解. (1) lim
Δx→0

f(x0+2· Δx)-f(x0) Δx

= lim
Δx→0

f(x0+2· Δx)-f(x0) ·2 2· Δx f(x0+2· Δx)-f(x0) =2k. 2· Δx

=2· lim
Δx→0

(2)∵Δy= 1+Δx-1, ∴ Δy 1+Δx-1 1 = = , Δx Δx 1+Δx+1

Δy 1 1 当Δx 趋于 0 时, = 趋于2, Δx 1+Δx+1 1 ∴函数 y= x在 x=1 处的导数为2. 【答案】 (1)A 1 (2)2

(3)∵f(x)=2x2+4x, ∴Δy=f(3+Δx)-f(3) =2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3) =12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx. Δy 2(Δx)2+16Δx ∴ = =2Δx+16. Δx Δx Δy 当Δx→0 时, →16,∴f′(3)=16. Δx

1.本题(2)中用到了分子有理化的技巧, 主要目的是使整个式子的趋近值容易 求出.切忌算到 1+Δx-1 时,就下结论:当Δx 趋于 0 时,分子分母的值都趋 Δx

于 0,所以整个式子的值不确定. 2.计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤: (1)计算Δy;(2)计算 Δy Δy ;(3)计算 lim . Δx Δx
Δx→0

[再练一题] 1.若 f(x)=x3,f′(x0)=3,则 x0 的值是( ) 【导学号:94210036】 A.1 C.±1 B.-1 D.3 3

3 2 【解析】 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-x0 =3x2 0Δx+3x0(Δx) +(Δ

x)3, ∴ Δy 2 =3x2 0+3x0Δx+(Δx) , Δx

2 2 ∴f′(x0)=[3x2 0+3x0Δx+(Δx) ]=3x0, 2 由 f′(x0)=3,得 3x0 =3,∴x0=± 1.

【答案】

C 求曲线在某点处切线的方程

1 4 已知曲线 C:f(x)=3x3+3. (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 【精彩点拨】 (1)先求切点坐标,再求 f′(2),最后利用导数的几何意义写出 切线方程. (2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解. 【自主解答】 f′(2)= lim
Δx→0

(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程得 y=4,∴切点 P(2,4).

Δy Δx

1 3 4 1 3 4 ( 2 +Δ x ) + - × 2 -3 3 3 3 = lim Δx
Δx→0

1 = lim [4+2Δx+3(Δx)2]=4.
Δx→0

∴k=f′(2)=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. y=4x-4, ? ? (2)由? 1 3 4 可得(x-2)(x2+2x-8)=0, y= x +3, ? ? 3 解得 x1=2,x2=-4. 从而求得公共点为 P(2,4)或 M(-4,-20), 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外,还有另一公共点(-4,-20).

1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); (2)写出切线方程,即 y-y0=f′(x0)· (x-x0). π 特别注意:若在点(x0,y0)处切线的倾斜角为2,此时所求的切线平行于 y 轴, 所以直线的切线方程为 x=x0. 2.曲线的切线与曲线的交点可能不止一个.

[再练一题] 2.(2016· 临沂高二检测)求曲线 f(x)=x2+1 在点 A(1,2)处的切线方程. 【解】 在曲线 f(x)=x2+1 上的点 A(1,2)的附近取一点 B,设 B 点的横坐 标为 1+Δx,则点 B 的纵坐标为(1+Δx)2+1,所以函数的增量Δy=(1+Δx)2 +1-2=Δx2+2· Δx, Δy 所以切线 AB 的斜率 kAB= =Δx+2, Δx ∴ lim
Δx→0

Δy = lim (Δx+2)=2, Δx
Δx→0

这表明曲线 f(x)=x2+1 在点 A(1,2)处的切线斜率 k=2. ∴所求切线方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0. [探究共研型]

求曲线过某点的切线方程 探究 1 函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系? 区别:函数在某点处的导数是一个定值,导函数是一个函数.

【提示】

联系:函数 f(x)在 x0 处的导数就是导函数 f′(x)在 x=x0 时的函数值. 探究 2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点? 不一定.切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限位置,

【提示】

在其他地方可能还有一个或多个公共点. 探究 3 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程与过某点(x0,y0)的曲线的切线

方程有何不同? 【提示】 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点,只要 求出 k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可;而求过某点(x0,y0)的曲线 f(x)的切线, 给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点. 1 已知曲线 f(x)= x. (1)求曲线过点 A(1,0)的切线方程; 1 (2)求满足斜率为-3的曲线的切线方程. 【精彩点拨】 (1)点 A 不在曲线上,设切点坐标,写出切线方程,把 A(1,

0)代入求出切点坐标,进而求出切线方程. 1 (2)设出切点坐标,由该点斜率为-3,求出切点,进而求出切线方程. 1 1 -x x+Δx Δy (1) lim = lim Δx Δx
Δx→0 Δx→0

【自主解答】

= lim
Δx→0

-1 1 =-x2. (x+Δx)x

1? ? 设过点 A(1,0)的切线的切点为 P?x0,x ?, ? 0? 1 1 则 f′(x0)=-x2,即该切线的斜率为 k=-x2.
0 0

1? ? 因为点 A(1,0),P?x0,x ?在切线上, ? 0?

1 x0-0 1 所以 =-x2, x0-1 0 1 解得 x0=2.故切线的斜率 k=-4. 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y=-4(x-1), 即 4x+y-4=0. 1? 1 ? (2)设斜率为-3的切线的切点为 Q?a,a?, ? ? 1 1 由(1)知,k=f′(a)=- 2=- ,得 a=± 3. a 3 ? 3? ? 3? 所以切点坐标为? 3, ?或?- 3,- ?. 3? ? 3? ? 1 故满足斜率为-3的曲线的切线方程为 3 1 3 1 y- 3 =-3(x- 3)或 y+ 3 =-3(x+ 3), 即 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0.

1.求曲线过已知点的切线方程的步骤

2.若已知切线的斜率,则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标,根 据点斜式写出切线方程.

[再练一题] 3.求曲线 y=f(x)=x2+1 过点 P(1,0)的切线方程.

【 解 】

设 切 点 为

Q(a , a2 + 1) ,

f(a+Δx)-f(a) = Δx

(a+Δx)2+1-(a2+1) =2a+Δx,当Δx 趋于 0 时,(2a+Δx)趋于 2a,所 Δx (a2+1)-0 以所求切线的斜率为 2a.因此, =2a,解得 a=1± 2,所求的切线 a-1 方程为 y=(2+2 2)x-(2+2 2)或 y=(2-2 2)x-(2-2 2). [构建· 体系]

1.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x-y+1=0,则( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 B.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在

)

【解析】 由切线方程可以看出其斜率是 2,又曲线在该点处的切线的斜率 就是函数在该点处的导数. 【答案】 A ) 【导学号:94210037】 A.30° C.135° 【解析】 f′(1)= lim
Δx→0

1 2.曲线 y=2x2-2 在点 x=1 处的切线的倾斜角为(

B.45° D.165° f(1+Δx)-f(1) Δx

1 ? ? = lim ?1+2Δx?=1, ? ?
Δx→0

∴切线的斜率为 1,倾斜角为 45°. 【答案】 B

2 3.曲线 f(x)= x在点(-2,-1)处的切线方程为________. 【解析】 f′(-2)= lim
Δx→0

f(-2+Δx)-f(-2) Δx

2 +1 -2+Δx = lim Δx
Δx→0

= lim
Δx→0

1 1 =-2, -2+Δx

1 ∴切线方程为 y+1=-2(x+2),即 x+2y+4=0. 【答案】 x+2y+4=0

4.已知二次函数 y=f(x)的图像如图 221 所示,则 y=f(x)在 A,B 两点处的 导数 f′(a)与 f′(b)的大小关系为:f′(a)________f′(b)(填“<”“=”或“>”).

图 221 【解析】 可得 f′(a)>f′(b). 【答案】 > f′(a)与 f′(b)分别表示函数图像在点 A,B 处的切线斜率,由图像

5.已知直线 y=4x+a 和曲线 y=x3-2x2+3 相切,求切点坐标及 a 的值. 【解】 设直线 l 与曲线相切于点 P(x0,y0),则 lim
Δx→0

Δy Δx

(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3) = lim Δx
Δx→0

=3x2-4x. 由导数的几何意义,得 k=f′(x0)=3x2 0-4x0=4,

2 解得 x0=-3或 x0=2, ? 2 49? ∴切点坐标为?-3,27?或(2,3). ? ? 49 ? 2 49? ? 2? 当切点为?-3,27?时,有27=4×?-3?+a, ? ? ? ? 121 ∴a= 27 . 当切点为(2,3)时,有 3=4×2+a, ∴a=-5. ? 2 49? 因此切点坐标为?-3,27?或(2,3), ? ? 121 a 的值为 27 或-5.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(八)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 2x-y+2=0, 则 f′(1)=( A.4 B.-4 【解析】 【答案】 C.-2 D.2 )

由导数的几何意义知 f′(1)=2,故选 D. D

2.(2016· 衡水高二检测)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 2x+y+ 1=0,则( )

A.f′(x0)>0 C.f′(x0)<0 【解析】 切线的斜率为 k=-2,

B.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在

由导数的几何意义知 f′(x0)=-2<0,故选 C. 【答案】 C )

3.已知曲线 f(x)=x3 在点 P 处的切线的斜率 k=3,则点 P 的坐标是( A.(1,1) C.(1,1)或(-1,-1) 【解析】 B.(-1,1) D.(2,8)或(-2,-8)

Δy (x+Δx)3-x3 因为 f(x)=x3,所以 lim = lim = lim [3x2 Δx Δx △x→0 △x→0 △x→0

+3x· Δx+(Δx)2]=3x2. 由题意,知切线斜率 k=3,令 3x2=3,得 x=1 或 x=-1. 当 x=1 时,y=1;当 x=-1 时,y=-1. 故点 P 的坐标是(1,1)或(-1,-1). 【答案】 C

4.(2016· 银川高二检测)若曲线 f(x)=x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂 直,则 l 的方程为( A.4x-y-4=0 C.4x-y+3=0 【解析】 设切点为(x0,y0), ) B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

Δy (x+Δx)2-x2 ∵ lim = lim = lim (2x+Δx)=2x. Δx Δx
△x→0 △x→0 △x→0

由题意可知,切线斜率 k=4,即 f′(x0)=2x0=4, ∴x0=2,∴切点坐标为(2,4),∴切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4 =0,故选 A. 【答案】 A ) 【导学号:94210038】 A.2 B.-4 C.3 1 D.4

1 ?1 ? 5.曲线 f(x)= x在点?2,2?处的切线的斜率为( ? ?

【解析】

1 1 -x x+Δx Δy -1 1 因为 lim = lim = lim 2 =-x2, Δx Δx x +x· Δx
△x→0 △x→0 △x→0

?1 ? 所以曲线在点?2,2?处的切线斜率为 ? ? ?1? k=f′?2?=-4. ? ? 【答案】 二、填空题 6.(2016· 太原高二检测)若 f′(x0)=1,则 lim
△x→0

B

f(x0-k)-f(x0) =__________. 2k lim
△x→0

【解析】

f(x0-k)-f(x0) 2k

f(x0-k)-f(x0) 1 1 1 =-2 lim =-2f′(x0)=-2. -k
△x→0

【答案】

1 -2

7.曲线 f(x)=x2-2x+3 在点 A(-1,6)处的切线方程是__________. 【解析】 因为 y=x2-2x+3,切点为 A(-1,6),所以斜率 k=f′(-1)

(-1+Δx)2-2(-1+Δx)+3-(1+2+3) = lim Δx
△x→0

= lim (Δx-4)=-4,
△x→0

所以切线方程为 y-6=-4(x+1),即 4x+y-2=0. 【答案】 4x+y-2=0

8.若曲线 f(x)=x2+2x 在点 P 处的切线垂直于直线 x+2y=0,则点 P 的坐标 是__________. 【解析】 设 P(x0,y0),则

2 (x0+Δx)2+2(x0+Δx)-x0 -2x0 f′(x0)= lim Δx △x→0

= lim (2x0+2+Δx)=2x0+2.
△x→0

因为点 P 处的切线垂直于直线 x+2y=0, 所以点 P 处的切线的斜率为 2, 所以 2x0+2=2,解得 x0=0,即点 P 的坐标是(0,0). 【答案】 三、解答题 9.(2016· 安顺高二检测)已知抛物线 y=f(x)=x2+3 与直线 y=2x+2 相交,求 它们交点处抛物线的切线方程. 【解】
2 ?y=x +3, 由方程组? 得 x2-2x+1=0, ?y=2x+2,

(0,0)

(Δx+1)2+3-(12+3) 解得 x=1,y=4,所以交点坐标为(1,4),又 = Δx Δx+2. 当Δx 趋于 0 时,Δx+2 趋于 2,所以在点(1,4)处的切线斜率 k=2, 所以切线方程为 y-4=2(x-1),即 y=2x+2. 10.试求过点 P(3,5)且与曲线 y=f(x)=x2 相切的直线方程. 【解】 Δy (x+Δx)2-x2 lim = lim =2x. Δx Δx
△x→0

△x→0

设所求切线的切点为 A(x0,y0). ∵点 A 在曲线 y=x2 上, ∴y0=x2 0. 又∵A 是切点, ∴过点 A 的切线的斜率 k=2x0, ∵所求切线过 P(3,5)和 A(x0,y0)两点, ∴其斜率为 y0-5 x2 x2 0-5 0-5 = ,∴2x0= , x0-3 x0-3 x0-3

解得 x0=1 或 x0=5. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为 k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为 k2=2x0=10.

∴所求的切线有两条,方程分别为 y-1=2(x-1)和 y-25=10(x-5),即 y =2x-1 和 y=10x-25. [能力提升] 1.(2016· 天津高二检测)设 f(x)为可导函数, 且满足 则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( A.2 C.1 【解析】 ∵ lim
△x→0

f(1)-f(1-x) =-1, 2x

)

B.-1 D.-2 f(1)-f(1-x) 2x

f(1-x)-f(1) 1 =2 lim =-1, -x
△x→0

∴ lim
△x→0

f(1-x)-f(1) =-2,即 f′(1)=-2. -x

由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率 k=f′(1)=-2,故选 D. 【答案】 D

2.(2016· 郑州高二检测)已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 的 值为________. 【解析】 设切点为 P(x0,y0), f(x0+Δx)-f(x0) Δx

则 f′(x0)= lim
△x→0

a(x0+Δx)2-ax2 0 = lim Δx
△x→0

= lim (2ax0+aΔx)=2ax0,即 2ax0=1.
△x→0

又 y0=ax2 0,x0-y0-1=0,

?2ax0=21, 1 联立以上三式,得?y0=ax0, 解得 a=4. ?x0-y0-1=0,
【答案】 1 4

3.已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 它们的交点(1,c)处具有公切线,求 a,b 的值. 【导学号:94210039】 【解】 因为 f′(x)= lim
△x→0

Δy Δx

a(x+Δx)2+1-(ax2+1) = lim =2ax, Δx
△x→0

所以 f′(1)=2a,即切线斜率 k1=2a. 因为 g′(x)= lim
△x→0

Δy Δx

(x+Δx)3+b(x+Δx)-(x3+bx) = lim =3x2+b, Δx
△x→0

所以 g′(1)=3+b,即切线的斜率 k2=3+b. 因为在交点(1,c)处有公切线, 所以 2a=3+b.① 又因为 c=a+1,c=1+b, 所以 a+1=1+b,即 a=b, ?a=3, 代入①式,得? ?b=3. 4.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直 线 12x+y=6 平行,求 a 的值. 【解】 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

3 2 =(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x0 +ax0 -9x0-1) 2 3 =(3x2 0+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx) +(Δx) ,



Δy 2 =3x2 0+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx) . Δx

当Δx 无限趋近于零时, Δy 无限趋近于 3x2 0+2ax0-9, Δx
2 即 f′(x0)=3x0 +2ax0-9,

a?2 a2 ? ∴f′(x0)=3?x0+3? -9- 3 . ? ? a a2 当 x0=-3时,f′(x0)取最小值-9- 3 . ∵斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, ∴该切线斜率为-12, a2 ∴-9- 3 =-12, 解得 a=± 3.又 a<0, ∴a=-3.


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